در این پایان نامه، چند گسترش خطی و غیر خطی از قضیه ی لکس میلگرام را ثابت می کنیم، و به کاربردهای آن در معادلات دیفرانسیل می پردازیم. این پایان نامه در پنج فصل تدوین شده است. در فصل اول به بیان تعاریف مقدماتی و قضایای اساسی پرداخته ایم. در فصل دوم با استفاده از قضیه ی لکس میلگرام وجود و یکتایی یک جواب ضعیف را نشان می دهیم همچنین روند حل معادلات دیفرانسیل را طبق این قضیه بیان می کنیم. در فصل سوم، با استفاده از قضیه ی شفر، قضیه هایی در مورد مسائل مقدار مرزی متناوب معادلات دیفرانسیل مرتبه اول با شرایط ضربه ای را ثابت می کنیم. در فصل چهارم، ساختار تغییراتی یک معادله دیفرانسیل ضربه ای و نظریه ی نقطه ی بحرانی را برای به دست آوردن جواب های مسئله ی ضربه ای ارائه می دهیم و در فصل پنجم، مسائل مقدار مرزی نامتناوب معادلات دیفرانسیل مرتبه اول با شرایط ضربه ای را ثابت می کنیم.