در این پایان نامه به مطالعه و تحقیق درباره فضاهای متریک ژئودزیک پرداخته ، دراین راستا فضاهای متریک ژئودزیک با خاصیت (cat(k را معرفی کرده و به بررسی ویژگی های خاص این فضاها می پردازیم و بویژه درمورد ویژگی های فضاهای cat(1) و cat(0 مطالعه می کنیم ، و نشان می دهیم که این فضاها دارای خواص مشابه به فضای هیلبرت می باشند و آن را به عنوان تعمیم متریک فضاهای هیلبرت می شناسیم . در ادامه نگاشت های چند مقداری لیپ شیتز یکنواخت را روی چنین فضاهایی تعریف کرده و به بررسی وجود نقطه ثابت برای این نگاشت ها می پردازیم ، همچنین وجود نقاط ثابت این نگاشت ها را روی فضاهای کامل و فضاهای با ناخ محدب یکنواخت بررسی می کنیم .فضاهای(cat(k در فصل دوم معرفی میشوند و ویژگیهای فضاهای(cat(0 مورد بررسی قرار میگیرد.مطالبی در مورد فضاهای(cat(1 در فصل سوم مورد بررسی قرار میگیرد و نتایج بهدست آمده را به فضاهای(cat(k تعمیم میدهیم.و در فصل چهارم در مورد نقطه ثابت نگاشت های k-لیپ شیتز یکنواخت روی فضاهای مختلف مطالعه میکنیم.