ابتدا گراف توانی بی جهت و جهت دار یک گروه را تعریف می کنیم .می دانیم که هرگاه دو گروه یکریخت باشند گراف توانی آنها نیز یکریخت می شوند. هدف اصلی این پایان نامه پاسخ به عکس سوال فوق است.به عبارت دیگر اگر گراف توانی متناظر با دو گروه یکریخت باشند آیا دو گروه یکریخت هستند؟ ابتدا نشان می دهیم گروه های متناهی غیر یکریخت وجود دارند که گراف های توانی بی جهت آنها یکریختند سپس ثابت می کنیم که سوال فوق در گروه های آبلی متناهی درست است و در ادامه نشان می دهیم اگر گراف توانی بی جهت دو گروه یکریخت باشند گراف توانی جهت دار آنها نیز یکریختندو در نتیجه تعداد اعضا از هر مرتبه در دو گروه فوق یکسان است