در این پایان نامه آزمون گروهی ایستا را ارائه می دهیم و همچنین سه نوع از ماتریس های دودویی را به عنوان ابزار مهم در فهم و ساختن آزمون گروهی ایستا تعریف می کنیم. نشان می دهیم که آزمون گروهی ایستا برای شناسایی دو بیمار از میان 2t نفر نیاز به حداقل 2t آزمون دارد. از گراف ها در ساختار آزمون گروهی ایستا استفاده می کنیم و نشان می دهیم که تحت شرایطی روی اندازه گروه می توان با استفاده از گراف پترسن تعمیم یافته آزمون گروهی بهینه ای را ساخت. در ادامه ساختار آزمون گروهی ایستا را ارائه می دهیم و آنها را به حالت خطا آزاد، وجود پوچگرها، مدل هم تافت و مدل آستانه تعمیم می دهیم وهمچنین ساختارهای ترکیبیاتی جدیدی به همراه کاربردهای آن برای آزمون گروهی ایستای بهینه با پوچگرها را ارائه می دهیم. درانتها به این پرسش پاسخ می دهیم، که چه موقع در آزمون گروهی ایستا، آزمون انفرادی بهینه است؟ فرض می کنیم که برای ثابت n(d) ،d بزرگترین مقدار n باشد که برای آن آزمون انفرادی بهینه است. نشان می دهیم که برای 1،2،3،4 =d n(d)=(d + 1)^2 است.

در سالهای اخیر، علاقه مندی زیادی در مورد مسائل مکانیابی تسهیلات مضر به وجود آمده است که در این مسأله یک یا چند سرویس دهنده تا آنجا که امکان داشته باشد دور از مشتریان قرار می گیرند. مسأله p-ماکسین یکی از مسائل مکانیابی تسهیلات مضر می باشد. این پایان نامه با هدف بررسی مسأله p-ماکسین روی درخت و گراف بازه ای و راههایی که برای حل آن ارائه شده، صورت گرفته است. در ابتدا مسائل مکانیابی را تعریف کرده و به بررسی مسأله 1-ماکسین روی درخت می پردازیم. در فصل سوم مسأله p-ماکسین روی درخت را مطرح می کنیم و نشان می دهیم که جواب بهینه این مسأله به وسیله دو برگ از طولانی ترین مسیر در درخت به دست می آید، سپس نتیجه به دست آمده را به مسأله p-ماکسین روی درخت تعمیم می دهیم. در فصل چهارم به معرفی گراف های بازه ای می پردازیم و مسأله p-ماکسین روی گراف های بازه ای که هر بازه دارای یک وزن مثبت است را بررسی می کنیم. ابتدا یک الگوریتم خطی برای حل مسأله 1-ماکسین وزن دار ارائه می کنیم. برای مسأله 2-ماکسین، نشان می دهیم که دو بازه با می نیمم نقطه پایانی راست و ماکزیمم نقطه پایانی چپ یک جواب بهینه هستند که می توان آنرا به مسأله p-ماکسین تعمیم داد.

در این پایان نامه‏، مسأله ی جستجوی گرافی مخفی از یک خانواده از گراف ها روی ‎‎n‎‏ رأس‏‏، بررسی می شود. در مدلی که از آن استفاده می کنیم‏، تنها عمل مجاز عبارت است از این پرسش که: ”آیا یک زیرمجموعه از رئوس‏، دارای یالی از این گراف مخفی است؟“. هدفی که در این راستا مطرح می شود‏، تخمین کم ترین تعداد پرسشی است که ‎‏برای شناسایی گراف مخفی مورد نیاز است‎. برای رسیدن به این هدف عموماً از الگوریتم های غیرانطباقی استفاده کرده و مسأله را برای خانواده ی تطابق ها‏، خانواده ی ستاره ها و خانواده ی خوشه ها بررسی می کنیم. همچنین‏، کران هایی برای اندازه ی خانواده ای که مسأله‎‎ را برای گراف های کلی تر حل می کند‏، ارائه می دهیم.

به کمترین تعداد رنگ های مورد نیاز برای رنگ آمیزی رئوس ‎h، عدد رنگی‎ گفته می شود‏‏ به طوری که هیچ یال ‎‎‎‎e_i‎‏ از h‎‏ که ‎‎‎‎|e_i|‎>1‎‎‏ ‏وجود نداشته باشد که همه ی رئوس آن دارای رنگ یکسان باشند.‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ هم چنین‏‎‎‏ کمترین تعداد رنگ های مورد نیاز برای رنگ آمیزی یال های ‎‎‎h‎‎‏‏، به طوری که هر کلاس رنگی به شکل یک تطابق باشد‏ را ‎‏اندیس رنگی (عدد رنگی یالی) h‎ گوییم. به عبارت دیگر‏، در رنگ آمیزی یالی ابرگراف ها هیچ دو یال متقاطع رنگ یکسان ندارند. ‏از آن جا که محاسبه ی دقیق اندیس رنگی ابرگراف ها ساده نمی باشد‏، بنابراین در این پایان نامه سعی می کنیم آن را با کران مشخص کنیم. برای این کار قضیه ی معروف شانون را بیان و تعمیم آن را برای حالت های مختلفی از یک ابرگراف معرفی می کنیم تا بتوانیم از نتایج مربوط به آن کران های مختلفی را برای انواع ابرگراف ها به دست آوریم‏، حتی در بسیاری از موارد برای رنگ آمیزی از الگوریتم حریصانه استفاده می کنیم تا بتوانیم به یک کران خوب دست پیدا کنیم. برای انواع خاص ابرگراف های یکنواخت‏، کران الون و کیم را که به صورت حدس است ارائه می کنیم و سپس آن را برای ابرگراف های یکنواخت که متقاطع نیز باشند‏، ثابت می کنیم. در نهایت از این حقیقت که گراف ها حالت خاصی از ابرگراف ها هستند‏، استفاده کرده و قضیه ی ویزینگ که معروف ترین قضیه در مورد اندیس رنگی گراف هاست را بیان می کنیم‏، سپس با به کارگیری قضایای مربوط به اندیس رنگی برای گراف ها‏ و هم چنین دوگانگی گراف های چندگانه و گراف های یالی‏، یک کران بالا را برای گراف های چندگانه ارائه می دهیم. ‏هم چنین از تعمیم قضیه ی ویزینگ در حالت های مختلف یک ابرگراف استفاده های بسیاری می شود. برخی از مسائل هنوز باز می باشند.

در مسائل مکانیابی گسسته (در حالت خاص، مسئله p-میانه)، "n" مشتری با وزن معلوم موجود می باشد که هدف پیدا کردن مکان "p" سرویس دهنده (میانه) می باشد، به طوری که مجموع فاصله وزنی مشتریان تا نزدیک ترین سرویس دهنده، کمترین مقدار ممکن شود. اما مسائل مکانیابی گسسته معکوس (در حالت خاص، p-میانه معکوس) عبارتند از تغییر پارامترهای یک مسئله p-میانه با کمترین هزینه که یک مجموعه از پیش تعیین شده سرویس دهندگان "p" به عنوان p-میانه واقع شود. هزینه ها متناسب با افزایش و یا کاهش پارامترهای متناظر می باشند. این پارامترها طول یال ها و وزن رئوس می باشد. هر پارامتر فقط می تواند بین یک کران پایین و یک کران بالا تغییر کند. در این پایان نامه، ما ابتدا مسئله ?-میانه معکوس با وزن رئوس متغیر روی درخت و دور را بررسی می کنیم و در انتها نیز مسئله هسته مقید معکوس روی درخت مورد بررسی قرار می گیرد که مسئله هسته روی درخت در واقع مسیری است که مجموع فاصله وزنی همه رئوس از این مسیر کمترین مقدار ممکن شود

در این پایان نامه ابتدا کدهای ضدجعل و کدهای ضدجعل امن را به عنوان مفاهیم اصلی تعریف کرده، سپس به دنبال روش هایی برای ساخت این کدها خواهیم بود. برای این منظور مجموعه های مختلفی از جمله خانواده های بدون پوشش، خانواده های آزاد، خانواده های درهم جداساز، خانواده های درهم ساز کامل و ... را ارائه می دهیم و چگونگی ساخت کدهای ضدجعل به کمک این خانواده ها را بیان می کنیم. هدف اصلی یافتن کدهای ضدجعل امن به بزرگی ممکن است. بنابراین تعدادی کران برای کدهای یادشده ارائه خواهیم داد. در پایان طرح های قابل ردیابی را که ارتباط بسیاری با کدهای ضدجعل دارند، معرفی می کنیم.

برای گراف ‎g‎‎‏‏، تابع ‎‎‎‎c:v(g)‎→ n‎‎ را یک رنگ آمیزی مجاز گوییم هرگاه برای هر ‎‎ c(u)‎=‎ c(v)داشته یاشیم uv ϵ e(g) ‎‎‎‎‎‎ مجموع رنگی متناظر با رنگ آمیزی ‎ ‎‎‎c‎ ‎‏ را برابر با ‎ ∑u ϵ v(g)c(u)‎ ‎‏ تعریف می کنیم و مجموع رنگی ‎ ‎‎‎g‎ ‎‏، ‎ ‎∑(g)‎ ‎‎‏‏، را کمترین مقدار ممکن‏ برای مجموع رنگی‏، در میان همه ی رنگ آمیزی های مجاز ‎ g ‎‏ قرار می دهیم. همچنین کمترین تعداد رنگی که برای آن‏، می توان یک رنگ آمیزی‏، با مجموع رنگ یکسان با مجموع رنگی گراف ‎ ‎‎‎g‎ ‎‏ پیدا کرد‏ را قدرت رأسی‎ ‎‎‎g ‎‎‎ ‎‎‏‏، s(g)‎ می نامیم. در این پایان نامه‏‏، ‎‎‎در فصل اوّل با مرور بر تحقیقات گذشته‏، با روند ایجاد مسأله ی مجموع رنگی و بسط و گسترش این مفهوم آشنا خواهیم شد و گستره ی آن را در علومی نظیر مهندسی و الکترونیک‏، با بیان کاربردی از مسأله ی «مجموع رنگی» که به مسأله ی «طراحی ‎ vlsi‎ ‎‎‏» معروف است، نشان خواهیم داد.‎همچنین در فصل دوم مروری بر تعاریف اساسی و قضایای کلی مورد استفاده در فصل های آینده خواهیم داشت.‎‎ مفاهیم رنگ آمیزی مینیمال، مجموع رنگی و قدرت رأسی گراف را در فصل سوم بیان‏، و به بررسی کران هایی برای این مفاهیم خواهیم پرداخت.‎و در نهایت در فصل چهارم با استفاده از مفهوم همریختی گراف ها‏‏، به ذکر کران هایی برای مجموع رنگی می پردازیم و فصل را با بیان ‏دو الگوریتم‏، جهت محاسبه ی تقریبی از مقادیر مجموع رنگی و قدرت رأسی‏، به پایان خواهیم رساند.

رنگ آمیزی گراف کاربردهای زیادی در زمینه های عملی و تئوری گوناگون دارد. علاوه بر مساله های کلاسیک تعریف شده در این زمینه، با در نظر گرفتن محدودیت های مختلفی روی نوع گرافها، روش رنگ آمیزی و ... مساله های متنوعی با کاربردهای وسیع در صنعت و علوم تعریف و حل می شود. با توجه به اینکه این مساله از نظر علمی در حال رشد و بررسی بیشتر می باشد بر آن شدیم تا اندکی بیشتر به این مساله بپردازیم.

در این پایان نامه، در فصل اول با مرور بر تحقیقات گذشته، با ایجاد مسأله رنگ آمیزی گراف ها و مسیر های رنگارنگ و بسط و گسترش این مفاهیم آشنا می شویم .‎ در فصل دوم به بیان تعاریف و قضایای کلی مورد استفاده در فصل های بعد می پردازیم‎. در فصل سوم اثبات برخی قضایای مربوط به موضوع را بیان می کنیم و درنهایت در فصل چهارم با بررسی ‎ (n,d) ‎ـ رنگ آمیزی ها به نتیجه گیری اصلی پایان نامه می پردازیم.

برای یک رنگ آمیزی یالی داده شده با رنگ های ‎{1,2,...,k}‎‎‎‏‏‏، یک رنگ آمیزی راسی از گراف ‎g‎‎‏ با رنگ های ‎{1,2,...,k}‎‎‏ را سازگار با رنگ آمیزی یالی می گوییم هرگاه برای هر یال از ‎‎‎‎g‎‎‎‏‏، رنگ های ظاهر شده روی دو سر آن و رنگ خود یال یکسان نباشند. به کوچکترین ‎k‎‎‎‏ ای که برای هر رنگ آمیزی یالی با ‎k‎‎‎‏ـ رنگ ‎{1,2,...,k}‎‎‏ یک رنگ آمیزی سازگار با این رنگ آمیزی یالی و با استفاده از رنگ های‎{1,2,...,k}‎‎‏ وجود دارد عدد رنگی سازگار ‎‎‎‎g‎‎‎‏‏، ‎?_ad (g)‎‎‏‏، گوییم.‎ ‎ در این پایان نامه به بیان نتایجی درباره عدد رنگی سازگار گراف ها می پردازیم‏، همچنین عدد رنگی سازگار لیستی گراف ها را معرفی می کنیم و نتایجی در این زمینه را بررسی می کنیم.‎

گراف کنسر گرافی است که راس هایش تمام زیر مجموعه های k عضوی از مجموعه 1 تا n است. که b-رنگ آمیزی گراف کنسر را بحث کرده ایم. همچنین b-رنگ آمیزی گراف منتظم از درجه d را بررسی می کنیم. بزرگترین افراز را برای چنین گرافی با درجه کمتر از شش به دست آورده ایم. ازطرفی گراف به دست آمده از حاصل ضرب دکارتی دو گراف را b-رنگ آمیزی کرده ایم . برای چنین رنگ آمیزی از مستطیل لاتین استفاده می کنیم.

در این پایانامه سعی می کنیم به ارتباط بین عدد رنگی و عدد رنگی پویای گراف ها در حالت خاص بپردازیم, علاوه بر آن عدد رنگی پویای انتخابی(لیستی) را معرفی کرده و بعضی از نتایج آن را بیان می کنیم.