فرض کنید p و q مربع های لاتین جزیی یکتا تکمیل پذیر باشند. تعیین شرط لازم و کافی برای یکتا تکمیل پذیری حاصل ضرب تکمیل پذیر p ? q یک مسئله باز است. ثابت می کنیم اگر p و q مربع های لاتین جزیی یکتا تکمیل پذیر باشند‘ آن گاه ضرب تکمیل پذیر p ? q در دو حالت زیر یکتا تکمیل پذیر است: اگر p یا q قویا یکتا تکمیل پذیر باشد. اگر p یا q تقریبا قوی یکتا تکمیل پذیر باشد. گاور حدس زد"اگر p و q مربع های لاتین جزیی یکتا تکمیل پذیر باشند, آن گاه p ? q نیز یکتا تکمیل پذیر است". این حدس در دو حالت فوق درست است. اما اخیرا آدامز و خودکار برای رد حدس گاور مثال نقضی ارائه نموده اند. آن ها مربع لاتین جزیی یکتا تکمیل پذیر مانند p ارائه داده اند که حاصل p ? q یکتا تکمیل پذیر نیست. در این پایان نامه مفهوم تریدهای لاتین در مربع های لاتین و ارتباط آن با یکتا تکمیل پذیری مربع های لاتین جزیی را می آوریم. و در آخر یک رده کلی از مربع های لاتین جزیی یکتا تکمیل پذیر مانند p را مشخص می کنیم که ضرب تکمیل پذیر p ? p یکتا تکمیل پذیر نیست.

فرض کنید gیک گراف همبند، غیرجهت دارساده باn رأس و mیال باشد. عددچرخه گراف g به صورت m-n+1 تعریف می شود. برای اعداد بدست آمده 1 یا 2، g را به ترتیب1- دور یا 2- دور می نامیم. شعاع طیفی گراف g به صورت بزرگترین مقدارویژه ی ماتریس مجاورت g تعریف می شود. در این رساله به بررسی نتایج شعاع طیفی لاپلاسین بی علامت یک گراف، هنگامی که عملیاتی مانند جابجایی یال ها ویا زیر تقسیم بندی یال ها در گراف به کاربسته می شود، می پردازیم.هم چنین بزرگترین شعاع طیفی لاپلاسین بی علامت را دربین همه ی گراف های 1-دور با n رأس وk رأس آویزان شناسایی می کنیم. علاوه براین گراف هایی با بزرگترین شعاع طیفی لاپلاسین بی علامت را به ترتیب دربین همه ی گراف های 1-دور و 2-دور با n رأس وk رأس آویزان تعیین می کنیم.

فرض کنید x و y دو راس غیرمجاور بدون همسایه ی مشترک در گراف چنگک آزاد g باشند.ثابت می شود خوشه ی جداساز بین x و y یک مانع برای وجود حفره گذرنده از x و y است. در این رساله، یک مانع برای وجود یک x-z مسیرالقایی گذرنده از x و y و z رئوس مشخص شده در گراف چنگک آزاد هستند یافت می شود. همچنین وجود مسیر دور از دسترس بررسی شده است.به علاوه، با استفاده از جایگشت حذفی مینیمال الگوریتمی برای تجزیه گراف توسط خوشه های جداساز ارائه می دهیم و سپس به کاربردهای این الگوریتم در مسائل np-کامل می پردازیم.

امروزه ترسیم گراف و نیز ترسیم لاتیس به عنوان زیرشاخه ای از ترسیم گراف با استفاده از برنامه های کامپیوتری بسیار مورد توجه قرار گرفته است. برای رسیدن به یک ترسیم قابل قبول از گراف و لاتیس‏، الگوریتم های مختلفی ارائه شده است. برخی از این الگوریتم ها برای ترسیم گراف ها در حالت عمومی (به طور معمول بدون جهت) به کار گرفته می شوند اما برخی برای ترسیم گراف های با ویژگی های معین مورد استفاده قرار می گیرند. یکی از روش های بسیار پرکاربرد در ترسیم گراف روش های مبتنی بر هدایت تحمیلی هستند. روش های هدایت تحمیلی متعارف‏ برای ترسیم گراف های بدون جهت، بر پایه دافعه رأس-رأس یا رأس-یال قرار دارند. در فصل 2 به بررسی یک روش جدید هدایت تحمیلی بر پایه دافعه یال-یال برای ترسیم گراف می پردازیم. در این روش یال های گراف را فنرهای فشرده در نظر می گیریم و ترسیم نهایی را می توان با تنظیم کردن موقعیت رأس ها با توجه به نیروهای فنر و نیروهای دافعه‏ ناشی از میدان های پتانسیل‏ بین یال ها به دست آورد. برتری این روش جدید نسبت به روش های پیشین‏، حل مسئله وضوح زاویه ای صفر و نیز جلوگیری از هرگونه تقاطع یال های واقع بر رأس مشترک است. با در نظر گرفتن ترسیم به دست آمده از رو ش های متعارف هدایت تحمیلی به عنوان ورودی در روش جدید‏، نتایج آزمایشی نشان داده است که در روش جدید نه تنها ویژگی های اصلی چون درجه بالای تقارن و یکنواختی طول یال ها حفظ می شود بلکه از وضوح زاویه ای صفر جلوگیری شده و به طور معمول دارای میانگین وضوح زاویه ای بالایی نیز هست. با این وجود لازم است توجه کنیم که وجود درجه بالایی از تقارن و میانگین وضوح زاویه ای بزرگ تر بدون صرف هزینه به دست نمی آید و همان طور که در برخی نتایج آزمایشی مشاهده می شود می توانند سبب افزایش انطباق رأسی در ترسیم نهایی شوند. برای حل این مشکل‏، یک روش ترکیبی را که از دو نیروی دافعه یال-یال و دافعه رأس-رأس در ترسیم گراف استفاده می کند‏، به کار می گیریم. یک ترسیم جدولی از یک گراف مسطح شده ‎g یک ترسیم از ‎ g‎‎ روی یک صفحه است که در آن رأس های g روی نقاط صحیح صفحه قرار داشته باشند و همه یال ها به صورت پاره خط های مستقیم ترسیم شوند و نیز هیچ تقاطع یالی وجود نداشته باشد. در فصل 3 یک الگوریتم برای ترسیم یک گراف 4-همبند مسطح شده g‎‎ با حداقل 4 رأس روی وجه بیرونی‏، ارائه می کنیم. اگرg‎ دارای ‎‎‎‎n‎‎ رأس باشد‏، الگوریتم برای اجرا‏، زمان ‎ o(n) را صرف می کند و به یک مستطیل با عرض ‎‎ ‎[n/2] ‎-1‎ و ‎‎طول ‎‎ ‎[‎n/2‎ ]‎‎ برای ترسیم نیاز دارد. نمودارهای لاتیس که آن ها را با نام دیاگرام های هاس می شناسیم‏، که خود گونه ای از نمودارهای گراف هستند‏، نقش مهمی در نظریه لاتیس و زمینه هایی که از لاتیس استفاده می شود‏، ایفا می کنند. با توجه به اینکه در سال های اخیر لاتیس ها را می توان با استفاده از نرم افزارهای مختلف ایجاد کرد‏، وجود نرم افزارهایی که قابلیت ترسیم لاتیس ها را نیز داشته باشند بسیار مهم و ضرروی گشته است. در فصل 4 نقش و تاریخچه دیاگرام های هاس از لاتیس ها را به اجمال ارائه کرده و الگوریتمی را که یک دیاگرام هاس مطلوب از یک لاتیس ایجاد می کند‏، بررسی می کنیم.