هدف از این پایان نامه تعمیم قضایای بوهلر (1969)، هید (1971) و هید - براون (1971) در یک فرایند شاخه ای با محیط تصادفی است. برای فرایند شاخه ای $ lbrace z_{n} brace _ {ngeq0 } $ ، با فرض $ z_{0}=1 $ و $ m= e(z_{1}) in (0,infty) $، می دانیم $ w_{n}=z_{n}/m^{n} $ یک مارتینگل نامنفی و تقریبا مطمئن به متغیر تصادفی $ w_{infty} $ همگراست. برای نرخ همگرایی این مارتینگل، هید و بوهلر به ترتیب نتیجه گرفتند که اگر $ var(z_{1})=sigma^2 < infty $، آنگاه به شرط $ z_{n}>0 $، توزیع های شرطی egin{center} $ (m^{2}-m)^{{1}/{2}}sigma^{-1}z_{n}^{{-1}/{2}}m^{n}(w_{infty}-w_{n}) $ end{center} و egin{center} $ig (m^{k}/(m^{k}-1)ig)^{{1}/{2}} (m^{2}-m)^{{1}/{2}}sigma^{-1}z_{n}^{{-1}/{2}}m^{n}(w_{n+k}-w_{n}), qquad k in n^{ast} $ end{center} همگرا به توزیع $ n(0, 1)$ هستند. هید و براون یک برآورد از نرخ همگرایی آن، تحت کرانداری گشتاوری از مرتبه سوم به دست آوردند.در فرایند شاخه ای زبربحرانی $ lbrace z_{n} brace _ {ngeq0 } $ با شرط محیط ارگودیک و مانای $ xi $, با توجه به $ pi_{n}=e_{xi}(z_{n})$، نشان می دهیم $ w_{n}=z_{n}/ pi_{n} $ یک مارتینگل است و نرخ همگرایی جمعیت نرمالسازی شده $ w_{n} $ به حد آن, $ w_{infty} $ را مطالعه می کنیم. در اولین نتیجه ی اصلی، قضایای بوهلر و هید تعمیم داده شده و قضیه ی حدی مرکزی برای $ w_{infty}-w_{n} $ و $ w_{n+k}-w_{n} $، با یک نرمالسازی مناسب به ازای هر $ kin n^{ast} $، تحت شرط گشتاوری از مرتبه ی دوم ثابت می شود. در دومین نتیجه ی اصلی، برای نرخ همگرایی در قضیه ی حدی مرکزی فوق، تحت کرانداری گشتاوری از مرتبه ی $ 2+delta $, با شرط استقلال و هم توزیعی برای محیط, کران بری - اسن به دست می آید که تعمیم قضیه ی هید - براون است.