در این پایان نامه‏، چندین تکنیک موقعیت یابی برای مقادیر ویژه ی تعمیم یافته‎ ی یک دوتایی ماتریسی (‎دسته ی ماتریسی‏‎) از طریق قضیه مشهور گرشگورین و تعمیم های آن مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته اند. بعلاوه‏، تعدادی مثال عددی برای نواحی موقعیت یابی ساخت یافته بیان شده است. همچنین‏، بهبودها در تقریب ها شرح داده شده اند.

برای یک ماتریس n- مربعی مختلط مانند a = (a_ij)، فرض کنید w(a)، برد عددی a بوده و g_w(a) : = conv (?_(i=1)^n??{z ? c ??|z- a_ii ?|? (?_(i?j )??(|a_ij |+|a_ji |)?)/? }) و g^ (a) = ?_(u ?u_n)??g_w (u^* au?), که در آن ،u_n گروه همه ماتریس های یکانی n×n می باشد. مجموعه g^ (a) ناحیه گرشگورین به طور یکانی تقلیل یافته ی a نامیده می شود. در این پایان نامه، برخی از خواص جبری و هندسی g_w(a) و g^ (a) مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته است. تآکید روی ماتریس هایی مانند a است که برای آنها، w(a) با g_w(a) یا g^ (a) برابر می باشد.

برای یک ماتریس مختلط n×n‎‎ مانند a ‎، فرض کنید k(a) ‎ نمایشگر ماکزیمم تعداد بردارهای متعامد یکه ‎ x ? c^n‎باشد به گونه ای که حاصل ضرب های اسکالر ‎? ax,x ? روی مرز برد عددی ‎ aقرار گیرند. این عدد اخیراً توسط گائو و وو معرفی شده است و به عدد گائو-وو ی ماتریس ‎a ‎ مشهور است. فرض کنید e_ij‎ یک ماتریس ‎n×n‎ باشد که درایه ‎(i,j)-ام آن برابر با ‎1‎ و بقیه درایه های آن ‎ 0 باشند. یک ماتریس انتقالی وزن دار مانند ‎ a ‎، ماتریسی است که به فرم a=w_1 e_12‎+ ‎w_2 e_23‎+ ‎…‎ +‎w_(n-1) e_((n-1)n)‎+‎w_n e_n1‎ ‎می باشد. البته در اینجا ‎ w_j‎ها، که وزن های ‎a نامیده می شوند، اعدادی مختلط می باشند. در این پایان نامه برخی خواص جبری و هندسی عدد گائو-وو مورد مطالعه قرار گرفته است. همچنین برخی خواص ماتریس های انتقالی وزن دار نیز مورد بررسی قرار گرفته اند. بعلاوه، عدد گائو-وو برای ماتریس های انتقالی وزن دار نیز مطالعه شده است. کلمات کلیدی :‎ برد عددی، عدد گائو-وو، ماتریس انتقالی وزن دار.

در این پایان نامه، مفاهیم –cبرد عددی-k برد عددی، -cطیف، -kطیف، -cشعاع عددی، -kشعاع عددی،-c شعاع طیفی و-kشعاع طیفی ماتریس های مربعی مختلط مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته اند. تاکید روی مطالعه خواص جبری، هندسی (به ویژه نقاط مرزی و تحدب) و روابط بین این مفاهیم می باشد. همچنین، تساوی-kبردهای عددی نیز مورد تحقیق و بررسی قرار گرفته اند. کلمات کلیدی: -c برد عددی، -kبرد عددی، -cطیف، -kطیف، -cشعاع عددی، -kشعاع عددی، -cشعاع طیفی و -kشعاع طیفی.

می دانیم که بعضی ماتریس های حقیقی خاصیت پرون فروبنیوس دارند? هدف اصلی در این پایان نامه توسعه نظریه پرون فروبنیوس از ماتریس های نامنفی? به ماتریس های مختلط می باشد. ما اینجا دو نوع از تعمیم های نظریه پرون فروبنیوس برای ماتریس های مختلط را معرفی می کنیم? و نیز تعدادی شرط کافی و تعدادی شرط لازم و کافی برای اینکه یک ماتریس مختلط? جفت پرون فروبنیوس داشته باشد ارائه و مورد بررسی قرار می دهیم. ما همچنین اینجا تجزیه پرون فروبنیوس وتجزیه پرون فروبنیوس مختلط? را برای ماتریس های مختلط مطالعه می کنیم. علاوه بر این اگر ماتریس های مختلط a,b خاصیت پرون فروبنیوس داشته باشند تعدادی شرط کافی برای اینکه ماتریس های e^a? a^(-1) ? a?b وab نیز خاصیت پرون فروبنیوس داشته باشند به دست می آوریم. کلمات کلیدی نظریه پرون فروبنیوس ماتریس های نامنفی تجزیه پرون فروبنیوس می دانیم که بعضی ماتریس های حقیقی خاصیت پرون فروبنیوس دارند? هدف اصلی در این پایان نامه توسعه نظریه پرون فروبنیوس از ماتریس های نامنفی? به ماتریس های مختلط می باشد. ما اینجا دو نوع از تعمیم های نظریه پرون فروبنیوس برای ماتریس های مختلط را معرفی می کنیم? و نیز تعدادی شرط کافی و تعدادی شرط لازم و کافی برای اینکه یک ماتریس مختلط? جفت پرون فروبنیوس داشته باشد ارائه و مورد بررسی قرار می دهیم. ما همچنین اینجا تجزیه پرون فروبنیوس وتجزیه پرون فروبنیوس مختلط? را برای ماتریس های مختلط مطالعه می کنیم. علاوه بر این اگر ماتریس های مختلط a,b خاصیت پرون فروبنیوس داشته باشند تعدادی شرط کافی برای اینکه ماتریس های e^a? a^(-1) ? a?b وab نیز خاصیت پرون فروبنیوس داشته باشند به دست می آوریم. کلمات کلیدی نظریه پرون فروبنیوس ماتریس های نامنفی تجزیه پرون فروبنیوس

در این ‏رساله‏ مفهوم ‏شبه ژاکوبی را معرفی و مثال های متعددی از مشتقات تعمیم یافته شناخته شده‏، شرح داده می شود و خواص مقدماتی شبه ژاکوبی ها و روش هایی برای ساختن شبه ژاکوبی پایدار نیز بیان می شود.