در ابتدا به بررسی جبرهای نسبت بر روی عملگرهای وارون پذیر روی فضاهای هیلبرت می پردازیم و توسیعی ارایه خواهیم داد که این جبرها را روی فضاهای باناخ تعریف می کند وخواص آنها را بررسی خواهیم کرد. در فصل بعد جبری را معرفی می کنیم که به ازای هر عملگر روی فضای هیلبرت با بعد نامتناهی تعریف خواهد شد که آن را جبر طیفی می نامیم. نشان می دهیم که این جبر شامل جابجاگرهای آن عملگر است و در بسیاری از حالات این شمول سره خواهد بود. برای عملگرهای فشرده، جبرهای طیفی دارای ابر پایای غیر بدیهی هستند و به این ترتیب قضیه لومونوسوف را توسیع می دهیم.

در این رساله ضمن آشنایی با مفهوم نرم فازی تعاریف مهمی چون دنباله های همگرای فازی قوی، همگرای ضعیف فازی برشی و مجموعه های فشرده فازی برشی را در یک فضای نرمدار فازی ارایه میدهیم. همچنین مفاهیم ساختار نرمال فازی، ساختار نرمال asymptotic فازی، نگاشت های با گسترده فازی و فضای به طور یکنواخت محدب فازی را بیان می کنیم . سپس چندین قضیه مهم نقطه ثابت را برای نگاشت های ناگسترده فازی اثبات می نماییم.

این پایان نامه شامل 5 فصل می باشد. در فصل اول به بیان پیش نیازها و مقدمات لازم برای ارایه مطالب اصلی پرداخته ایم. در فصل دوم نگاهی کلی نسبت به مفهوم میانگین پذیری گروههای فشرده موضعی و میانگین پذیری جبرهای باناخ خواهیم داشت. در فصل سوم تعاریف شبه میانگین پذیری و شبه انقباض پذیری بیان می گردد و چند خاصیت اساسی از جبرهای باناخ شبه میانگین پذیر و شبه انقباض پذیر و همچنین ایده آلهای این جبرها ذکر می گردد. در فصل چهارم به بررسی رابطه بین شبه میانگین پذیری و میانگین پذیری تقریبی و همچنین شبه انقباض پذیری و دو تصویری تقریبی بودن می پردازیم. در فصل پنجم شبه میانگین پذیری l1(g), m(g) و l1(g) را مورد بررسی قرار می دهیم و مشابه قضیه جانسون را اثبات می نماییم و همچنین با بیان یک قضیه مثالی از یک جبر باناخ شبه میانگین پذیر که میانگین پذیر نمی باشد به دست می آوریم.

در ابتدا به بررسی ضربگرهای روی حبر باناخ بدون ترتیب می ردازیم و خواصی از جبر ضربگرها را ثابت می کنیم. در ادامه با برقراری فرض (h) در جبر باناخ a-a:t با برد بسته به حاصل ضرب یک ضربگر خودتوان و یک ضربگر معکوس پذیر تجزیه می شود و کاربردهایی از قضایای عنوان شده مطرح می شود.

در این پایان نامه ابتدا وجود نقطه ثابت برای نگاشت غیر انبساطی بررسی و سپس برای تعیین نقطه ثابت از روش تقریب چسبندگی استفاده می گردد. در این روش الگوریتم تکرار معرفی و با استفاده از آن نحوه بدست آوردن نقطه ثابت مورد بحث قرار می گیرد . سپس با تعمیم این الگوریتم نقطه ثابت مشترک برای خانواده متناهی از نگاشتهای غیر انبساطی در فضای باناخ مورد بررسی قرار می گیرد.

در این پروژه شرایطی لازم و کافی برای ماتریس های مختلط n+n مطرح می شوند که تحت آن نرمال باشند همچنین شرایطی نیز برای نرمال بودن عملگرهای خطی فشرده روی فضای هیلبرت تفکیک پذیر در حالت کلی بررسی می شوند در ادامه، چند نامساوی از مقادیر ویژه ی جمع عملگرهای فضای هیلبرت آورده شده است

در این پایان نامه ابتدا به بررسی میانگین پذیری کان دوگان دوم جبرهای باناخ منظم آرنزی پرداخته و شرایط لازم و کافی را برای میانگین پذیری کان این جبرها بیان می کنیم. همچنین این مفهوم را با زبان دنباله های دقیق کوتاه مورد بررسی قرار می دهیم. در پایان میانگین پذیری کان مانند c- جبرها رفتار می کنند. یعنی اگر s نیم گروه حذف پذیر و (s.w) منظم آرنزی باشد آنگاه؛ (s.w) میانگین پذیر است اگر و تنها اگر (s.w) میانگین پذیری کان باشد.

در این پایان نامه با مطالعه خواص اندازه های مطلقا پیوسته و هم منظم روی نیم گروه های توپولوژیک موضعا فشرده رابطه بین آنها مورد بررسی قرار گرفته است. در ادامه برای نیم گروه توپولوژیک موضعا فشرده s مجموعه mn(s) معرفی شده و مورد مطالعه قرار گرفته است. در پایان نتایج جدیدی در مورد اندازه های مطلقا پیوسته و هم منظم روی نیم گروه های توپولوژیک موضعا فشرده و همچنین توابع مدولار روی گروه های توپولوژیک موضعا فشرده مطرح شده است.

سه نظریه کوهمولوژی با عنوانهای پیوسته، پیوسته و کراندار وضعیت* پیوسته و کراندار، برای نمایشهای نیمرگروههای توپولوژیک روی فضاهای برداری توپولوژیک خاص، تعریف می کنیم. روابط بین گروههای کوهمولوژی تعریف شده با یکدیگر و با گروههای کوهمولوژی ها خشیلد جبرهای باناخ نیمگروهی را بررسی می کنیم. مفاهیم کوهمولوژیکی میانگین پذیری جانسون و میانگین پذیر تقریبی جانسون را برای نیمگروههای توپولوژیک تعریف می کنیم. همچنین، برخی کاربردها و مثالهای محاسباتی را بررسی می کنیم.

فرض کنید x یک مجموعه دلخواه و m)x(فضای تمام توابع حقیقی و کراندارروی باشد m)x(. را یک میانگین روی m)x(مینامند هرگاه مثبت و . = 1 وقتی s یک نیم گروه باشد میانگین روی m)s(را چپ پایا گویند هر گاه برای هر f درm)s(و s در s داشته باشیم وقتی که)f(=) f() f()t(= f)st(مجموعه میانگین های از چپ پایا را با ml)s(نشان میدهیم . هرگاه ml)s(غیر تهی باشد،s را میانگین پذیر چپ گوئیم . نقطه q متعلق به مجموعه محدب از فضای نرم شده e روی میدان اعداد حقیقی یا مختلط را شاخص گوئیم هر گاه تابعک خطی حقیقی f روی e وجود داشته باشد بقسمی که برای هر q در - } q { داشته باشیم . f)q (> f)q(. چینگ چو در سال) 1971 (در مقاله ای تحت عنوان " خواص هندسی مجموعه میانگین های پایا روی یک گروه " ثابت کرده است که اگر g یک گروه نامتناهی و شمارشی میانگین پذیر باشد آنگاه ml)g(نقطه شاخص ندارد. در سال) 1972 (گرانیر در مقاله خود با عنوان " نقاط شاخص یک مجموعه محدب و همگرائی دنباله ای ضعیف " برای یک نیم گروه میانگین پذیر چپ نشان داده است که ml)s(دارای نقطه شاخص است اگر و تنها اگر دارای ایده آل چپ متناهی باشد . فراسوی این تلاش یانگ مساله مشخصه سازی شاخص های یک نیم گروه میانگین پذیر چ رابطور کلی مورد بررسی قرار داده است ایشان در مقاله " نقاط شاخص میانگین های از چپ پایا " ثابت کرده است که اگر g یک گروه متناهی باشد ml)s(دارای یک نقطه شاخص و اگر نامتناهی باشد نقطه شاخص ندارد و در حالتی که s یک نیم گر باشد تعداد نقاط شاخص ml)s(دقیقا" برابر با تعداد ایده آل های چپ متناهی کمینه s خواهد بود. همچنین ثابت کرده است که اگر ml)s(دارای نقطه شاخص با آنگاه ml)s(برابر با ضعیف بستار غلاف محدب تمام این نقاط خواهد بود. درسال) 1982 (رگرازلویک در مقاله ای تحت عنوان انقباض های فرین روی یک فض حقیقی هیلبرت " ثابت کرده است که نقاط فرین گوی یکه b)h(وقتی که h یک هیلبرت است ، دقیقا" برابر با عملگرهای طولپا و با طولپای روی h میباشد در ادامه این راه وی درمقاله " نقاط شاخص گوی یکه " b)h(در سال) 1987 (روابط بین نقاط فرین و نقاط شاخص گوی شاخص گوی یکه b)h(را بر حسب بعد فضا و تفکیک پذیر بودن آن مورد بررسی قرار داده است . بعلاوه در این مقوله وجود و منحصر بفرد بودن یک میانگین پایای فضای توابع تقریبا" متناوب روی یک گروه g را مورد مطالعه قرار داده ایم و بالاخره با مطالعه و در نظر گرفتن مفهومی از عملگرهای تقریبا" متناوب ضعیف به یک جمع ون مستقیم برای فضای باناخ میرسیم . در این پایان نامه بررسی موضوعات و مقالات ذکر شده فوق مورد توجه میباشد.

دراین رساله برخی از فضاهای باناخی که دارای خاصیت یکنواختی هستند معرفی و مورد بررسی قرار می گیرند. که از جمله می توان به فضاهای باناخ بطور یکنواخت هموار، یکنواخت مدور موضعی (ضعیف)، یکنواخت مدور (ur)، تقریبا" یکنواخت مدور (nur)، یکنواخت مدور -ur` دلتا) و نیز فضاهای باناخی که دارای خاصیت یکنواختی (ua) a و یکنواختی (ukk)k-k هستند اشاره نمود . که هریک از فضاهای مذکور دارای خواص جالبی هستند که برخی از این خواص در ذیل آورده شده است . - کره واحد هر فضای یکنواخت مدور موضعی ضعیف ،شامل هیچ قطعه خط غیربدیهی نیست . - هر فضای باناخی که فضای دوگان، دوگان آن یکنواخت مدور موضعی ضعیف باشد، انعکاسی است . - یک فضای باناخ بطور یکنواخت همواراست اگر و تنها اگر فضای دوگان آن یک فضای یکنواخت مدور باشد. - هر فضای باناخ یکنواخت مدور، انعکاسی است . - هر زیرمجموعه بسته، محدب و غیرتهی از یک فضای باناخ یکنواخت مدور، شامل یک عنصر منحصر بفرد با نرم کمینه می باشد . - هر فضای باناخ متناهی البعد یک فضای باناخ تقریبا" یکنواخت مدور می باشد. - ارتباط بین فضاهای باناخ(ukk) , (ua) ,(-ur) , (nur) , (ur) به شکل زیر می باشد : (انعکاسی و (ur)-->(nur)<--->(-ur)<--->(ua)<--->

این پایان نامه شامل سه فصل است : در بخش اول از فصل اول نگاشتهای چندمقداری ، نگاشتهای چند مقداری محدب و مطالبی که در سایر بخشها به آنها نیاز است معرفی می شود. در بخش دوم قضایای نگاشت بازوگراف بسته برای نگاشتهای چندمقداری محدب را می آرویم. فصل دوم اساسی ترین فصل پایان نامه است که در بخش اول آن نگاشتهای چند مقداری نیم محدب و توابع نیم محدب معرفی خواهند شد و سپس مسائلی را در مورد نگاشتهای چندمقداری محدب مطرح شده اند و یا توسط ریاضیدانان مختلف اثبات شده اند را تعمیم می دهیم. در بخش دوم پیوستگی توابع نیم محدب را مورد بررسی قرار می دهیم. در بخش اول فصل سوم زیرمشتقهای مختلف از یک تابع را تعریف می کنیم و خصوصیات آنها را مورد بحث قرار می دهیم و در بخش دوم لم فارکاز برای نگاشتهای چندمقداری را بیان می کنیم.

این پایان نامه در سه فصل تنظیم شده است: فصل اول شامل سه بخش می باشد که تعاریف و قضایای مورد نیاز فصول بعدی آورده شده است . فصل دوم شامل دو بخش است ،بخش اول ابتدا به اثبات قضیه گلفاند-مازور پرداخته و سپس تعریف نیم نرم طیفی ارائه شده است. در بخش دوم با قضیه ای که وجود نیم نرم جبری را در جبرهای جابجایی ثابت میکند ، شروع کرده و سپس به بیان مفاهیم تبدیل گلفاند، همریختی گلفاند، توپولوژی گلفاند، و فضای گلفاند می پردازد تا در ادامه ثابت کند هر جبر طیفی ، رادیکال است یا فضای گلفاند آن ناتهی و موضعا فشرده است.فصل سوم شامل دو بخش است، بخش اول آن اختصاص به معرفی زیرجبرهای طیفی دارد که وابسته به مفهوم نیم مقسوم علیه توپولوژیک صفر می باشد.بخش دوم با ارائه مفهوم جبرهای اکیدا چگال به بررسی خواص فضای نمایش جبرهای طیفی می پردازد و از نتایج ریکارد برای جبرهای باناخ که همچنین برای جبرهای طیفی برقرار است استفاده کرده و درانتها به ارائه مشخصه های جبرهای طیفی می پردازد.