ابتدا نمایشی از انتگرالهای لاپلاس دوگانه با عنوان انتگرالهای ملین-بارنس تکراری را معرفی می کنیم. در ادامه با استفاده از قضیه مانده، بسطهای مجانبی جدیدی برای انتگرالهایی به صورت انتگرالهای لاپلاس چند گانه بدست می آوریم. که تابع فاز f متعلق به رده بزرگی از توابع و g نوسانی است. f می تواند چند جمله ای و شامل نقطه منفرد منزوی در مبدا باشد.

یکی از مباحث مهم که در معادلات دیفرانسیل مورد توجه قرار می گیرد، معادله دیفرانسیل مرتبه دوم می باشد زیرا بیشتر معادلات بدست آمده در علوم مختلف، بصورت معادله مرتبه دوم و یا تقریب بهتر آنها بصورت معادله مرتبه دوم است. عمده ترین معادله مرتبه دوم، معادله اشتورم-لیوویل است که در علوم مختلف به کار می رود. در معادله اشتورم-لیوویل محاسبه مقادیر ویژه و توابع ویژه در حالت های مختلف یکی از مهمترین مباحث است. یکی از مسائلی که در معادلات اشتورم-لیوویل مورد بررسی قرار می گیرد مساله عکس می باشد. در این مساله مطرح است که اگر ما چند طیف از یک مساله اشتورم-لیوویل را معلوم فرض کنیم، آیا در این صورت می توان تابع پتانسیل منحصربفردی بدست آورد؟ در پایان نامه حاضر، پاسخی به این سوال در دو حالت کلی مساله اشتورم-لیوویل کلاسیک و مساله اشتورم-لیوویل با شرایط ناپیوستگی در درون یک بازه متناهی، تحت شرایطی که در فصول ‎2و3‎ می آید مورد بررسی قرار می گیرد. مسائل مقدار مرزی با ناپیوستگی در درون یک بازه اغلب در ریاضیات، مکانیک، فیزیک، ژئوفیزیک و شاخه های دیگری از علوم طبیعی ظاهر می شوند. نقش چنین مسائلی به خواص گسستگی مواد بستگی دارد. مسائل مقدار مرزی با ناپیوستگی در یک نقطه درونی همچنین در مدل های ژئوفیزیک برای نوساناتی از زمین ظاهر می شوند که در مرجع ‎[24]‎ بررسی شده است. مسائل عکس در نظر گرفته شده در اینجا، برای بررسی ویژگی های طیفی از عملگرهای دیفرانسیل پذیر، انتگرال دیفرانسیل پذیر و انتگرال ظاهر می شوند. مسائل طیفی عکس و مستقیم برای عملگرهای دیفرانسیل پذیر بدون ناپیوستگی در مرجع ‎[24]‎ مطالعه شده است. همچنین برخی از جنبه های مسائل عکس و مستقیم برای مسائل مقدار مرزی ناپیوسته در فرمول های متنوع در مرجع ‎[24]‎ مورد مطالعه قرار گرفته شده است. این پایان نامه در سه فصل تنظیم شده است به طوری که فصل اول شامل تعاریف و قضایای مقدماتی است که در فصل دوم و سوم از آنها استفاده می شود. منبع اصلی فصل دوم مرجع ‎[24]‎ است و فصل سوم که گسترش فصل دوم است بر اساس مرجع ‎[2]‎ تنظیم شده است.

در فصل اول، ابتدا مفاهیم اولیه در مورد سیستم های دینامیکی پیوسته از قبیل نقطه بحرانی، پایداری نقطه بحرانی، شار، نقطه حدی، آشوب و برخی روش های تشخیص آشوب بیان شده است. سپس، مطالب ذکر شده به سیستم های دینامیکی گسسته تعمیم داده می شود. در فصل دوم، پس از تعریف سیستم های پایستار، سیستم های همیلتونی و خواص آن ها از قبیل انتگرال پذیری، ساختار سیمپلتیکی، نگاشت های پوانکاره ی شارهای همیلتونی و نحوه ی تعیین نماهای لیاپانوف این سیستم ها بیان شده است. سپس ارتباط بین سیستم های همیلتونی و سیستم های گرادیان بیان شده است. در فصل سوم، پس از شرح روش شاخص هم ترازی زیرین، این روش برای دو سیستم همیلتونی به ترتیب از درجه ی آزادی دو و سه به کار برده شده و رفتار آن برای حرکت منظم و آشوبناک توضیح داده شده است. سپس، رابطه ی این روش با روش نماهای لیاپانوف بررسی و مقایسه ی بین آن ها صورت گرفته است.

در این رساله، جواب های عددی و تقریبی کلاس هایی از معادلات انتگرال و انتگرال دیفرانسیل غیر خطی را مورد مطالعه قرار خواهیم داد. با بیان قضایای وجود و منحصربفردی، روشهای پیشرفته عددی مانند هم محلی، تبدیل دیفرانسیل و خطی سازی را بری حل معادلات انتگرال ولترا-فردهلم غیر خطی، معادلات انتگرال منفرد و معادلات انتگرال دیفرانسیل دو بعدی غیر خطی با اعمال برخی شرایط قابل اثبات روی هسته معادلات و توابع غیر خطی مسئله به همراه آنالیز خطا و همگرایی این روش ها، مورد تحلیل قرار می دهیم. نهایتا" کارایی این روش ها را با ارائه مثال های عددی نشان خواهیم داد.

روش های سینک برای حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی و مشتقات جزئی به طور گسترده بررسی شده و کارائی آن، مخصوصا برای مسائل منفرد و مسائل با دامنه نامتناهی نشان داده شده است. روش های سینک کاربردهای فراوانی در علوم کاربردی مانند انتقال حرارت، رشد جمعیت، مکانیک سیالات، کنترل بهینه، مساله معکوس و تصویر برداری پزشکی دارد. اساس تقریب سینک بر تابع کاردینال ویتاکر استوار است. برتری این روش نسبت به سایر روش های عددی در مسائلی که نقطه تکین دارند مشخص می شود. رشد همگرایی در این روش برای تقریبn نقطه به صورت o(exp?(-c?n)) است، که در آنc ثابت است. روش های تقریب سینک خانواده جدیدی از فرمول ها را برای محاسبات جواب مسایل ارائه می دهد. این فرمول ها ما را قادر می سازند که بتوانیم تقریب هایی با دقت مناسب برای انواع عملیات مانند تقریب مشتق و انتگرال توابع و... به دست آوریم. مدل سازی ریاضی بیماری ها یکی از روش های موثر برای درک دینامیک بیماری ها است. این مدل ها اغلب دستگاه های معادلات دیفرانسیل غیرخطی مرتبه یک هستند. بررسی فرضیه های مختلف بر اساس داده های کلینیکی بیماری ها اغلب بسیار مشکل است زیرا نمی توان به تعداد زیادی از بیماران دسترسی پیدا کرد و یا تکنیک های اندازه گیری ویروس ها دقیق نیستند. بنابراین مدل های ریاضی در این حوزه بسیار مهم هستند. یکی از راه های تحلیل و پیش بینی در مورد بیماری ها شبیه سازی های عددی است. با توجه به این که روش سینک تاکنون برای حل دستگاه های معادلات ارائه نگردیده است در این تحقیق دنبال آن هستیم که روش سینک را برای به کارگیری در حل سیستم های دینامیکی تعمیم دهیم. در فصل دوم روش های طیفی به اختصار معرفی می شوند. در فصل سوم ضمن معرفی پیش زمینه تئوری توابع سینک و ویتاکر، به معرفی فرمول ها و قضایای تقریب های سینک و روش های طیفی با پایه های سینک خواهیم پرداخت. در ادامه روش سینک گالرکین و سینک هم محلی برای حل مسائل مقدار مرزی ارائه می شوند. جهت حل مسائل مقدار اولیه لازم است قدری در پایه های این روش تغییر ایجاد شود. لذا با تغییر این پایه ها روش سینک برای حل مسائل مقدار اولیه تعمیم داده می شود و در انتهای فصل سوم با ارائه مثال های مختلفی از مسائلی که دارای تکینی در خود معادله و یا تکینی در جواب هستند روش های سینک گالرکین و هم محلی و روش گالرکین با هم دیگر مقایسه خواهند شد‎.‎ در فصل چهارم پس از ارائه مفاهیم اولیه مربوط به تحلیل های پایداری، دو مدل ریاضی مورد بررسی قرار می گیرد. مدل بیماری های ویروسی درون میزبان و مدل جمعیت بیماری ببیزیوسیز در گاوها و کنه ها و سپس روش سینک تعمیم یافته چندگامی ارائه می گردد و در نهایت با شبیه سازی های عددی، مثال های متنوعی مورد مطالعه قرار می گیرند

1- مسأله مقدار مرزی با پارامتر ویژه که به طور خطی در یکی از شرایطشرایط مرزی قرار دارد را در نظر می گیریم را در نظر می گیریم. با استفاده از روشهای کلاسیک نشان می دهیم که مقادیر ویژه این مسأله ساده و حقیقی است. با محاسبه فرمولهای مجانبی جوابهای اساسی توزیع مجانبی مقادیر ویژه و ثابتهای نرمال ساز را بدست می آوریم.قضاییای منحصر بفردی برای جواب مسائل عکس یافتن تابع پتانسیل و ضرایب شرایط مرزی از تاع وایل ، داده طیفی و دو طیف ثابت می شود. نشان داده می شود که این مسائل هم ارز هستند. برای بدست آوردن جواب مسدله عکس یافتن عملگر اشتورم-لیوویل از داده طیفی روش نگاشتهای طیفی را ارائه می دهیم. با معرفی یک فضای هیلبرت مناسب ، این مسأله مقدار مرزی را به صورت یک عملگر خطی در این فضا فرمولبندی می کنیم. با ساختن تابع گرین و عملگر حلال نشان می دهیم که این عملگر خود الحاق است. 2- سپس مسأله مقدار مرزی برای معادله اشتورم-لیوویل روی یک گراف ستاره گونه را با شرایط مرزی دیریکله و رابین در رئوس مرزی و شرایط جورسازی در رأس داخلی را مطاله می کنیم. با فرمولبندی این مسأله به صورت یک عملگر در یک فضای هیلبرت مناسب نشان می دهیم مقادیر ویژه حقیقی است. توزیع مجانبی مقادیر ویژه مسأله را بدست آورده و با استفاده از ویژگیهای توابع نوانلینا نشان می دهیم مقادیر ویژه مسأله اصلی و دنباله ای که از اجتماع طیفهای دو مسأله دیریکله-دیریکله و یک مسأله رابین دیریکله بر یالهای گراف تشکیل می شود به مفهومی متداخل هستند. ثابت می کنیم اگر این چهار طیف همدیگر را قطع نکنند ، آنگاه مسأله عکس برای یافتن تاع پتانسیل و شرایط مرزی و جورسازی به طور منحصر بفرد قابل حل است. الگوریتمی را برای یافتن جواب این مسأله عکس ارائه می دهیم.

بارسلون در سال 1983 برای اولین بار مسائل معکوس معادله اشتورم - لیوویل را مورد مطالعه قرار دادند که ایشان برای اثبات فرمول بارسلون برای معادلات سیم از کسرهای مسلسل استیل - ژس استفاده نموده اند. فرمول اثبات شده توسط بارسلون برای این منظور است که جنس سیم با استفاده از این فرمول تعیین گردد تا صدای دلخواه از آن تولید شود‎.‎ هدف این پایان نامه، استفاده از مسائل معکوس معادلات اشتورم - لیوویل و به کار بردن دو طیف از معادلات سیم برای اثبات فرمول سابق بارسلون به شکل جدیدی می باشد. در سراسر این پایان نامه‏، تابع چگالی معادله سیم همواره پیوسته فرض شده است و این فرمول با تابع چگالی پیوسته در یک نقطه انفصال از یک بازه متناهی به دست می آید.‎ در نهایت با استفاده از فرم مجانبی جواب های مسائل مقدار اولیه و فرم مجانبی طیف های معادلات سیم، فرمول بارسلون را برای سیمی با تابع چگالی پیوسته تکه ای اثبات می کنیم.

در این پایان نامه‏، مسائل طیفی وارون برای عملگر اشتورم- لیوویل روی گراف ‎‎‎‎d‎‎‎- ستاره و تعیین دسته دیفرانسیل از داده های طیفی درونی مورد مطالعه قرار می گیرد. ‎ابتدا تعیین دسته دیفرانسیل از داده های طیفی درونی بررسی می شود.‎ ‎‎ ‎‎ما اثبات می کنیم که : با‎ معلوم بودن ‎‎‎‎p(x)‎ ‎ یا ‎‎‎‎q(x) ‎ روی‎ بازه ی ‎‎‎‎[0,?]‎ ‎ می توانیم‎‎ با داشتن مجموعه ی مقادیر توابع ویژه در نقطه ی میانی ‎‎‎‎[0,?]‎ ‎ به علاوه یک طیف یا برخی اطلاعات از توابع ویژه در برخی نقاط داخلی ‎‎b?(‎ ?/2,‎?)‎ و ‎قسمت هایی‎ از دو طیف ‎تابع مجهول و همه ی پارامترهای شرایط مرزی را روی بازه ی‎ [0, ?]‎ ‎تعیین کرد. ‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎در‎ نهایت مسائل وارون طیفی برای عملگر دیفرانسیل اشتورم- لیوویل روی گراف d‎‎‎- ستاره با شرایط انطباق (جورسازی) استاندارد در رأس داخلی برای ‎d?‎2‎‎‎ بررسی می شود.‎ ‎‎همچنین اثبات می شود که:‎ اگر تابع پتانسیل ‎qj(x)‎ ‎ روی یال ثابت ‎‎‎‎ej در بازه ی ‎‎‎‎[‎?/2‎, ‎?]‎ ‎‎‎‎ معین باشد‏، می توانیم با استفاده از طیف تابع ‎qj(x)‎ ‎ را روی بازه ی ‎‎‎‎[0, ?]‎ ‎ تعیین کنیم.

برای معادله ی اشتورم-لیوویل با پارامترویژه در شرایط مرزی در حالت های اسکالر و ماتریسی، یک فرمول اثر منظم مرتبهی اول را به دست می آوریم. همچنین برای سیستم های شرودینگر روی گراف های متری، ابتدا با کمک قضیه ی روشه، بسط مجانبی مقادیر ویزه ی بزرگ را به دست می آوریم و سپس فرمول اثر منظم را برای سیستم های مذکور با استفاده از روش های مانده در انالیز مختلط به دست می آوریم و در اخر این فرمول ها را برای به دست آوردن یک نتیجه در مسأله ی عکس از نوع نتیجه ی امبارزومیان به کار می بریم.

در این رساله، مسأله اشتورم- لیوویل با دو شرط مرزی y(0)=y’(1)=0 روی بازه (0,1) مورد بررسی قرار می گیرد. معادله اشتورم- لیوویل دارای پارامترحقیقی (مقدار ویژه)، تابع پتانسیل (کراندار و روی بازه (0,1) انتگرالپذیر) و تابع چگالی ( دو بار بطور پیوسته مشتق پذیر) می باشد. با در دست داشتن فرم حاصلضرب نا متناهی مشتق جواب معادله دیفرانسیل، می توان معادلات دوآل مسأله اصلی را مطرح نمود که این دسته از معادلات کمک شایانی به ما در تعریف مسأله عکس یعنی بدست آوردن تابع پتانسیل می کنند.

یکتایی جوابهای دو مسیله اشتورم-لیوویل معکوس با استفاده از سه طیف بر اساس یکتایی زوج جوابهای مسیله مقدار مرزی گورسات-کوشی نامعین اثبات شده است.در این پایان نامه (فصل 6) در مورد منحصر بفردی تابع پتانسیل برای شرط مرزی دیریکله در یک گره داخلی دلخواه و برای شرط مرزی را بین در یک گره داخلی که در گره های داخلی شرط مرزی دیریکله در دو وضعیت داریم، بحث می کنیم بویژه در اینجا، توابع پتانسیل را متعلق به فضای l2 0.a در نظر می گیریم.

این پایان نامه, مدل ‎sir‎ غیر-خودگردان را با نرخ سرایت متناوب و نرخ انتقال ثابت فرموله می کند. با استفاده از قضیه تداوم از نظریه ی درجه انطباق, شرط کافی برای وجود حداقل دو جواب متناوب مثبت بدست آورده می شود. پایداری جواب متناوب برای افراد مستعد پذیرش بیماری بررسی گشته و سپس شبیه سازی عددی برای نشان دادن نتایج تئوری ارائه می گردد.

در این پایان نامه رده ای از معادلات دیفرانسیل مرتبه ی دوم منفرد با اختلال منفرد نسبت به شرایط مقدار مرزی سه نقطه را مورد بررسی قرار می دهیم که جواب آن در نقاط انتهایی لایه های مرزی را ارائه می دهد. ابتدا با استفاده از قضیه نقطه ثابت شاودر، قضیه جواب های بالایی-پایینی را ایجاد می کنیم. با استفاده از بسط های مجانبی و قضیه جواب های بالایی-پایینی برای مسأله در نظرگرفته شده وجود، تخمین مجانبی و یکتایی جواب ها را بدست می آوریم و در نهایت با ارائه چندین مثال به بررسی نتایج بدست آمده می پرداز‎‎یم. ‎

در این پایان نامه رده ای از معادلات دیفرانسیل مرتبه ی دوم منفرد با اختلال منفرد نسبت به شرایط مقدار مرزی سه نقطه را مورد بررسی قرار می دهیم که جواب آن در نقاط انتهایی لایه های مرزی را ارائه می دهد. ابتدا با استفاده از قضیه نقطه ثابت شاودر، قضیه جواب های بالایی-پایینی را ایجاد می کنیم. با استفاده از بسط های مجانبی و قضیه جواب های بالایی-پایینی برای مسأله در نظرگرفته شده وجود، تخمین مجانبی و یکتایی جواب ها را بدست می آوریم و در نهایت با ارائه چندین مثال به بررسی نتایج بدست آمده می پرداز‎‎یم.

در ابتدا به طور مختصر ارتباط بین مسائل تغییراتی و معادلات دیفرانسیل را بیان می کنیم. همان طور که می دانیم هر معادله دیفرانسیل را می توان به صورت ‎egin{equation} label{yek}‎ ‎a(u)= 0‎ ‎end{equation}‎ نوشت، که در آن ‎$ a(u) $‎ یک عملگر دیفرانسیل معمولی یا جزئی خطی یا غیرخطی و ‎$ u $‎ مجهول می باشد. برای حل این معادلات و به خصوص معادلات دیفرانسیل جزیی غیرخطی راه حل مشخصی وجود ندارد.حساب تغییرات یک کلاس عمده از مسائل غیرخطی را با استفاده از تکنیک های ساده آنالیز تابعی غیرخطی حل می کند. در واقع اگر در معادله دیفرانسیل‎( ef{yek})‎ عملگر ‎$ a(.) $‎ مشتق تابعک ‎$ i(.) $‎ باشد، به عبارتی ‎egin{equation}‎ ‎a(.)= i^{}(.)‎ ‎end{equation}‎ آنگاه مسئله ‎( ef{yek})‎ را می توان به صورت ‎egin{equation}‎ ‎i^{}(u)= 0‎ ‎end{equation}‎ نوشت.مــــــــزیت این فرمول بندی این است که در این حالت به جای پیدا کردن جواب معادله دیفرانسیل ‎( ef{yek})‎، می توانیم نقاط بحرانی ‎$ i(.) $‎ را پیدا کنیم. لذا با توجه به آنــــچه گفتیم، با بررسی هر مسئله تغییراتی و با اعمال شرایطی روی آن، موفق به حل یک معادله دیفرانسیل خواهیم شد.در این روند دو سوال مطرح می شود، اول این که اگر معادله دیفرانسیل داده شده باشد، آنگاه ‎$ i $‎ چگونه و روی چه فضایی تعریف شود تا نقاط بحرانی آن در صورت وجود با جواب معادله دیفرانسیل سازگار باشد. از طرف دیگر، سوال کلی تر نیز مطرح است که چگونه از تابعک های لاگرانژ، به جواب معادلات اویلر-لاگرانژ برسیم که در این روند مهم ترین نقش را فضای کار و بهینه سازی تابعک لاگرانژ ایفا می کند. ‎‎ در این پایان نامه با به کارگیری روش های مستقیم تغییراتی به یافتن جواب ضعیف برای معادله اویلر-لاگرانژ کسری زیر روی بازه ‎$ [a‎, ‎b] $‎ خواهیم پرداخت، ‎egin{equation} label{moadeleh1}‎ ‎frac{partial{l}}{partial{x}}(u,d_{-}^{alpha}u‎, ‎t)‎ + ‎d_{+}^{alpha}(frac{partial{l}}{partial{y}}(u,d_{-}^{alpha}u,t)) = 0‎ ‎end{equation}‎ که در آن ‎$ d_{-}^{alpha} $‎ و ‎$ d_{+}^{alpha} $‎ به ترتیب مشتقات کسری ریمان-لیوویل‎ltrfootnote{riemann-liouville}‎ چپ و راست از مرتبه ‎$ alpha $‎ و همچنین ‎$ frac{partial{l}}{partial{y}} $‎ و ‎$ frac{partial{l}}{partial{x}} $‎ مشتقات جزئی عملگر لاگرانژین نسبت به مولفه های اول و دوم می باشند. ‎‎برای این منظور روی تابعک ‎egin{equation} label{lagrang}‎ ‎mathcal{l}(u)=int_a^b{l(u,d_{-}^{alpha}u,t)}dt‎ ‎end{equation}‎ متمرکز می شویم، که از نوع مینیمم سازی تابعک انرژی خواهد بود، و در آن ‎$ a < b $‎ و متغیــــــر ‎$ u:(a,b)longrightarrow mathbb{r} $‎ یک تابع برداری است‎.‎ ‎$ mathcal{l}(u) $‎را تابعک انرژی یا تابعک لاگرانژ نامیده و لاگرانژین ‎$ l $‎ را به صورت زیر در نظر می گیریم، که در آن ‎$ din mathbb{n}^* $‎ است. ‎egin{equation}‎ ‎egin{array}{ll}‎ ‎l:{mathbb{r}^d} imes{mathbb{r}^d} imes[a,b]longrightarrow mathbb{r} ‎ ‎(x,y,t)longmapsto l(x,y,t)‎ ‎end{array}‎ ‎end{equation}‎ ‎‎در واقع با بررسی تابعک ‎( ef{lagrang})‎ و با اعمال شرایطی روی عملگر لاگرانژین ‎$ l $‎، به بحث وجود و یکتایی جواب معادله اویلر-لاگرانژ به دست آمده از مسئله تغییراتی مورد نظر می پردازیم‎.‎ در تابعک انرژی فوق، عملگر ‎$ l $‎ درگیر با مشتق ریمان-لیوویل چپ می باشد، در حالی که می توانیم مشتقات دیگر مثل مشتق کاپوتو ‎ltrfootnote{caputo}‎، ریس ‎ltrfootnote{riesz}‎، هادامارد‎ltrfootnote{hadamard}‎و ... را نیز جایگزین کنیم‎.‎ همان طور که مسئله برای حالتی که معادله اویلر-لاگرانژ درگیر با مشتق کاپوتو می باشد، توسط بوردین‎ltrfootnote{bourdin}‎ و همکارانش در ‎cite{bourdin}‎ مورد بحث و بررسی قرار گرفته است

اولین مدل ریاضی ائیدمولوژی در سال 1760 به وسیله دانیل برنولی فرموله شد. حضور hiv در سال 1981 که باعث بیماری ایدز شد از مهمترین ئیامدهایی است که از طریق رواب جنسی منتقل می شود. یکی از اهداف مهم این ئایان نامه مدل بندی انتقال ویروس بیماری ایدز از مادر به فرزند می باشد. برای این منظور در این ئایان نامه به تدوین و فرموله کردن مدلی ریاضی برای بیماری همه گیر ایدز که می تواند به صورت عمودی یا افقی در بین افراد منتقل شود می پردازیم.

در این رساله با توسیع مسائل تغییراتی کسری، امکان بهینه سازی چنین مسائلی را در فضایی مهیا کرده ایم که جواب این مسائل بتوانند در مرز به بینهایت برسند. بدین منظور، فضای سوبولف کسری مناسبی معرفی و قضایای نشاندن فشرده برای این فضا اثبات شده است. وجود جواب مینیمم ساز برای مسئله تغییراتی که در معادله اویلر-لاگرانژ مرتبط با شرایط مرزی ریمان-لیوویل صدق کند را ثابت کرده ایم. روش اثبات بر پایه حساب تغییرات کسری استوار است. به عنوان یک کاربرد از این مسائل، وجود جواب پایا برای معادلات واکنش-انتشار کسری را نشان داده ایم. در نهایت فضاهای سوبولف کسری را توسیع و آن را مجهز به یک ترتیب مرتب جزئی کرده ایم تا وجود، یکتایی و همواری جواب را برای معادلات دیفرانسیل با مشتقات ریمان-لیوویل دنباله ای ثابت کنیم.

در این پایان نامه یک مدل اپیدمی شامل دو کنترل کننده واکسن و درمان در دو حالت در نظر گرفته شده است. حالتی که کنترل ها با یک نرخ ثابت اعمال می شوند و حالتی که کنترل ها لزوما با یک نرخ ثابت اعمال نمی شوند. در حالت اول روش آنالیز کیفی و در حالت دوم روش کنترل بهینه برای بدست آوردن نتایج در نظر گرفته شده است.

-در این پایان نامه، مسأله ی اشتورم-لیوویل را با شرایط مرزی دیریکله و نویمان در نظر گرفته و اولین مقدار ویژه را در حالت های مختلف به دست می آوریم و همچنین توزیع مجانبی مرتبه بالاتر مقادیر ویژه را با بکارگیری معادله ی ریکاتی به دست می آوریم.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.