با جایگزین کردن lim با یک تابعک دلخواه g پیوستگی را تعمیم داده, بنابرای نابع f در نقطه g ,u -پیوسته است هرگاه g(x)=u نتیجه دهد ( g(f(x))=f(u هنگامی که g(x)=limx باشد پیوستگی معمولی حاصل می شود. در این پایان نامه نتایج متعددی در این زمینه به دست می آوردیم از جمله یک شرط کافی برای اینکه g-پیوستگی خطی بودن توابع را ایجاب کند و یک شرط لازم برای آنکه توابع پیوسته,g-پیوسته باشند ارائه مکنیم

جبر باناخ n، a میانگین پذیر ضعیف است هرگاه اولین گروه کوهمولوژی پیوسته a با ضرایب درn اُمین دوگان a صفر شود. همچنین a میانگین پذیر دائماً ضعیف است، هرگاه برای هر n جبر n، a میانگین پذیر ضعیف باشد. در فصل سوم ارتباط بین m -میانگین پذیری ضعیف و n- میانگین پذیری ضعیف را برای دو عدد مجزای m و n بررسی می کنیم. همچنین نشان می دهیم که تحت چه شرایطی جبرهای باناخ مختلف، n -میانگین پذیر ضعیف هستند. در فصل سوم با جبرهای گروهی، *c-جبرها، جبرهای تابعی باناخ و جبرهای عملگرها آشنا می شویم.

مطالعه ی خواص جداسازی مجموعه های رادیان (ستاره گون در مبدأ) در سالهای اخیر مورد توجه روزافزونی قرار گرفته است، ابتدا در فضاهای اقلیدسی [14 و 20] و فضاهای با بعد نامتناهی [23 و 24] بررسی شده اند. در آنجا نشان داده شده که هر نقطه ی که به مجموعه ی بسته و رادیان (در یک فضای نرمدار ) تعلق ندارد را می توان با یک تابع فوق خطی پیوسته ی تعریف شده روی تفکیک کرد، به طوری که و به ازای هر . این نتیجه را می توان این طور بیان کرد که هر مجموعه ی رادیان و بسته ی ، اشتراک تمام مجموعه های تراز پایین و شامل است که فوق خطی است. در [24]، رهیافت مشابهی به منظور پرداختن به حالتی که اشتراک مجموعه های تراز اکید است تعمیم داده شده است. برای تشابه با حالت محدب، این مجموعه ها را به طور یکدست رادیان می نامند و با خاصیت مخروط مماس بر در نقاط مرزی مشخص می شوند. در این پایان نامه مطالعه ی خود را با در نظر گرفتن مجموعه های تراز و از توابع فوق خطی پیوسته ، توسعه می دهیم. این مجموعه ها هم رادیان هستند، یعنی متمم مجموعه های رادیان، به وسیله ی اشتراک آنها، بعضی از زیر رده های مجموعه های هم رادیان را مشخص سازی کنیم، یعنی مجموعه های هم رادیان بسته و مجموعه های به طور یکدست هم رادیان. مطالعه ی این خواص تفکیکی را می توان به روش یکنواخت به منظور تأکید بر شکل هندسی تفکیک یک نقطه از یک مجموعه توضیح داد. با توجه به این رهیافت، نشان می دهیم مجموعه های هم رادیان محدب را می توان برای تفکیک و جداسازی نقاط از مجموعه های رادیان به کار برد و همچنین مجموعه های رادیان محدب را برای تفکیک نقاط از مجموعه های هم رادیان مورد استفاده قرار می گیرند. به بیان دقیق تر، یک مجموعه ی و نقطه ی را در نظر بگیرید. اگر رادیان (به ترتیب، هم رادیان) باشد، آنگاه می توانیم یک مجموعه ی هندسی محدب و هم رادیان (به ترتیب، رادیان) مانند بیابیم که شامل بوده و از مجزا باشد، علاوه بر این، باز است هرگاه بسته باشد، در صورتی که بسته است هرگاه به طور یکدست رادیان (به ترتیب، به طور یکدست هم رادیان) باشد. هنگامی که این مشخصه سازی هندسی اثبات شود، ارائه مشخصه سازی تحلیلی آن با استفاده از معیار مینکوفسکی محدب یا مقعر امکان پذیر خواهد بود. از این واقعیت شناخته شده بهره خواهیم برد که هر مجموعه ی محدب بسته (باز) که درون آن شامل مبدأ باشد را می توان به عنوان مجموعه ی تراز بالای (به ترتیب، ) یک تابع فوق خطی پیوسته (یا به طور معادل، به عنوان مجموعه تراز پایین یا یک تابع فوق خطی ) مشخصه سازی کرد. توصیف مجموعه های هم رادیان محدب با استفاده از معیار پیوسته به این سادگی نیست و در مرجع [22] بررسی شده است. مهمترین نتایج در فصل 3 ارائه شده است. برای مطالعه ی بیشتر معیارهای مقعر و هم معیارها مراجع [1 و 14 و 16] را ببینید. بخش 3-4 به نتایج اساسی این پایان نامه اختصاص یافته است که عبارت است از نتایج تفکیک برای مجموعه های رادیان و هم رادیان به شکل های هندسی و تحلیلی. همچنین توصیف معادلی از این خواص تفکیک را به صورت انواع متفاوتی از روابط قطبیت بیان می کنیم

این پایان نامه مشتمل بر سه فصل است. در فصل اول به بیان مفاهیم اساسی مورد نیاز و بعضی از قضیه ها که در فصل های بعد به کار می روند، می پردازیم. در فصل دوم مفاهیم و قضایای اساسی که در فصل سوم مورد استفاده قرار می گیرند را بیان می کنیم. در فصل سوم به بررسی یک قضیه مهم از ریچری می پردازیم. این قضیه برای اثبات وجود جواب مسائل مقدار مرزی به کار می رود. در انتهای این فصل سه کاربرد قضیه ریچری در مسائل مقدار مرزی غیر خطی را بیان می کنیم که عبارتند از: مسأله مقدار مرزی دو نقطه برای معادلات دیفرانسیل معمولی، مسأله نیومن برای معادله های دیفرانسیل بیضوی و مسأله دیریکله برای معادله های بیضوی با نا پیوستگی های غیر خطی.

چکیده: فرض کنیم یک فضای باناخ بوده و فضای دوگان دوم آن باشد. روی ضرب های اول و دوم آرنز را تعریف می کنیم و سپس در حالتی که یک گروه موضعاً فشرده است دوگان دوم را به جبر باناخی تبدیل می کنیم که عمل ضرب روی آن همان ضرب اول و یا ضرب دوم آرنز است. سپس مرکز توپولوژی را بدست می آوریم و نشان می دهیم که اگر یک گروه آبلی باشد آنگاه مرکز توپولوژی با برابر است. بالاخره، نشان می دهیم که اگر و گروه های آبلی موضعاً فشرده باشند و بین و یک یک ریختی برقرار باشد آنگاه و یکریخت هستند.

این پایان نامه مشتمل بر سه فصل است .فصل اول مقدمه ای از آنالیز تابعی و فصل دوم قضایای کاربردی در فصل سوم را بیان می کنیم و فصل سوم شالوده ی پایان نامه هعم از عملگرهای به طور ضعیف فشرده روی فضاهای غیرانعکاسی رامعرفی می کنیم.

در این پایان نامه، ابتدا در زمینه ی عملگرهای خطی و کراندار در فضای هیلبرت که قابل تجزیه به صورت حاصل ضرب دو عملگر خودالحاق هستند، به بررسی می پردازیم و نشان می دهیم یک عملگر نرمال می تواند به حاصل ضرب دو عملگر خودالحاق تجزیه شود اگر و تنها اگر متشابه عملگر الحاقی خود باشد. علاوه بر این مفهوم عملگر خودالحاق تعمیم یافته را که در فضای هیلبرت مختلط تعریف شده است به همراه قضایائی در این باب، ارائه خواهیم داد. همچنین نشان می دهیم که طیف ها و میدان های فردهلم عملگرهای خودالحاق تعمیم یافته نسبت به محور حقیقی متقارن هستند. برخی نتایج مربوط به عملگرهای خودالحاق تعمیم یافته و عملگرهای تا حدی نرمال را بیان می کنیم. این رساله در ارتباط با مراجع [12] و [22] است.

بهینه سازی بدون استفاده از مفهوم مشتق بکی مسائل مهم در بهینه سازی است . در این پایان نامه مفهوم گرادیان گسسته را مطرح کرده ایم و به کمک آن زیر دیفرانسیل یک تابع لیپ شیتز را تقربی زده و به با معرفی روش برش زاویه ای به مبنبمم سازی یک تابع همگن بر سیمپلکس واحد پرداخته و در ادامه به کمک این الگوریتم ها به مینیمم سازی یک تابع لیپ شیتز بر ابر مکعب پرداخته ایم.