در این پایان نامه ابتدا حسابان کسری را به طور مختصر معرفی کرده سپس به معرفی و تقسیم بندی معادلات انتگرال معمولی و کسری می پردازیم. در ادامه پس از بیان تعاریف و مفاهیم لازم درباره ی موجک ها، به طور خاص موجک هار را مورد بررسی قرار داده و به کمک این موجک و با استفاده از روش هم محلی به حل معادلات انتگرال فردهلم و ولترای کسری و نیز معادلات انتگرال- دیفرانسیل کسری می پردازیم. دیدیم که وقتی اندیس سطح تفکیک موجک افزایش می یابد، تقریب های بهتری به دست می آید. از مزایای روش موجک هار نسبت به سایر موجک ها می توان به سادگی و سطح محاسبات نسبتاً کم آن اشاره کرد در فصل چهارم روش تبدیل دیفرانسیلی کسری را برای حل معادلات انتگرال- دیفرانسیل ولترای کسری بررسی می کنیم و با ذکر چند مثال نشان می دهیم که این روش قابل استفاده برای مسائل مقدار اولیه و مقدار مرزی خطی یا غیر خطی می باشد. همچنین امکان پیاده سازی روش بر روی دستگاه معادلات انتگرال- دیفرانسیل کسری وجود دارد. با ارائه ی یک مثال نشان می دهیم که اگر جواب معادله به صورت سری توانی باشد، این روش جواب دقیق را به دست می دهد. در سایر موارد، با افزایش تعداد جملات درنظرگرفته شده در جواب سری می توان دقت را بهبود بخشید. با مقایسه جواب های به دست آمده از این روش و روش موجک هار می توان نتیجه گرفت که این روش دارای دقت خوبی است و حتی دقت آن از روش موجک هار نیز بیشتر می باشد. در پایان باید به این نکته نیز توجه کرد که روش تبدیل دیفرانسیلی با وجود تمام مزایا فقط قابل استفاده برای معادلاتی است که بتوان تبدیل دیفرانسیلی تمام جملات آن را نوشت و این باعث محدود شدن دامنه اعمال روش می شود.

ما در این پایان نامه مشخصه های ولتاژ- جریان – شار اسکوئیدهای dc دمای بالای متقارن و نامتقارن را مورد بررسی قرار داده ایم. کار اصلی ما که در فصل های چهارم و پنجم آورده شده، بررسی نظریه گرینبرگ در این مورد می باشد. این نظریه تحلیلی مهمی است که گرینبرگ و همکاران او در یک سلسله کارهای نظری، تجربی و محاسباتی هماهنگ که نتایج آنها در شش مقاله چاپ شده، به آن پرداخته اند. ما برای اسکوئید dcنا متقارنی که پیوند گاه های آن دارای جریان های بحرانی و و مقاومت های عادی و باشند معادلات لنجوینی متفاوت و کمی کلی تر از معادلات گرینبرگ، ya. s. greenberg, physica c 383, 354-364 (2003) ، در نظر گرفته و با استفاده از معادله فوکر- پلانک دو بعدی معادل آنها روابط تحلیلی برای مشخصه های ولتاژ- جریان- شار اسکوئید در حضور نوفه گرمایی بدست آورده ایم. این روابط برای اسکوئیدهای dc دمای بالای دارای االقائیدگی بزرگ (ph100l>)، معتبر می باشند. نتایجی از این روابط مانند تعدیل ولتاژ و جابجایی شار با نتایج دیگران مقایسه شده است.

در این رساله ابتدا برای آشنایی با حسابان کسری، عملگرهای مشتق گیری و انتگرال گیری کسری گرونوالد-لت نیکوف و ریمان-لیوویل و همچنین عملگر مشتق گیری کاپوتو معرفی و برخی خواص اساسی آنها مورد بررسی قرار می گیرند. سپس توابع ضربه ای قطعه ای معرفی و برای حل معادلات دیفرانسیل لینارد و لین-امدن تعمیم یافته در دامنه های بزرگ مورد استفاده قرار می گیرند. در ادامه آنالیز فوریه و روش های طیفی معرفی می گردند. سپس به معرفی چندجمله ای های انتقال یافته چبیشف نوع اول و دوم و لژاندر و ویژگی های آنها پرداخته می شود. با استفاده از ویژگی های این چندجمله ای ها، ماتریس های عملگر های مشتق گیری کسری کاپوتو و انتگرال گیری کسری ریمان-لیوویل برای این چندجمله ای ها محاسبه می شوند. در ادامه موجک های چبیشف نوع اول و دوم و لژاندر معرفی و خواص آنها مورد بررسی قرار می گیرند. همچنین کاربرد موجک های چبیشف نوع اول همراه با ماتریس های عملگر های مشتق گیری و انتگرال گیری آنها برای حل معادلات غیر خطی به وجود آمده در مساله انتقال گرما، معادله ی انتشار (پخش) حرارت و معادله ی تلگراف مورد بررسی قرار خواهند گرفت. در ادامه یک روند کلی برای بدست آوردن ماتریس های عملگر های انتگرال گیری کسری ریمان-لیوویل و مشتق گیری کسری کاپوتو برای موجک های چبیشف نوع اول و دوم و لژاندر معرفی و این ماتریس ها برای حل چند نوع از معادلات تابعی کسری مورد استفاده قرار می گیرند. همچنین ماتریس های جدید برای عملگر مشتق گیری کسری کاپوتو برای موجک های لژاندر و چبیشف نوع اول تعیین می شود و این ماتریس ها برای حل معادله ی پواسن کسری و دستگاه معادلات دیفرانسیل-انتگرال کسری مورد استفاده قرار می گیرند. در نهایت موجک های لژاندر تعمیم یافته معرفی و برای حل مدل رشد جمعیت کسری مورد استفاده قرار می گیرند.

چالش هایی که اغلب در مطالعه و کاربرد سیستم های مختلف پیش روی محققان علوم مختلف قرار می گیرد، همواره زمینه ساز تحقیقات جدید است. کنترل بهینه یکی از زمینه های فعال تحقیقاتی است، زیرا در بسیاری از کاربردهای اقتصاد، ریاضیات مالی و هم چنین علوم مهندسی ظاهر می شود. می توان مسایل کنترل بهینه را به دو شاخه ی قطعی و تصادفی تقسیم نمود. در این رساله روش های محاسباتی جدیدی برای حل مسایل کنترل بهینه ی قطعی و تصادفی ارایه شده است. از میان روش های مطرح شده می توان به راه کارهای پارامتری سازی برای حل مسایل کنترل بهینه ی قطعی، استفاده از معادله ی همیلتون-ژاکوبی-بلمن برای حل مسایل کنترل بهینه ی قطعی و تصادفی و هم چنین استفاده از زنجیره ی مارکوف برای تقریب جواب مسایل کنترل بهینه ی تصادفی اشاره نمود. شایان ذکر است که در بخش هایی از این رساله، به بررسی و تحلیل برخی خواص همگرایی این روش ها پرداخته شده است. به علاوه این روش ها، برای حل مسایل کنترل بهینه به کار گرفته شده و نتایج عددی به دست آمده در آخر هر بخش گزارش شده است. نتایج به دست آمده در هر بخش، نشان دهنده ی کارایی و دقت روش های پیشنهادی می باشد. سرانجام کاربردهایی از مسایل کنترل بهینه در ریاضیات مالی معرفی شده و مدل های مذکور با روش های پیشنهادی حل گردیده است.

معادلات دیفرانسیل یکی از مهم ترین ابزار های ریاضی است که که مدل سازی مسایل فیزیکی و بیولوژیکی به کار گرفته می شود. در این پایان نامه برخی از روش های عددی موثر را برای حل یک دسته از این معادلات یعنی مسائل مقدار اولیه معادلات دیفرانسیل معمولی در نظر می گیریم.روش های عددی حل معادلات دیفرانسیل را می توان به دو دسته تک گامی و چندگامی تقسیم بندی نمود. پژوهش حاضر در چهار فصل تدوین شده است در ابتدا بحث روش های تک گامی مطرح می شود.برای افزایش دقت روش های چندگامی را که مقادیر قبلی جواب نیز به کار می برد مورد بررسی قرار می دهیم. گرچه با افزایش تعداد گام ها در روش های چندگامی انتظار افزایش دقت در جواب بدست آمده راداریم، اما در عین حال این کار باعث پیچیدگی روش شده و به کار گیری آن مستلزم انجام حجم وسیعی از محاسبات است. یک راهکار برای توسیع ناحیه پایداری و افزایش دقت آن استفاده از روش های چندگامی مبتنی بر مشتقات مراتب بالاتر است. در این پایان نامه روش های چندگامی مبتنی بر مشتق اول و مشتق دوم و ویژگی های آن ها نظیر همگرایی، پایداری را مورد بحث قرار می دهیم.

پایان نامه شامل چهار فصل بوده است که در فصل اول، ابتدا بعضی از مفاهیم، تعاریف و قضایایی مرور می شود که در فصل های بعدی پایان نامه استفاده می شوند. در فصل دوم به بعضی از خواص و مشخصات ماتریس ‎ معین مثبت‎‎ و نیمه معین مثبت‎ اشاره می شود. با توجه به ویژگی های این ماتریس ها، در مورد ساختار و کران های مقادیر ویژه ی ماتریس های معین مثبت بحث می شود و در این راستا قضایای مفیدی ارائه می شوند که در عین سادگی کاربردهای جالبی دارند. در فصل سوم، نماد مکمل شور‎‎ و ویژگی های آن بیان می شود و به کاربرد مکمل شور در تجزیه ی ماتریس ها، در تعیین دترمینان ماتریس‎‎ های بلوکی و در تشخیص ماتریس های نیمه معین و معین مثبت پرداخته می شود. در فصل چهارم، با شناخت توزیع مقادیر ویژه ی یک ماتریس معین مثبت، یک الگوریتم تکراری برای حل معادلات ماتریسی خطی ‎ ax=f ‎ ارائه می گردد. هم چنین برای بالا بردن سرعت همگرایی، از یک ماتریس پیش شرط ساز معین مثبت استفاده می شود که از زیر ماتریس های اصلی ‎ a ‎ساخته شده است. در آخر نیز برخی مثال های عددی برای بررسی کارایی و همگرایی الگوریتم پیشنهادی به صورت عددی ارائه می شود.

چکیده ندارد.

در این پایان نامه پس از پرداختن به مفاهیم اساسی روش آنالیز هموتوپی (ham)، جواب های تقریبی معادلات امدن - فاولر و معادله نوسانی غیرخطی مرتبه دوم را به وسیله روش آنالیز هموتوپی به دست می آوریم. در پایان ریشه های معادلات غیرخطی را به وسیله روش آنالیز هموتوپی و روش آنالیز هموتوپی نیوتن به دست می آوریم.

در این رساله ابتدا مقدماتی از معادلات دیفرانسیل تصادفی و حسابان تصادفی را خواهیم دید و سپس در مورد نتایج اساسی استخراج شده بحث خواهیم کرد.اساسی ترین نتایج این رساله عبارتند از :تعمیم روشهای رانگ - کوتای صریح برای حل عددی معادلات دیفرانسیل تصادفی که در سال 1996 توسط ‏‎k.burrage‎‏ و ‏‎p.m.burrage‎‏ استخراج شده بودند در واقع در این رساله با استفاده از نظریه درختان ریشه دار و تعمیم آنها به حالت تصادفی روشهای رانگ - کوتای ضمنی و نیمه ضمنی و نتایج عددی آنها مطالعه شده اند.تعمیم مطالعه هیبرید و نتایج عددی آنها برای حل عددی معادلات دیفرانسیل تصادفی با استفاده از روشهای چند گامی که در سال 2000 توسط ‏‎l.brugnano , k.burrage‎‏ و ‏‎p.m.burrage‎‏ استخراج شده اند.