اغلب توزیع های گسسته کلاسیک مانند پواسون، دوجمله ای، دوجمله ای منفی و سری لگاریتمی متعلق به خانواده توزیع های سری توانی هستند. با وجود اهمیّت خانواده توزیع های سری توانی در پیشبرد مباحث مختلف آماری، در برخی مسائل کاربردی فاقد کارایی لازم می باشند. به عنوان مثال، این توزیعها بر روی داده های تجمعی و داده های شمارشی همبسته با پراکنش زیاد و با فراوانی متورّم (آماسیده) در صفر برازش مناسبی ندارند. از این رو، تعمیم های مختلفی از این خانواده جهت جایگزینی پیشنهاد شده اند. خانواده توزیع های سری توانی صفر آماسیده و پارامتر آماسیده دو مورد از این تعمیمها هستند که برخی خواص ساختاری آنها در این رساله مورد بررسی قرار خواهند گرفت. با توجه به اینکه ترتیب های تصادفی امکان مقایسه متغیرهای تصادفی را فراهم آورده و در برخی مدل های آماری پیچیده منجر به ارائه کران های مفیدی می شوند، در بسیاری از زمینه های پژوهشی از قبیل قابلیت اعتماد، فرایندهای تصادفی و غیره به کار رفته اند. در این رساله، با انجام مقایسه های تصادفی توزیع های سری توانی با آمیخته متناظرشان، به بررسی ارجحیّت ثابت یا متغیر بودن پارامتر توزیع های سری توانی می پردازیم. البته این مقایسه ها قبلاًً در مورد توزیع های پواسون، دوجمله ای و دوجمله ای منفی انجام شده است ولی در مورد برخی توزیع های دیگر خانواده توزیع های سری توانی، مانند توزیع سری لگاریتمی که یکی از معروف ترین و قدیمی ترین توزیع های این خانواده است، باقی مانده است. در این رساله، این مقایسه باقیمانده را انجام داده و نشان می دهیم با وجود پیچیدگی های ریاضی توزیع سری لگاریتمی، نتایج به دست آمده مشابه و در برخی موارد، متفاوت با نتایجی است که قبلاً در ارتباط با سایر توزیع های فوق الذّکر به دست آمده است. پس از این کار، با توجه به شباهتها و تفاوت های نتایج به دست آمده، مقایسه های تصادفی را به یک توزیع دلخواه متعلق به خانواده توزیع های سری توانی و آمیخته متناظرش تعمیم می دهیم. همچنین، در این رساله برخی خواص ساختاری تعمیم های صفر آماسیده و پارامتر آماسیده خانواده توزیع های سری توانی را در زمینه های مدپذیری و تقسیم پذیری بررسی کرده و نتایج تعدیل یافته ای در مقایسه با توزیع های کلاسیک این خانواده به دست خواهیم آورد. بعلاوه، عملگر کسر دوجمله ای را بر مبنای متغیرهای تصادفی برنولی صفر آماسیده و برنولی پارامتر آماسیده توسعه داده و تعریف توزیع های تک مدی و خودتجزیه پذیر گسسته را تعمیم می دهیم. سرانجام، به عنوان تعمیمی از توزیع هندسی، توزیع وایبل گسسته را مورد توجه قرار داده و توزیع وایبل معکوس گسسته را با ساختاری مشابه با توزیع وایبل معکوس پیوسته و وایبل گسسته کلاسیک به گونه ای تعریف می کنیم که توابع نرخ خطر و جرم احتمال آن نمایشی غیریکنوا هم داشته باشند و مانند توزیع وایبل معکوس پیوسته، نمودار کاغذ احتمال وایبل معکوس آن خطی باشد. با این حال، از روشهای کلاسیک براورد قادر به براورد پارامترهای این توزیع نیستیم، در نتیجه روشهای دیگری جایگزین کرده و دقّت و درستی آنها را از طریق شبیه سازی مقایسه خواهیم کرد.