Generalized triangulations, pipe dreams, and simplicial spheres

We exhibit a canonical connection between maximal (0, 1)-fillings of a moon polyomino avoiding northeast chains of a given length and reduced pipe dreams of a certain permutation. Following this approach we show that the simplicial complex of such maximal fillings is a vertex-decomposable and thus a shellable sphere. In particular, this implies a positivity result for Schubert polynomials. For Ferrers shapes, we moreover construct a bijection to maximal fillings avoiding south-east chains of the same length which specializes to a bijection between k-triangulations of the n-gon and k-fans of Dyck paths. Using this, we translate a conjectured cyclic sieving phenomenon for ktriangulations with rotation to k-flagged tableaux with promotion. Résumé. Nous décrivons un lien canonique entre les (0, 1)-remplissages maximaux d’un polyomino-lune évitant les chaı̂nes Nord-Est d’une longueur donnée, et les “pipe dreams” réduits d’une certaine permutation. En suivant cette approche nous montrons que le complexe simplicial de tels remplissages maximaux est une sphère “vertex-decomposable” et donc “shellable”. En particulier, cela entraı̂ne un résultat de positivité sur les polynômes de Schubert. De plus, nous construisons, dans le cas des diagrammes de Ferrers, une bijection vers les remplissages maximaux évitant les chaı̂nes Sud-Est de même longueur, qui se spécialise en une bijection entre les k-triangulations d’un n-gone et les k-faisceaux de chemins de Dyck. A l’aide de celle-ci, nous traduisons une instance conjecturale du phénomène de tamis cyclique pour les k-triangulations avec rotation dans le cadre des tableaux k-marqués avec promotion.