Of flying frogs and levitrons

Diamagnetic objects are repelled by magnetic fields. If the fields are strong enough, this repulsion can balance gravity, and objects levitated in this way can be held in stable equilibrium, apparently violating Earnshaw’s theorem. In fact Earnshaw’s theorem does not apply to induced magnetism, and it is possible for the total energy (gravitational + magnetic) to possess a minimum. General stability conditions are derived, and it is shown that stable zones always exist on the axis of a field with rotational symmetry, and include the inflection point of the magnitude of the field. For the field inside a solenoid, the zone is calculated in detail; if the solenoid is long, the zone is centred on the top end, and its vertical extent is about half the radius of the solenoid. The theory explains recent experiments by Geim et al, in which a variety of objects (one of which was a living frog) was levitated in a field of about 16 T. Similar ideas explain the stability of a spinning magnet (LevitronTM) above a magnetized base plate. Stable levitation of paramagnets is impossible. Samenvatting. Magnetische velden stoten diamagnetische voorwerpen af. Zulke velden kunnen zo sterk zijn dat zij de zwaartekracht opheffen. Het is op deze wijze mogelijk zulke voorwerpen te laten zweven. Dit vormt een stabiel evenwicht, wat in tegenspraak schijnt te zijn met Earnshaw’s Theorema. Echter Earnshaw’s Theorema is niet langer geldig als het magnetisme veld geinduceerd is. De totale energie (bevattende bijdragen van het magnetisme en de zwaartekracht) kan toch een lokaal minimum vertonen. Algemene criteria voor zo’n minimum zullen worden opgesteld. Verder zal worden aangetoond dat voor een cilindrisch symmetrisch veld, langs zijn symmetrie as altijd een zone gevonden kan worden waarin een stabiel evenwicht bestaat. Voor het veld binnen een solenoı̈de zal deze zone in detail bepaald worden. Als deze spoel voldoende land is bevindt deze zone zich aan het uiteinde van de spoel. De lengte van deze zone langs de symmetrie as van het veld is ongeveer de helft van de straal van de spoel. Deze theorie geeft een goede verklaring voor de experimenten van Geim et al. In deze experimenten werden een grote verscheidenheid aan verschillende voorwerpen (waaronder een levende kikker) tot zweven gebracht in velden van ongeveer 16 T. Analoge theoriën verklaren de stabiliteit van een roterend permanent magneetje (LevitronTM) boven een magneetische grondplaat. Het is onmogelijk om paramagnetische voorwerpen stabiel te doen zweven.