Three New Algorithms for Projective Bundle Adjustment with Minimum Parameters

Bundle adjustment is a technique used to compute the maximum likelihood estimate of structure and motion from image feature correspondences. It practice, large non-linear systems have to be solved, most of the time using an iterative optimization process starting from a sub-optimal solution obtained by using linear methods. The behaviour, in terms of convergence, and the computational cost of this process depend on the parameterization used to represent the problem, i.e. of structure and motion. In this paper, we address the problem of nding a minimal parameterization of projective structure and motion, i.e. when camera calibration is not available. Most of the existing parameterizations are either sub-optimal, in the sense that they do change the cost function, or quite complicated to implement, requiring di erent closed-form expressions, also called maps, to model every case. Without loss of generality, we restrict the problem to the minimal parameterization of the two-view projective motion, equivalent to the fundamental matrix. We propose to classify existing ways allowing to obtain a minimal set of parameters into three categories and present three new algorithms, one for each category. These algorithms are simple to implement and yield minimal parameterizations. We also address the problem of minimally parameterizing homogeneous entities. We present what we call mapped coordinates, a tool allowing to optimize homogeneous entities over a minimal number of parameters. We make extensive use of this tool for both structure and motion parameterization. We compare these algorithms with existing ones using both simulated data and real images. In the light of these experiments, it appears that the new algorithms perform better than existing ones in terms of computational cost while achieving equivalent performances in terms of convergence. Key-words: Bundle Adjustment, Projective Space, Minimal Parameterization. Trois nouveaux algorithmes pour l'ajustement de faisceaux avec un nombre minimal de paramètres Résumé : L'ajustement de faisceaux est une technique utilisée pour calculer l'estimation au maximum de vraisemblance d'une reconstruction à partir de correspondances de primitives images. En pratique, des systèmes non-linéaires conséquents doivent être résolus, la plupart du temps en utilisant une méthode d'optimisation itérative à partir d'une solution sousoptimale fournie par des méthodes linéaires. L'issue, en terme de convergence, et le coût de calcul de tels procédés dépend de la paramétrisation algébrique utilisée pour représenter le problème, c'est à dire la structure reconstruite et le mouvement entre les caméras. Dans cet article, nous considérons le problème de trouver une paramétrisation minimale de la structure et du mouvement projectifs, c'est à dire lorsque les caméras ne sont pas calibrées. La plupart des paramétrisations existantes sont soit sous-optimales, dans le sens où elles changent la fonction de coût, soit compliquées à mettre en ÷uvre, plusieurs expressions analytiques, appellées aussi cartes, étant nécessaires pour modéliser tous les cas. Sans perte de généralité, nous restreignons le problème à celui de la paramètrisation minimale du mouvement entre deux vues dans le cas projectif, équivalent à la matrice fondamentale. Nous proposons de distinguer trois catégories de méthodes permettant d'obtenir un jeu de paramètres minimal et présentons trois nouveaux algorithmes, un par catégorie. Ces algorithmes sont simples à implémenter et permettent d'obtenir des paramétrisations minimales. Nous considérons aussi le problème de la paramétrisationminimale des entités algébriques homogènes. Nous présentons les coordonnées carte, un outil permettant d'optimiser une entité homogène via un nombre minimal de paramètres. Nous utilisons fréquement cet outil dans les paramétrisations de la structure et du mouvement. Nous comparons nos algorithmes avec d'autres existants en utilisant des données simulées et des images réelles. Avec ces expérimentations, il apparaît que les nouveaux algorithmes atteignent de meilleurs performances que ceux existants, en terme de coût, et des performances égales en terme de convergence. Mots-clés : Ajustement de faisceaux, espace projectif, parametrisation minimale. Projective Bundle Adjustment with Minimum Parameters 3