2-boyutlu Langlands Karşiliklilik İlkesi̇ : M. M. Kapranov’un Çalişmasi Üzeri̇ne Notlar

Çağdaş sayılar kuramının en önemli açık problemlerinden birisi, verilen “aritmetik yönünden ilginç” bir F cisminin GF mutlak Galois grubunun ve bu grubun barındırdığı aritmetik yapının; Galois kuramı neticesinde, F cisminin ayrışabilir genişlemelerinin ve bu genişlemelerin aritmetik yapılarının; F taban cismine bağlı objeler cinsinden betimlenmesi problemidir. Bu problem, F’nin bir küresel (= global) veya yerel (= lokal) cisim olması durumunda bu cismin abelyen genişlemeleri için, 20. yüzyıl’ın ilk yarısında, Takagi, Artin, Hasse ve Chevalley başta olmak üzere pek çok matematikçinin gayretiyle çüzülmüş, böylece küresel ve yerel sınıf cisim kuramları oluşmuştur (bkz. [19]). Bu iki (yakından alakalı) teori günümüz sayılar kuramında çok önemli ve merkezi bir yere sahiptir. Yerel ve küresel sınıf cisim kuramı daha sonra iki farklı yönde genelleştirilmiştir. Bu kuramın F küresel veya yerel cisminin abelyen olmayan genişlemelerini de içerecek şekilde genelleştirilmesi, ve bu genel teorinin inşa edilmesi, çağdaş sayılar kuramındaki en önemli birkaç problemden birisidir. Bu problemi çözmek için hem küresel hem de yerel cisimler için Langlands’ın otomorfik temsiller kullanarak öngördüğü olabilecek en genel yaklaşım vardır (bkz. [1, 8] ve [15, 16, 17, 18]). Öte yandan, taban cisim F’nin “yüksek boyutlu” yerel ve küresel cisim olduğu durumda Kato ve Parshin, K-kuramı yardımı ile, bu yüksek-boyutlu F cisminin abelyen genişlemeleri için yerel ve küresel sınıf cisim kuramını genellemişlerdir (bkz. [12, 13, 14], ve [22, 23, 24, 25]). Bu durumda, doğal olarak, Kato ve Parshin’in inşa etmiş olduğu yüksek boyutlu yerel ve küresel (Kkuramsal) sınıf cisim kuramları için Langlands’ın öngörülerini genelleştirmek, yani “yüksek boyutlu Langlands kuramı” inşa etmek son derece önemli bir soru olarak karşımıza çıkmaktadır.