Infinite Labeled Trees: from Rational to Sturiman Trees

This paper studies infinite unordered d-ary trees with nodes labeled by {0, 1}. We introduce the notions of rational and Sturmian trees along with the definitions of (strongly) balanced trees and mechanical trees, and study the relations among them. In particular, we show that (strongly) balanced trees exist and coincide with mechanical trees in the irrational case, providing an effective construction. Such trees also have a minimal factor complexity, hence are Sturmian. We also give several examples illustrating the inclusion relations between these classes of trees. Key-words: Infinite Trees, Sturmian words, Sturmian trees in ria -0 03 18 87 2, v er si on 2 26 M ay 2 00 9 Arbre Infinis Étiquettés: des Arbres Rationels aux Arbres Sturmiens Résumé : Ce rapport présente une étude des arbres infinis de degré d dont les noeuds sont étiquetés par {0, 1}. Nous introduisons les notions d’arbres rationnels et sturmiens ainsi que les définitions d’arbre (fortement) balancés et d’arbres mécaniques, puis nous étudions les relations entre ces différentes définitions. En particulier, nous montrons l’existence des arbres fortement balancés. Dans le cas irrationnel, cette définition est équivalent à celle des arbres mécaniques, qui en fourni donc une définition constructive. Nous montrons aussi que ces arbres sont de complexité minimale et donc Sturmiens. De nombreux exemples et contre-exemples sont présentés afin d’illustrer les différentes classes définies. Mots-clés : Arbres infinis, mots sturmiens, arbres sturmiens in ria -0 03 18 87 2, v er si on 2 26 M ay 2 00 9 Infinite Labeled Trees: from Rational to Sturiman Trees 3