A parabolic system involving a quadratic gradient term related to the Boussinesq approximation

We propose a modification of the classical Boussinesq approximation for buoyancy-driven flows of viscous, incompressible fluids in situations where viscous heating cannot be neglected. This modification is motivated by unresolved issues regarding the global solvability of the original system. A very simple model problem leads to a coupled system of two parabolic equations with a source term involving the square of the gradient of one of the unknowns. Based on adequate notions of weak and strong solutions, we establish the global-in-time existence of weak solutions and the uniqueness of strong solutions. Un sistema parabólico relacionado con la aproximación de Boussinesq conteniendo un término cuadrático sobre el gradiente de una de las componentes Resumen. Se analiza la existencia global de soluciones para un sistema parabólico que responde a una formulación inspirada en el sistema de ecuaciones correspondiente a un fluido viscoso incompresible no isotérmico en el que los efectos de la fricción viscosa (conteniendo una expresión cuadrática del gradiente de la velocidad) en la ecuación del balance energético no son despreciados. Introducimos las nociones de soluciones débiles y fuertes adaptadas a ese sistema simplificado mostrando su existencia global en el tiempo (lo que es una de las mayores dificultades en el análisis matemático de este tipo de sistemas) y justificando, bajo hipótesis suplementarias, su unicidad.