Qualitative Symbolic Perturbation: a new geometry-based perturbation framework

In the literature, the generic way to address degeneracies in computational geometry is the Symbolic Perturbation paradigm: the input is made dependent of some parameter ε so that for ε positive and close to zero, the input is close to the original input, while at the same time, in non-degenerate position. A geometric predicate can usually be seen as the sign of some function of the input. In the symbolic perturbation paradigm, if the function evaluates to zero, the input is perturbed by a small positive ε, and the sign of the function evaluated at the perturbed input is used instead. The usual way of using this approach is what we will call Algebraic Symbolic Perturbation framework. When the function to be evaluated is a polynomial of the input, its perturbed version is seen as a polynomial in ε, whose coefficients are polynomials in the input. These coefficients are evaluated by increasing degree in ε until a non-vanishing coefficient is found. The number of these coefficients can be quite large and expressing them in an easily and efficiently computable manner (e.g., factorized) may require quite some work. We propose to address the handling of geometric degeneracies in a different way, namely by means of what we call the Qualitative Symbolic Perturbation framework. We no longer use a single perturbation that must remove all degeneracies, but rather a sequence of perturbations, such that the next perturbation is being used only if the previous ones have not removed the degeneracies. The new perturbation is considered as symbolically smaller than the previous ones. This approach allows us to use simple elementary perturbations whose effect can be analyzed and evaluated: (1) by geometric reasoning instead of algebraic development of the predicate polynomial in ε, and (2) independently of a specific algebraic formulation of the predicate. We apply our framework to predicates used in the computation of Apollonius diagrams in 2D and 3D, as well as the computation of trapezoidal maps of circular arcs. Key-words: Degeneracies, Robustness issues, Apollonius diagram, Trapezoidal map. ha l-0 07 58 63 1, v er si on 3 5 D ec 2 01 2 Perturbation symbolique qualitative: une nouvelle méthode de perturbation basée géométrie Résumé : L’approche généralement utilisée pour s’abstraire de l’existence de configurations dégénérées en géométrie algorithmique est la méthode des perturbations symboliques : les données sont rendues dépendantes d’un paramètre ε tel que pour ε positif et proche de zéro les données soient proches des données originales mais en garantissant d’être en position générale. Un prédicat géométrique peut souvent être vu comme le signe d’une fonction des données. Dans la méthode de perturbation symbolique, si l’évaluation de la fonction donne zéro, les données sont perturbées avec un petit ε positif et le signe de la fonction évaluée sur les données perturbées est utilisé comme réponse au prédicat. L’application habituelle de cette approche est ce que nous appellerons perturbations symboliques algébriques. Quand la fonction a évaluer est un polynôme, sa version perturbée peut être vue comme un polynôme en ε dont les coefficients sont des polynômes dans les données. Ces coefficients sont alors évaluées par degré croissant en ε, jusqu’à ce qu’un coefficient qui ne soit pas évalué à zéro soit trouvé. Le nombre de ces coefficients peut être assez grand et les exprimer sous une forme permettant une évaluation facile et rapide (par exemple factorisée) peut représenter un travail important. Nous proposons de résoudre les dégénérescences géométriques d’une manière différente que nous appellerons perturbations symboliques qualitatives. Au lieu d’une unique perturbation qui doit résoudre toutes les dégénérescences, nous utilisons une séquence de perturbations telle que la perturbation suivante n’est utilisée que si les précédentes n’ont pas supprimé les dégénérescences. La nouvelle perturbation est symboliquement plus petite que les précédentes. Cette approche permet d’utiliser des perturbations très simples dont l’effet peut être analysé et évalué (1) par un raisonnement géométrique plutôt que par un développement algébrique du polynôme en ε, et (2) de manière indépendante d’une formulation algébrique spécifique du prédicat. Nous utilisons notre méthode pour le calcul des diagrammes d’Apollonius en 2D et 3D, ainsi que pour le calcul de la carte des trapèzes d’arcs de cercles. Mots-clés : Dégénérescences, robustesse algorithmique, Diagramme d’Apollonius, carte des trapèzes ha l-0 07 58 63 1, v er si on 3 5 D ec 2 01 2 4 O. Devillers, M. Karavelas & M. Teillaud