The div-curl lemma “trente ans après”: an extension and an application to the G-convergence of unbounded monotone operators

In this paper new div-curl results are derived. For any open set Ω of RN , N 2, we study the limit of the product vn · wn where the sequences vn and wn are respectively bounded in Lp(Ω)N and Lq(Ω)N , while divvn and curlwn are compact in some Sobolev spaces, under the condition 1 1 p + 1 q 1 + 1 N . Our approach is based on a suitable decomposition of the functions vn and wn, combined with the concentration compactness of P.-L. Lions and a recent result of H. Brezis and J. Van Schaftingen. As a consequence we obtain a new result of G-convergence for unbounded monotone operators of N -Laplacian type. © 2009 Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Résumé Dans cet article, on obtient de nouveaux résultats de type div-rot. Pour tout ouvert Ω de RN , on étudie la limite du produit vn ·wn où les suites vn et wn sont respectivement bornées dans Lp(Ω)N et Lq(Ω)N , alors que divvn et curlwn sont compactes dans des espaces de Sobolev, sous la condition 1 1 p + 1 q 1 + 1 N . L’approche utilisée repose sur une décomposition convenable des functions vn et wn, combinée avec la concentration-compacité de P.-L. Lions et un résultat récent de H. Brezis et J. Van Schaftingen. Comme corollaire on déduit un nouveau résultat de G-convergence pour des opérateurs monotones non bornés de type N -laplacien. © 2009 Elsevier Masson SAS. All rights reserved.