زیر حلقه ها و زیر حلقه های ماکسیمال حلقه های صفربعدی
Abstract
در این پایان نامه به بررسی ویژگی های حلقه های صفربعدی می پردازیم. آنچنان که در اغلب کتاب های جبر مقدماتی می توان ملاحظه کرد، هر ایدآل ماکسیمال از یک حلقه ی تعویض پذیر، ایدآلی اول از آن حلقه نیز می باشد. حلقه هایی که در آن ها عکس گزاره ی اخیر نیز برقرار است به حلقه های صفربعدی معروف اند و از دیر باز مورد علاقه ی جبردانان بوده اند. از این قبیل حلقه ها می توان به حلقه های آرتینی، بولی و دامنه ی ایدآل های اصلی اشاره نمود. همچنین یکی از دسته های بسیار شناخته شده و مورد توجه از حلقه های صفربعدی، حلقه های منظم(ون نیومن) می باشد. پس از ارایه ی مفاهیم و مبانی مورد نیاز برای مطالعه ی این نگارش در فصل آغازین، که آن را صفر نامیده ایم، فصل اول را با رویکرد ارایه ی شناخت دقیق تری از ویژگی های حلقه های صفربعدی و منظم و طرح و اثبات گزاره های معادل در باب آن ها نگاشته ایم. کوشیده ایم تا با بررسی موشکافانه ی این دو دسته از حلقه ها از منظرهای گوناگون، از جمله چگونگی ارتباط آن ها با حلقه های ?- منظم، جمعی- منظم، حلقه ی چندجمله-ای ها و همچنین شروط زنجیری ، شناخت کاملی از ساختار آن ها را ارایه نماییم. به علاوه، در بخش دیگری از این فصل بر مفهوم ابرحلقه ی صفربعدی مینیمال متمرکز گشته و نشان داده ایم که اگر زیرحلقه ای از حلقه ی صفربعدی باشد، ابرحلقه ی صفربعدی مینیمال یکتای بر و مشمول در وجود دارد که حلقه ی تام کسرهای یک ابر حلقه ی صحیح بر می باشد. اثبات وجود ابرحلقه ی مذکور را با برهان های گوناگون همراه ساخته ایم و در این مسیر از مفهوم جبر بول و همچنین مفهوم وارون موضعی بهره برده ایم. بخش پایانی فصل اول را با محوریت پژوهش پیرامون شرایط لازم و کافی برای آن که حلقه ای چون در یک حلقه ی صفربعدی قابل نشاندن باشد دنبال کرده ایم. در این مسیر، با طرح قضایای دوسویی پاسخی روشن به پرسش مطرح شده ارایه نموده و در این میان نقش برجسته ی ایدآل های اولیه ی یک حلقه را در قالب معرفی ایدآل گیلمر بیش از پیش آشکار ساخته ایم. به علاوه، برای طرح ساختاری یک دسته از حلقه هایی که قابلیت نشانده شدن در ابرحلقه ی صفربعدی را ندارند، به قلمروی حلقه های ارزیاب وارد شده و پس از بیان قضایایی در باب آن ها، در پرتو یک قضیه ی بنیادین، دسته ی انبوهی از حلقه های مذکور را ارایه نموده ایم. فصل دوم را به بررسی چگونگی انتقال ویژگی ها در عرصه ی حلقه های صفربعدی پرداخته ایم. در بخش نخست، گفتار مفصلی را در باب حاصلضرب حلقه های صفربعدی ارایه نموده ایم. محور تلاش های انجام شده در این پاره از کار به شناسایی شرایطی معطوف می گردد که حاصلضرب دلخواهی از حلقه های صفربعدی، دارای بعد صفر باشد. در قالب قضایای ساختاری، سرنوشت بعد حلقه ی حاصلضربی خانواده ای از حلقه های صفربعدی را به طور کامل آشکار ساخته و با طرح گزاره های معادل به پرمایه تر کردن هرچه بیش تر مطلب در دست بررسی کوشیده ایم. به عنوان یک نتیجه ی برجسته در این بخش، نشان داده ایم که حاصلضرب دلخواهی از حلقه های صفربعدی دارای بعد صفر است اگر و تنها اگر بعد آن بی نهایت نباشد. در بخش دوم از همین فصل، با نگاهی دگرگونه به آنچه پیش تر و در قالب بخش دوم از فصل یک مورد مطالعه قرار گرفت، به نتایج جدیدی دست یافته و گاه مطالب پیشین را با براهین جدیدی همراه ساخته ایم. علاوه بر بررسی زیرحلقه های یک حلقه ی صفربعدی، پاره-ای از مطالعات این بخش به زیرحلقه های صفربعدی یک حلقه ی دلخواه اختصاص یافته است. پاسخ به پرسشی که پیرامون استقلال ابرحلقه ی صفربعدی مینیمال یکتای یک حلقه نسبت به حلقه ی صفربعدی شامل آن مطرح می گردد، شالوده ی قسمت پایانی مطالب بیان شده در این بخش است. در فصل سوم کوشیده ایم تا با اثبات قضایایی، شرایط لازم و کافی برای آن که یک حلقه به طور موروثی صفربعدی باشد را معرفی نماییم. از مفهوم به طور مطلق جبری بودن یک حلقه سخن به میان آورده و اهمیت مشخصه ی یک حلقه را در نیل به این هدف آشکار ساخته ایم. با گسترش میدان پژوهش های این بخش، در جستجوی معرفی شرایطی برآمده ایم که بتوان از زوج صفربعدی سخن گفت و در عرضه ی قضایایی که مبین شرایط لازم و کافی برای به طور موروثی صفربعدی بودن یک حلقه می باشند توفیق یافته و در این مسیر چند قضیه ی بسیار شناخته شده را با صورت بندی زیبا تری ارایه نموده ایم. به عنوان مثال ثابت کرده ایم که حلقه ی بر صحیح است اگروتنها اگر برای هر ایدآل اول مینیمال از ، حلقه ی بر صحیح باشد. با استفاده از قضیه ی اخیر و تعمیم یک قضیه ی کلاسیک دیگر در باب مشخصه ی حلقه ها، صورت بندی جدیدی را برای شروط معادل حلقه های به طور موروثی صفربعدی به اثبات رسانده ایم. در واپسین بخش این نگارش، در مسیر شناسایی زیرحلقه های ماکسیمال قدم نهاده ایم و با عرضه ی بخشی از پژوهش های انجام گرفته در این حوزه، بستر مناسبی را برای تمرکز بر زیرحلقه های ماکسیمال حلقه های صفربعدی مهیا ساخته ایم. با طرح چند قضیه ی اساسی، وضعیت زیرحلقه-های ماکسیمال حلقه های صفربعدی را به طور کامل آشکار ساخته و شخصیت آنها را معرفی نموده ایم. به علاوه شرط لازم و کافی را برای آن که زیرحلقه های ماکسیمال حلقه های صفربعدی دارای بعد صفر باشند را به اثبات رسانده ایم. به عنوان مثال نشان داده ایم که زیرحلقه ها ی ماکسیمال یک حلقه ی صفربعدی دارای بعد صفر می باشند اگر و تنها اگر حلقه تام کسرها باشند. همچنین در یک قضیه ی خوش ساختار نشان داده ایم که هر زیرحلقه ی ماکسیمال از یک حلقه ی صفربعدی یا منظم است و یا جمعی- منظم.