تئوری فضای تغییر شکل یافته q و کاربرد آن در چند مسئله فیزیکی

در مکانیک کلاسیک محدودیتی برای تعیین همزمان مکان و تکانه یک ذره وجود ندارد و qi و pi که به عنوان مختصات کانونی شناخته می شوند، هر کدام یک عدد هستند. اما در مکانیک کوانتومی به خاطر اصل عدم یقین هایزنبرگ نمی توان بطور همزمان مکان و تکانه ذره را تعیین کرد. در واقع در اینجا با مشاهده پذیرهای مکان و تکانه سر و کار داریم که در روابط زیر صدق می کنند. [xi,xj][pi,pj]o، [xi,pj]ih ij در تئوری ای که در این پایان نامه از آن استفاده می کنیم، فضای به گونه ای است که در آن عملگرهای مکان با هم جابجا نمی شوند: xyqyx; xzqzx; yzqzy که در آن q پارامتر تغییر شکل است و در حالت کلی یک عدد مختلط می باشد. در فصل اول چند مسئله ساده را در مکانیک کلاسیک و مکانیک کوانتومی به طور مختصر مرور می کنیم. در فصل دوم فضای تغییر شکل یافته را معرفی می کنیم و عملگرهای مکان و تکانه در این فضا را برحسب عملگرهای مکان و تکانه در فضای کوانتومی معمولی می نویسیم. سپس مساله ذره آزاد و نوسانگر هارمونیک را در فضای تغییر شکل یافته مورد بررسی قرار می دهیم. رفتار ذره آزاد در این فضا مشابه رفتار ذره ای با بار e است که در فضای معمولی در یک میدان مغناطیسی حرکت می کند. در مسئله نوسانگر هارمونیک دو بعدی انرژی اولین حالت برانگیخته دوگانه است و مقدار آن برابر 2hw می باشد. در مکانیک کوانتومی معمولی با وارد کردن یک اختلال می توان چندگانگی تزارها را از بین برد. در حالی که در فضای تغییر تزارهای انرژی چندگانه نیستند. یعنی این تئوری نقش همان تئوری اختلال را در مسئله نوسانگر دارد. در ادامه فصل دوم انرژی حالتهای نوسانگر d بعدی را برای اولین حالت برانگیخته آن به دست می آوریم. در فصل سوم جبر عمومی تغییر شکل یافته را می سازیم که جبر هایزنبرگ - ویل حالت خاصی از آن می باشد. با استفاده از جبر هایزنبرگ - ویل نوسانگر هارمونیک یک بعدی را مورد بررسی قرار می دهیم. سپس گروه suq(2) را به طور مختصر مرور می کنیم. آخرین مطلب این فصل، تعمیم روش شوئینگر به گروه suq(2) می باشد. فصل چهارم به بررسی اتم هیدروژن با جبر تغییر شکل یافته اختصاص دارد. برای این کار ابتدا با معرفی تبدیل کوستانهایمو و استیفل (kastaanheimo and stiefel) مسئله اتم هیدروژن را به مسئله نوسانگر هارمونیک چهار بعدی ارتباط می دهیم. در قسمت بعد با در نظر گرفتن مسئله نیروی مرکزی، با روش هایزنبرگ در تعمیم آن به مکانیک کوانتومی، ارتباط آن با گروه su(2) مورد بررسی قرار می دهیم. بالاخره مقادیر ویژه و توابع موج اتم هیدروژن با جبر تغییر شکل یافته را برحسب مقادیر ویژه و توابع موج نوسانگر هارمونیک چهار بعدی به دست می آوریم. در تمام این موارد در حد q--->1 نتایج بدست آمده با نتایج مشابه در مکانیک کوانتومی معمولی مطابقت دارند.