فرآیندهای پخش در شبکه های جهان کوچک

بیشتر سیستم های واقعی از قبیل سیستم های اجتماعی، بیولوژیکی و ارتباطی را می توان با یک شبکه ی پیچیده مدل-سازی نمود. در این شبکه ها، رأس ها نمایانگر اجزای سیستم و اتصال ها نشان دهنده ی برهمکنش بین اجزای سیستم می باشند. در سالهای اخیر با کامپیوتری شدن فرآیندهای فراگیری داده ها و قابلیت استفاده از توانایی محاسبات بالا، دانشمندان دریافتند که اغلب شبکه های واقعی نه کاملا منظم هستند و نه کاملا تصادفی. نتایج مطالعات تجربی و تحلیل های آماری نشان داده اند که شبکه های در زمینه های متفاوت ویژگی های مشترکی دارند که مهم ترین آن ها اثرات جهان کوچک و خواص بی مقیاس هستند. از موضوعات جالب در شبکه ها، بررسی فرآیندهای دینامیکی بر روی آن ها است. انتشار بیماری یکی از فرآیندهای دینامیکی روی شبکه ها است، که هدف از آن بررسی چگونگی تأثیر ساختار شبکه بر روی رفتار پخش بیماری ها و گذار فازهای دینامیکی است. به عبارت دیگر، نقش توپولوژی شبکه روی آهنگ و الگوهای انتشار بررسی می شود. مدل های sir، sis، si و sirs چهار مدل اساسی از اپیدمی ها برای توصیف انتشار بیماری هستند. s، i و r به ترتیب بیانگر افراد مستعد، بیمار و بهبودیافته یا فوت شده می باشند. مدل sis برای توصیف بیماری هایی است که در آن ها مصونیت وجود ندارد و افراد بهبودیافته حساس می باشند. در مدل sir فرد بهبودیافته برای همیشه مصون می ماند. اما در مدل si بهبودی وجود ندارد. در مدل sirs مصونیت موقتی است. مدل های sir، sis و si هر یک حالت خاصی از مدل کلی تر sirs هستند. در این مدل ها احتمال های متناهی برای انتقال بیماری و بهبودی وجود دارد. آستانه ی اپیدمی، گذار فاز بین ناحیه ی ظهور و عدم ظهور اپیدمی است، که تابعی از پارامترهای سیستم می باشد. در واقع، هدف از مطالعه ی فرایندهای پخش، بدست آوردن آستانه ی اپیدمی برای مدل های مذکور در شبکه های متفاوت است. در حالت کلی دو روش برای حل این مدل ها وجود دارد. روش اول حل میدان میانگین، که یک حل تقریبی است. روش دوم حل تابع مولد است که یک حل دقیق می باشد. در روش تابع مولد از تصویر با مدل های تراوش می توان حلی دقیق برای حضور و اندازه ی اپیدمی در گراف تصادفی با توزیع درجه ی دلخواه بدست آورد. در روش میدان میانگین با استفاده از فرضیه ی اختلاط همگن در حد حمعیت های بزرگ می توان معادلات دیفرانسیل غیر خطی حاکم را نوشت. با حل میدان میانگین می توان مقدارِ تقریبیِ آستانه ی اپیدمی در شبکه های پیچیده ی ناهمبسته را پیدا کرد. برای مدل های sir و sis می توان آستانه ی اپیدمی متناهی یافت ، اما در مدل si آستانه ی اپیدمی وجود ندارد. فقدان آستانه ی اپیدمی در شبکه های بی مقیاس ناهمبسته و همبسته نیز مشاهده شده است. اما در صورت وجود همبستگی در درجات شبکه ی مورد مطالعه، تنها می توان رفتار آستانه ی اپیدمی با پارامترهای شبکه توصیف را کرد. دو روش برای تغییر همبستگی شبکه وجود دارد، روش بازآراییِ تصادفیِ یال ها و روش بازآراییِ تصادفیِ رأس ها. که در کار ما از روش بازآراییِ تصادفی یال ها استفاده شده است. نتایج فوق، با شبیه-سازی مدل مستعد-بیمار-بهبود یافته (sir) روی شبکه های تصادفی، بی مقیاس و جهان کوچک، که شبکه هایی با همبستگی مثبت هستند، اثبات می شوند. در شبکه ی جهان کوچک دیده می شود که با کاهش همبستگی شبکه با روش بازآرایی تصادفی یال ها، مقدار آستانه ی اپیدمی به مقدار آستانه ی اپیدمی حل میدان میانگین، نزدیک می شود.