بررسی کاربرد تحلیل ژئودزیک اصلی در آمار شکل
چکیده
تعریف مساله،اهداف و سوالات تحقیق: در زبان محاوره ایی، شکل یک شی را با اشیایی که از قبل در ذهن دارند می شناسند. به عنوان مثال اکثر مردم نقشه ایتالیا را شبیه چکمه و نقشه ایران را شکلی شبیه به گربه می دانند. در واقع تعریف شکل به این گونه، مفهومی کیفی را دنبال می کند. اما اگر یک محقق آماری علاقه مند به ارزیابی کمی اشکال براساس ساختار هندسی آنها باشد نیازمند تعریفی مناسبتر می باشد که به نوعی مفاهیم ریاضی را در خود جای داده باشد. این ابتکار اولین بار توسط کندال (1977) صورت پذیرفت. از نظر کندال شکل یک شی همه اطلاعات هندسی مربوط به شی می باشد که اثرات مقیاس، مکان و دوران از آن حذف شده است. بعد از معرفی آمار شکل، تحلیل آماری اشکال در حوزه های مختلف علوم به طور وسیع مورد توجه محققین قرار گرفت. به عنوان مثال کندال (1984) در باستانشناسی، درایدن و همکاران (2007) در بیوانفورماتیک، سیمارد و همکاران (1993) در تحلیل تصویر، لوهمان (1983) در زمین شناسی، فلتچر و همکاران (2004) در علوم کامپیوتر و ... از ابزارهای آمار شکل بهره جسته اند. یکی از اهداف تحلیل آماری شکل اندازه گیری و توصیف تفاوت بین شکلها به منظور برآورد میانگین و همچنین توصیف ساختار تغییرات مربوط به جامعه اشکال مورد مطالعه می باشد. یک تکنیک استاندارد برای دستیابی به ارزیابی آماری تغییرات بین اشکال، تحلیل مولفه های اصلی می باشد. جهت محاسبه ساختار تغییرات شکل کوتز و همکاران (1992) و کنت (1994) برای اولین بار مفهوم تحلیل مولفه های اصلی را در فضاهای مماسی به عنوان تقریبی از فضای شکل پیشنهاد کردند. دلیل استفاده از تحلیل مولفه های اصلی در فضای مماسی به این خاطر است که فضای شکل یک فضای غیرخطی (نااقلیدسی) است و در نتیجه روش های آماری موجود، مستقیما برای تحلیل آماری شکل مناسب نیستند. بنابراین تعدیل کردن چنین روش هایی جهت اجرای تحلیل های آماری روی فضاهای غیرخطی (نااقلیدسی) امری ضروری است. تحلیل ژئودزیک اصلی تعمیمی از تحلیل مولفه های اصلی بر روی فضاهای نااقلیدسی می باشد که برای محاسبه ساختار تغییرات مجموعه داده هایی که در فضایی غیراقلیدسی قرار دارند مورد استفاده قرار می گیرد. این روش اولین بار توسط فلتچر و همکاران (2004) برای تحلیل تصاویر کامپیوتری پیشنهاد شد. سپس سید و همکاران (2007) از آن برای تحلیل حرکت اندام انسان، هو و همکاران (2008) برای رده بندی چهره ها و سامر و همکاران (2010) جهت تحلیل آماری اسکلت حیوانی خاص استفاده نمودند. اگر چه محققین علوم کامپیوتر و شاخه های دیگر آن، ایده تحلیل ژئودزیک اصلی را در تحلیلهای تصاویر و موضوعات مرتبط با آن بکار برده اند اما به نظر می رسد تاکنون نحوه کاربست آن در آمار شکل توسط محققین آماری مورد بررسی قرار نگرفته است. فعالیتهای جدید محققین آمار شکل در بیوانفورماتیک نشان داد که داده های مربوط به انطباق پروتئین داده هایی ذاتا نااقلیدسی هستند (ماردیا ، 2008( . لذا به نظر می رسد بکارگیری تحلیل ژئودزیک اصلی در مورد داده های پروتئینی به کمک آمار شکل قابل توجیه باشد. این پایان نامه به بررسی امکان بکارگیری تحلیل ژئودزیک اصلی به منظور ارزیابی تغییرات شکل در فضای شکل، و مقایسه عملکرد آن با روش تحلیل مولفه اصلی خواهد پرداخت. همچنین چگونگی استفاده از تحلیل ژئودزیک اصلی در تحلیل آماری داده های ذاتا غیراقلیدسی مورد مطالعه قرار خواهد گرفت. اهداف تحقیق: 1. بررسی امکان کاربرد تحلیل ژئودزیک اصلی در آمار شکل و مقایسه آن با تحلیل مولفه های اصلی 2. مطالعات شبیه سازی مربوط به پیاده سازی تحلیل ژئودزیک اصلی در آمار شکل 3. ارزیابی تئوری و عملی بکارگیری تحلیل ژئودزیک اصلی برای داده های آماری غیرخطی سوالات تحقیق: 1. آیا جهت محاسبه روند تغییرات شکل، تقریب زدن فضای شکل با فضای مماسی می تواند موجب کاهش دقت تحلیل مولفه های اصلی نسبت به تحلیل ژئودزیک اصلی شود؟ 2. آیا می توان تحلیل ژئودزیک اصلی را به عنوان ابزاری قدرتمند برای تعیین ساختار تغییرات شکل در گونه های مختلفی از فضای شکل به کار برد؟ 3. آیا امکان شبیه سازی و بررسی دقت الگوریتم های مربوط به محاسبه تحلیل ژئودزیک اصلی با استفاده از نرم افزارهای آماری وجود دارد؟ 4. درباره کارایی تحلیل ژئودزیک اصلی نسبت به تحلیل مولفه های اصلی برای محاسبه تغییرات شکل چه می توان گفت؟ 5. محاسن و معایب تحلیل ژئودزیک اصلی در محاسبه تغییرات شکل در مقایسه با روش های استاندارد قبلی چیست؟ مواد و روش انجام تحقیق: 1. مراجعه به پایان نامه ها، مجلات و کتابهای داخلی و خارجی 2. جمع آوری و مطالعه مقالات و منابع لازم در زمینه پایان نامه 3. بر قراری ارتباط با اساتید و محققان داخلی و خارجی صاحب نظر در این زمینه به منظور بدست آوردن اطلاعات مرتبط با موضوع سازماندهی، جمع بندی و تدوین مطالب مرتبط با موضوع 4. بررسی صحت و دقت روشها به کمک شبیه سازی فرضیه ها/پیش فرض ها: 1. ساختار داده ها و فضای شکل به منظور اجرای تحلیل ژئودزیک اصلی به صورت نااقلیدسی (غیرخطی) می باشد. 2. روش بکارگیری تحلیل ژئودزیک اصلی در فضای شکل، مشابه اجرای تحلیل مولفه های اصلی در فضای مماسی مربوط به شکل است. 3. داده های اولیه شکل قابل ثبت در قالبهای استاندارد آماری هستند. 4. بکارگیری ژئودزیک اطلاعاتی مربوط به مفاهیم فاصله آماری را از بین نمی برد. جنبه جدید بودن و نوآوری: ایده تحلیل ژئودزیک اصلی توسط محققین علوم کامپیوتر معرفی و در تحلیل تصاویر پزشکی به کاربرده شده است. ولی از آنجایی که تا به حال به عنوان یک ابزار قدرتمند برای محاسبه تغییرات در فضاهای مختلف شکل به کاربرده نشده است و به نظر می رسد شبیه سازی داده های نااقلیدسی (غیرخطی) درحوزه علوم آماری صورت نگرفته است، جنبه نو بودن موضوع واضح می باشد. مراجع: 1. cootes,t.f, taylor, c.j.,cooper, d.h and graham.j. (1992). training models of shape from sets of examples. in hogg, d.c. and boyle, r.d.(eds), british machine vision conference, 9-18, springer-verlag.berline 2. dryden,i.l.,hirst, j.d.and melville, j.l.(2007). statistical analysis of unlabeled point set: comparing molecules in chemoinformatics. biometrics, 63, 237-251 3. fletcher, p. (2004). statistical variability in nonlinear spaces: application to shape analysis and dt-mri. ph.d thesis. university of north carolina at chapel hill. 4. fletcher, p., lu, c., pizer, s., joshi, s. (2004). principal geodesic analysis for the study of nonlinear statistics of shape. medical imaging, ieee transactions, 23: 995-100 5. kendall, d.g. (1977). the diffusion of shape. advances in applied probability. 9:428-430 6. kendall, d.g. (1984). shape manifolds, procrustean metrics and complex projective spaces. bulletin of the london mathematical society. 16:81-121 7. kent, j.t. (1994).the complex bingham distribution and shape analysis.journal of the royal statistical society. seriesb, 56:285-299 8. lohmann, g.p. (1983). eigenshape analysis of microfossils: a general morphometric procedure for describing changes in shape. mathematical geology, 15: 659-672. 9. mardia, k.v. (2008). holistic statistics and contemporary life sciences. in s.barber, p.d.baxter, a. gusnanto, and k.v.mardia(eds.), the art and science of statistical bioinformatics.9-17, leeds university press 10. said,s., courty, n., bihan,n.l., and sangwine,s. (2007). exact principal geodesic analysis for data on so(3). proceedings of 15th european signal processing conference. 1701-1705 11. simard,p. le gun,y., and denker,j. (1993). efficient pattern recognition using a new transformation distance. in hanson, s.,cowan, j., and giles, c.,(eds), advances in neural information processing systems. vol. 5, san mateo. morgan kaufmann. 12 . sommer, s., lauze, f. , hauberg, s. and nielson, m. (2010). manifold valued statistics, exact principal geodesic analysis and the effect of linear approximations. lecture notes in compute science., vol.6316 ,43-56 13. wu, j., smith, w.,hancock, e. (2008). weighted principal geodesic analysis for facial gender classification. in progress in pattern recognition, image analysis and applications. 331-339, springer, berlin.