گروههای 4-انگل دو مولدی

منشأ گروه های انگل به نظریه ی جبرهای لی بر می گردد. به عنوان مثال یکی از نتایج پایه ای برای جبرهای لی انگل، قضیه ی انگل است که به این صورت بیان می شود: هر جبرلی انگل با بعد متناهی روی یک میدان، پوچ توان است. زرن این قضیه را در نظریه ی گروه ها چنین بیان کرد که هر گروه متناهی انگل، پوچ توان است. زلمانوف در مورد جبرهای لی انگل بیان کرد که: هر جبرلی n-انگل روی یک میدان با مشخصه ی صفر، پوچ توان است و هم چنین هر جبرلی n-انگل روی یک میدان دلخواه، موضعاً پوچ توان است. در این جا دو سوال در نظریه ی گروه مطرح می شود که: آیا هر گروه n-انگل تاب-آزاد، پوچ توان است؟ و هم چنین آیا هر گروه n-انگل، موضعاً پوچ توان است؟ در پیرامون این دو سوال تحقیقاتی به عمل آمده است که به اختصار به آن ها می پردازیم. در مورد گروه های 1-انگل چون این گروه ها همان گروه های آبلی هستند جواب واضح است. در مورد گروه های 2-انگل، لوی و در مورد گروه های 3-انگل هنیکن به هر دو سوال بالا جواب مثبت داده اند. اما در مورد گروه های 4-انگل تا کنون به این سوالات جواب داده نشده است اما با استفاده از نتایج به دست آمده روی گروه های 4-انگل، می توان دید که یک گروه 4-انگل موضعاً پوچ توان است اگروتنهااگر همه ی زیرگروه های 3-مولده ی آن پوچ توان باشند. لذا اگر ثابت شود که همه ی زیرگروه های 3-مولده ی یک گروه 4-انگل پوچ توان هستند، آن گاه جواب یکی از سوالات بالا داده می شود. اما در این پایان نامه تنها ثابت می شود که گروه های 4-انگل 2-مولده پوچ توان می باشند. یک قضیه ی کلیدی که در اثبات پوچ توانی گروه های 4-انگل 2-مولده ما را یاری می کند این است که: فرض کنید g یک گروه انگل و r رادیکال هرش-پلاتکین گروه g باشد. دراین صورت رادیکال هرش-پلاتکین گروه خارج قسمتی gr، بدیهی است.