در این پایان نامه خاصیت جایگشت پذیری و بازنویسی پذیری گروه ها را مورد بررسی قرار می دهیم. ثابت می کنیم که: 1) هر گروه آبلی –بواسطه –دوری، دارای خاصیت 3-بازنویسی پذیری است اگروفقط اگر یک زیر گروه آبلی با شاخص 2 داشته باشد یا مرتبه زیر گروه مشتق آن کمتر از 6 باشد. 2) هر 2-گروه پوچ توان از رده 2، دارای خاصیت 3-بازنویسی پذیری است اگروفقط اگر یک زیر گروه آبلی با شاخص 2 داشته باشد یا مرتبه زیر گروه مشتق آن کمتر از 5 باشد. 3) هر گروه پوچ توان از رده 2، دارای خاصیت 3-بازنویسی پذیری است اگروفقط اگر یک زیر گروه آبلی با شاخص 2 داشته باشد یا مرتبه زیر گروه مشتق آن کمتر از 6 باشد. در سال 1975 پل اردوش سوالی را مطرح کرد: اگر در یک گروه نامتناهی همه زیر مجموعه های با عناصر دو به دو جابجا نشونده، متناهی باشند آیا می توان کران بال برای عدد اصلی چنین مجموعه هایی یافت؟ در سال 1976 نویمن به آن پاسخ مثبت داد. سوال اردوش را در جهت دیگری در نظر می گیریم و ثابت می کنیم که: یک گروه نامتناهی در واریته تعریف شده توسط قانون , قرار دارد اگروتنها اگر به ازای هر m زیر مجموعه نامتناهی از گروه، اعضای برای (i=1, 2, …, m) وجود داشته باشد که . کلمه w به صورت حاصل ضرب چند کلمه مجزا است، به این معنی که کلمه ها از گروه های آزاد تعریف شده روی مجموعه های مجزا بوده و کلمه ها به فرم می باشند که در آن فقط یکی از حروف در چند مکان تکرار شده و بقیه حروف فقط در یک مکان ظاهر شده اند.

در این رساله عناصر 4-اِنگل راست و چپ را مورد مطالعه قرار داده و نشان دادیم اگر a یک عنصر دلخواه و b^±1 عناصر 4-اِنگل راست باشند یا این که a^±1 عناصر 4-اِنگل چپ و b یک عنصر دلخواه باشد، آنگاه <a,a^b> یک گروه پوچ توان از کلاس حداکثر 4 است. همچنین نشان دادیم اگر p a^±1 -عنصرهای 4-انگل چپ از g باشند، آنگاه a^4 در رادیکال بئر g و لذا در رادیکال هرش-پلاتکین g است، اگر p=2 و a در رادیکال بئر gاست اگر p یک عدد اول فرد باشد. در ادامه به مطالعه عناصر n-اِنگل راست و بررسی شرایطی برای گروه g که تحت آن شرایط مجموعه عناصر n-انگل راست تشکیل یک زیرگروه دهد پرداخته شده است.

در این پایان نامه, با استفاده از سرشت های تحویل ناپذیر گروه ها فرمولی برای به دست آوردن طیف گراف های کیلی ارائه می کنیم و نتایج به دست آمده را برای گراف های کیلی گروه های دووجهی به کار برده و ثابت می کنیم که برای هر عدد k≥٢ , تعداد k گراف کیلی گروه دووجهی از مرتبه p≥٦٤k وجود دارد که هم طیف و دو به دو غیر یکریختند. در ادامه گراف کیلی یکه را معرفی و به بررسی برخی خواص آن از جمله تام بودن, همبندی راّسی و یالی می پردازیم و همچنین ثابت می کنیم که طیف گراف کیلی یکه صحیح است. در پایان, گراف های کیلی گروه های آبلی از مرتبه کمتر از 100 , که طیف آن ها صحیح است را به کمک برنامه نویسی در محیط #c به دست می آوریم.

در این پایان نامه به معرفی گروه های قابل می پردازیم. سپس طبقه بندی p-گروه های 2-مولده ی متناهی از رده ی پوچ توانی 2 را بیان می کنیم. در ادامه با استفاده از مربع تانسوری غیر آبلی گروه ها به بیان شرایط لازم و کافی برای قابل بودن p-گروه های 2-مولده ی متناهی از رده ی پوچ توانی 2 می پردازیم.

فرض کنید p یک عدد اول است. یک حدس قدیمی بیان می کند که هر p-گروه غیرآبلی متناهی یک خودریختی غیرداخلی از مرتبه p دارد. حال فرض کنید g یک p-گروه غیرآبلی متناهی است. در این پایان نامه درستی حدس را در هر یک از حالت های زیر نشان می دهیم. 1. (((‍?(g)?cg(z(?(g. 2. g یک p-گروه منظم غیر آبلی باشد. 3. 2=p و g از رده ی پوچ توانی 2 باشد. در حقیقت ما نتایج زیر را ثابت می کنیم. 1. فرض کنید g یک p-گروه غیرآبلی متناهی باشد به طوری که (((?(g)?cg(z(?(g. در این صورت g یک خودریختی غیرداخلی از مرتبه p دارد به طوری که هر عنصر از زیرگروه فراتینی را ثابت نگه می دارد. 2. هر p-گروه منظم غیرآبلی یک خودریختی غیرداخلی از مرتبه p دارد. 3. p-گروه های متناهی از رده ی پوچ توانی 2 با 2=p یک خودریختی غیرداخلی با مرتبه p دارند که زیرگروه فراتینی یا ((?1(z(g را عنصر به عنصر ثابت نگه می دارد.

منشأ گروه های انگل به نظریه ی جبرهای لی بر می گردد. به عنوان مثال یکی از نتایج پایه ای برای جبرهای لی انگل، قضیه ی انگل است که به این صورت بیان می شود: هر جبرلی انگل با بعد متناهی روی یک میدان، پوچ توان است. زرن این قضیه را در نظریه ی گروه ها چنین بیان کرد که هر گروه متناهی انگل، پوچ توان است. زلمانوف در مورد جبرهای لی انگل بیان کرد که: هر جبرلی n-انگل روی یک میدان با مشخصه ی صفر، پوچ توان است و هم چنین هر جبرلی n-انگل روی یک میدان دلخواه، موضعاً پوچ توان است. در این جا دو سوال در نظریه ی گروه مطرح می شود که: آیا هر گروه n-انگل تاب-آزاد، پوچ توان است؟ و هم چنین آیا هر گروه n-انگل، موضعاً پوچ توان است؟ در پیرامون این دو سوال تحقیقاتی به عمل آمده است که به اختصار به آن ها می پردازیم. در مورد گروه های 1-انگل چون این گروه ها همان گروه های آبلی هستند جواب واضح است. در مورد گروه های 2-انگل، لوی و در مورد گروه های 3-انگل هنیکن به هر دو سوال بالا جواب مثبت داده اند. اما در مورد گروه های 4-انگل تا کنون به این سوالات جواب داده نشده است اما با استفاده از نتایج به دست آمده روی گروه های 4-انگل، می توان دید که یک گروه 4-انگل موضعاً پوچ توان است اگروتنهااگر همه ی زیرگروه های 3-مولده ی آن پوچ توان باشند. لذا اگر ثابت شود که همه ی زیرگروه های 3-مولده ی یک گروه 4-انگل پوچ توان هستند، آن گاه جواب یکی از سوالات بالا داده می شود. اما در این پایان نامه تنها ثابت می شود که گروه های 4-انگل 2-مولده پوچ توان می باشند. یک قضیه ی کلیدی که در اثبات پوچ توانی گروه های 4-انگل 2-مولده ما را یاری می کند این است که: فرض کنید g یک گروه انگل و r رادیکال هرش-پلاتکین گروه g باشد. دراین صورت رادیکال هرش-پلاتکین گروه خارج قسمتی gr، بدیهی است.

در این پایان نامه در مورد گروه خودریختی p-گروه های متناهی غیرآبلی ?-مولده g با زیرگروه جابه جاگر دوری برای عدد اول فرد p بحث می کنیم و با توجه به شرایط موجود روی گروه ها نمایشی برای گروه g ارائه می دهیم. سپس به محاسبه مرتبه های aut g و op(aut g) و inn g می پردازیم که در آن op(aut g) بزرگ ترین p-زیرگروه نرمال aut g است.

خودریختی ? از گروه g را خودریختی رده ای پایا می نامیم، هرگاه برای هرg ?x، داشته باشیم xg?(x)?، که در آن xg رده مزدوجی x در g است. مجموعه تمام خودریختی های رده ای پایا g را با autc(g) نمایش می دهیم. در این پایان نامه، p-گروه های متناهی مانند g را که در آن ها |autc(g)| به بیشترین مقدار خود می رسد را بررسی می کنیم. برای این منظور ابتدا نشان می دهیم که برای هر p-گروه غیربدیهی g از مرتبه p^n رابطه ی |aut_c (g)| ? {?(p^((n^2-4)/4 ) باشد زوج n اگر @p^((n^2-1)/4) باشد فرد n اگر )? برقرار است. سپس p-گروه های متناهی را که رابطه ی فوق برای آن ها به تساوی تبدیل می شود، بررسی خواهیم کرد.

امروزه نظریه گراف یکی از پربارترین شاخه های ریاضیات و علوم کامپیوتر شده است. دلیل این امر هم کاربرد قابل ملاحظه این شاخه در زمینه های گوناگونی چون علوم نانو، فیزیک، بیولوژی، شیمی، انتقال اطلاعات و به طور کلی بررسی و تجزیه و تحلیل وابستگی اشیاء به یکدیگر است. در این پایان نامه ابتدا به بررسی و معرفی ضرب های بین گراف ها می پردازیم و دو ضرب جدید بین گراف ها با نام های جایگذاری و زیگ-زاگ را معرفی و برخی از خواص گرافی آنها را بررسی می کنیم. سپس فرض می کنیم که دو عامل ضرب به صورت گراف کیلی باشند و با استفاده از ضرب گراف ها به بررسی سوال زیر می پردازیم: ‎ سوال: فرض کنید ‎ ?یک عمل دوتایی بین گراف ها باشد. اگر ‎g و ‎h دو گراف کیلی باشند، آنگاه تحت چه شرایطی ‎g?h گراف کیلی است؟ سوالی که اولین بار در سال ‎1979‎ توسط کوتزینگ ‎مطرح شد به این صورت بود که آیا ضرب بین گراف ها حافظ خاصیت ‎1-تجزیه پذیری می باشد؟ او نشان داد وقتی حاصلضرب دکارتی ‎گراف های منظم 1-تجزیه پذیر است که حداقل یکی از این گراف ها ‎1-تجزیه پذیر باشد یا اینکه حداقل دوتا از گراف ها دارای ‎تطابق کامل باشند. در ادامه این موضوع ما ابتدا تمامی نتایج ارائه شده برای ضرب های متفاوت را آورده و در نهایت این سوال را برای ضرب جایگذاری بررسی می کنیم.از آنجایی که گراف کیلی بوسیله گروه تعریف می شود از قدیم مورد توجه بوده است. این گراف ها دارای خواصی همچون رأسی انتقالی، تقارنی می باشند. بسیاری از گراف های بزرگ را می توان با استفاده از ترکیب گراف ها از گراف های کوچکتر بدست آورد. همچنین برخی از خواص گرافی از گراف های کوچک به گراف های بزرگتر انتقال می یابد. وقتی دو گراف کیلی با هم ترکیب می شوند، نیاز است که گروه های ایجاد کننده آنها را با هم ترکیب کنیم. در این تحقیق ما ابتدا به بررسی این ضرب ها و خواص آنها می پردازیم و دو ضرب جدید با نام های زیگ-زاگ و جایگذاری را معرفی می کنیم. سپس شرایطی را می یابیم که ضرب دو گراف کیلی باز گراف کیلی باشد. همچنین حفظ خاصیت 1- ‎تجزیه پذیری را برای ضرب جایگذاری بررسی می کنیم. در انتها با معرفی تطابق رأسی و چند جمله ایی pi گراف به بررسی خواص این دو چند جمله ایی می پردازیم و برای برخی از ترکیب گراف ها محاسبه می کنیم. این پایان نامه به صورت زیر ساماندهی شده است: در فصل اول مفاهیم مقدماتی و قضایایی که در فصل های بعد مورد استفاده قرار می گیرند بیان شده است. این فصل شامل دو بخش است. در بخش اول ضرب های معروف تعریف شده بین دو گراف را معرفی می کنیم و برخی از خواص آنها نیز در این بخش بررسی می شود. بعلاوه دو ضرب جدید که اخیراً معرفی شده اند مورد بررسی قرار می گیرید. در بخش دوم، مقدماتی از گروه های جایگشتی و گروه خودریختی گراف ها آورده شده است که در فصل دوم مورد استفاده قرار می گیرد. فصل دوم، شامل دو بخش است. در بخش اول، ابتدا با معرفی گروه خودریختی برای برخی از ضرب های گراف شرایطی را بیان می کنیم که این ضرب ها تحت این شرایط حافظ خاصیت کیلی می باشند. در بخش دوم یک گروه خاص از گراف های کیلی را معرفی می کنیم و برخی از خواص گرافی را برای آن بررسی نموده و آنها را مطابق برخی از ضرب های معرفی شده در فصل اول طوری با هم ترکیب می کنیم که نتیجه حاصل گراف کیلی باشد. در فصل سوم خاصیت 1-‎تجزیه پذیری گراف ها را برای ضرب های معروف بررسی می کنیم و در انتها شرایطی را می یابیم که عامل های ضرب جایگذاری باید داشته باشند که این ضرب حافظ خاصیت یک تجزیه پذیری باشد. در فصل چهارم پس از ارائه تاریخچه چند جمله ای تطابق یک گراف به معرفی چند جمله ای تطابق رأسی می پردازیم. ابتدا برخی خواص این چند جمله ای را بررسی نموده و سپس مقدار آنرا برای گراف های معروف محاسبه می کنیم. در ادامه چند جمله ای تطابق رأسی برای جمع و اجتماع مجزای گراف ها محاسبه شده است، که این نیز کمک به یافتن چند جمله ای رأسی برخی از گراف ها می~کند. در انتهای این فصل به بررسی چند جمله ای دیگری می پردازیم که به ‎pi‎ معروف است و مقدار آنرا برای ضرب دکارتی محاسبه می کنیم.

فرض کنید $g$ یک گروه ناآبلی و $z(g)$ نمایانگر مرکز آن باشد. به این گروه، گراف $ gamma_g$ را به این گونه نسبت می دهیم: $g setminus z(g)$ مجموعه راس های گراف باشد و بین دو راس $x,y$ یال باشد اگر و تنها اگر $xy eq yx$. در این پایان نامه چگونگی تاثیر خواص $gamma _g$ بر گروه $g$ را مورد بررسی قرار داده و سه انگاره اساسی را بررسی خواهیم کرد. در این سه انگاره همواره فرض بر این است که $g$ و $h$ دو گروه ناآبلی متناهی با گراف های ناجابجایی یکریخت هستند. انگاره نخست این پرسش را بررسی می کند که به ازای چه گروهی مانند $g$، مرتبه های $g$ و $h$ برابرند. انگاره دوم به بررسی انتقال پوچتوانی می پردازد. انگاره سوم که هم اکنون اثبات شده است به بررسی این موضوع می پردازد که اگر یکی از دو گروه $g$ یا $h$ ساده باشند، آنگاه دو گروه یکریخت هستند. همچنین به معرفی گراف های غیرپوچتوان، غیردوری و اول می پردازیم و پرسشهای مشابه را تا حد امکان بررسی می کنیم.

بیشتر تلاش نظریه گروه ها در قرن بیستم معطوف به گروه های پوچتوان و بویژه pـگروه های متناهی و مسائل و حدس های برجسته در این زمینه بوده است که اگر چه به تعدادی از آن ها پرداخته شده است، اما هنوز حدس های قدیمی وجود دارند که به طور کامل پذیرفته و یا رد نشده اند. یک مسأله‎ی‎‎ قدیمی بیان می کند که: " آیا pـ گروه متناهی‏، به جز گروه دو وجهی ‎‏،‏ وجود دارد که با گروه کامل خودریختی هایش یکریخت باشد؟!" این پایان نامه به بررسی این مسأله در برخی از حالت های خاص از قبیل گروه ها‎ی‎ از رده ی پوچتوانی 2‏، گروه های توانمند‏، گروه های با مرکز از مرتبه ‎عدد‎ اول‏‏، گروه های با یک زیرگروه آبلی از اندیس عدد اول‏، گروه های از رده پوچتوانی 3 با مرکز دوری و گروه های با همرده حداکثر 3 پرداخته است.

یک حدس قدیمی بیان می کند که‏ هرpـگروه ناآبلی متناهی دارای خودریختی غیرداخلی از مرتبه p است. یک نتیجه قابل توجه از دکُنِسکو و سیلبربرگ‏، فضای بررسی این حدس‏ را به خانواده ی‎pـ گروه های فراتینی قو‎‏ی‏،‎‎‎ یعنی ‎pـ گروه های ‎g‎‏ که در شرط (*) c_g (z(?(g))=? ‏صدق‎ کنند‏، کاهش داده است. در این پایان نامه‏ فضای بررسی این حدس را به خانواده ی ‎pـ گروه های ‎‎g‎‎‎ صادق در شرط (**) z_2^*(g)? c_g(z_2^*(g))=? کاهش می دهیم‏، جایی که z_2^* (g)={a? z_2 (g)?a^p?z(g)}‎‎‏. نشان می دهیم که pــ گروه هایی که‎‎‏ شرط ‎(**)‎ را برآورده می سازند‏، ‏ فراتینی قوی نیز می باشند و به ازای هر ‎p‎‏‏، بینهایت pــ گروه فراتینی قوی وجود دارد که در شرط ‎(**) صدق نمی کنند. پس از آن یک کران پایین برای تعداد همریختی های متقاطع از یک pـ گروه ‎آبلی به یک p‎‎‏ـ گروه آبلی مقدماتی به دست می آوریم‏ و به کمک این نتیجه درستی این حدس را برایp‎‎‏ــ گروه های متناهی از رده ی پوچتوانی ‎3‎‎‎ بررسی می کنیم. همچنین یک خانواده ی نامتناهی از 2ـ گروه های متناهی با کلاس پوچتوانی 3 ارایه می دهیم که در آنها هر خودریختی از مرتبه ی 2‎‏ که زیرگروه فراتینی را نقطه به نقطه ثابت نگه می دارد‏، داخلی است. سپس برقراری حدس مذکور را برای p‎‎‏ـ گروه های ‎‎g‎ که p فرد و ((g,z(g)) زوج کامینا ‏‎ است‏، اثبات می کنیم. در پایان شرطی لازم و کافی برای آنکه ‎‎‎‏خودریختی های‎‎‎ رده نگهدار و خودریختی های مرکزی ‎یک‎ گروه متناهی‏ بر هم منطبق باشند ارایه می دهیم.

مقاله ای از آقای دکتر عبدالهی در سال 2010 منتشر شد که در آن به حدس قدیمی در مورد خودریختی های p-گروه های متناهی پرداخته است. این حدس بیان می کند که: برای یک p-گروه های متناهی غیر آبلی یک خودریختی غیر داخلی از مرتبه p وجود دارد .در این پایان نامه طی دو فصل بخش هایی از مقاله مذکور را مورد بررسی قرار داده و جزئیات قضایایی که توسط دکتر عبدالهی به اثبات رسیده است را باز می کنیم.در فصل اول برخی تعاریف و قضایای مقدماتی در زمینه جبر و گروه که در اثبات قضایای فصل دوم بکار می رود بیان شده است. و تنها اثبات تعدادی از این قضایا که عمومیت کمتری دارند آورده شده و اثبات مابقی به منابع معتبر و شناخته شده ارجاع داده شده است.در فصل دوم چند لم و نتایجی که در اثبات قضیه 7.2 بکار رفته است را بیان و اثبات کرده ایم و در نهایت اثبات قسمتی از قضیه 7.2 را مورد بررسی قرار داده ایم.قضیه 7.2 بیان میکند که : فرض کنید g یک p-گروه متناهی غیر آبلی باشد به طوری که (g/z(g قوی است. اگر p بزرگتر از 2 یا گروه مرکز g غیر دوری باشد آنگاه گروه خودریختی های g شامل یک خودریختی غیر داخلی از مرتبه p است بطوری که زیر گروه فراتینی g را بطور نقطه ای ثابت نگه می دارد و اگر p برابر 2 باشد آنگاه گروه خودریختی های گروه g شامل یک خودریختی غیر داخلی از مرتبه 2 است که یا زیر گروه فراتینی گروه g و یا 1_omega مرکز گروه g را بطور نقطه ای ثابت نگه می دارد. همچنین یک 2 گروه قوی g از رده 2 وجود دارد بطوری که تنها خودریختی های از مرتبه 2 که زیر گروه فراتینی g را بطور نقطه ای ثابت نگه می دارد خودریختی داخلی از g هستند.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.