رفتار حدی جسم بی نهایت کوچک در مساله سه جسمی تحدید شده ‎‎‎دایره ای صفحه ای و انشعاب و آشوب آن

مساله سه جسمی یکی از قدیمی ترین مسایل در مکانیک سماوی است که به طور گسترده ای در طراحی ماموریت های فضا یی مطالعه شده است. منشا مساله به تلاش های نیوتن برای توضیح حرکت ماه توسط جاذبه گرانشی زمین و خورشید باز می گردد. پس از آن بود که مساله شهرت خاصی با نام مساله سه جسمی به دست آورد. اولین دلیل برای این شهرت، انگیزه همیشگی برای ارضای حس کنجکاوی و رقابت در میان جامعه ریاضیدانان - فیزیکدا‎‎نان بوده است. با این حال، دلایل عملی مانند تقاضای روز افزون برای محاسبه دقیق جدول های قمری برای کمک به تعیین طول جغرافیایی کشتی در اقیانوس ها نیز نقش به سزایی داشته اند. پیشرفت های بیشتر در اواسط قرن هجدهم، عمدتا در آثار دانشمندان برجسته اویلر، لاگرانژ، و لاپلاس ادامه یافت و به پیش بینی های دقیق تری در مورد حرکت ماه و سیارات منجر شد. این مساله به صورت یک دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی مدل بندی شده است و کاربردهای بسیار زیادی در هوافضا دارد. در واقع، این سناریو به طور گسترده ای در ماموریت های فضایی برای مدل سازی حرکت فضاپیماها (که جرمی قابل چشم پوشی دارند) در ظرفیت گرانشی تحت گرانش زمین و ماه استفاده شده است . تلاش فراوانی برای به دست آوردن جواب های دوره ای، و بررسی رفتار کیفی مساله سه جسمی انجام شده است. در این رساله، مساله سه جسمی تحدید شده دایره ای در دو حالت فضایی و صفحه ای بررسی می شود. در حالت فضایی، ما با استفاده از تکنیک بهینه سازی دسته ذرات روشی را برای یافتن جواب های دوره ای با پیچیدگی های نسبتا زیاد ارایه می کنیم که البته این روش برای دیگر دستگاه های معادلات نیز کاربرد دارد. سپس، حالت صفحه ای را بررسی می کنیم. در این حالت، به خاطر وجود انتگرال ژاکوبی و قابل تعریف بودن ناحیه هیل، به ازای ثابت ژاکوبی های از حدی بالاتر به معرفی منحنی بسته همواری می پردازیم که مولفه همبند ناحیه هیل حول خورشید در سیستم سه جسمی خورشید-مشتری-سیارک را به دو قسمت می کند. نشان خواهیم داد که هر سیارک با این مقدار ثابت ژاکوبی بی نهایت بار منحنی بسته یاد شده را قطع می کند. سرانجام، به مساله تجزیه مجموعه پایا به زیر مجموعه های تقریبا پایا که به تازگی در تحلیل سیستم های دینامیکی آشوبناک از جمله مساله سه جسمی به کار گرفته شده است، می پردازیم و کران بالاهای خوبی برای مساله بهینه سازی معادل آن معرفی می کنیم. در مجموع، یافتن جواب های دوره ای و بررسی رفتارهای احتمالی جسم بی نهایت کوچک با استفاده از تکنیک های بهینه سازی نقش مهم رویکرد بهینه سازی ترکیبیاتی و الگوریتمهای شهودی را در این مساله کلاسیک آشکار می سازد.