کلاسی از پیش شرط ها برای دستگاه های خطی بزرگ ـ مقیاس در روش نقطه داخلی برای برنامه ریزی خطی
چکیده
بهینه سازی یکی از موضوع های مهم در زمینه های علوم کامپیوتر، تحقیق در عملیات و هوش مصنوعی به شمار می آید. به زبان ساده، بهینه سازی به معنای انجام بهتر کارها است. وقتی از بهینه سازی صحبت به میان می آید، گواهی بر این است که مسأله جواب های متفاوتی دارد که ارزش یکسان ندارند. فرآیند بهینه سازی، انتخاب بهترین جواب را امکان پذیر می کند. برنامه ریزی خطی می نیمم سازی یک تابع هزینه ی خطی در رابطه با قیدهای معادله و نامعادله است. روش های زیادی برای می نیمم سازی این نوع مسائل به وجود آمده است که اولین آن ها را دانتزیک به نام روش سیمپلکس در سال 1947 ارائه کرد. پس از آن دوره پرکاری بر مهمترین مسائل در حمل و نقل, اقتصاد, عملیات جنگی, زمان بندی و از این دست مسائل شروع شد. از این دست مسائل که با مدل بندییی به شکل برنامه ریزی خطی ارائه شده اند, مساله برش الوار, مساله کوتاه ترین مسیر, مساله درخت فراگیر, مساله کوله پشتی, مساله فروشنده دوره گرد و زمان بندی مساله رژیم غذایی را می توان نام برد. روش سیمپلکس مسائل برنامه ریزی خطی را با عبور از نقاط راسی در امتداد مرز مجموعه شدنی در جهت بهبود هزینه در هر تکرار پیمایش می کند. در اواسط دهه 1980 الگوریتم هایی که با حرکت در درون مجموعه شدنی یک جواب بهینه را پیدا می کنند ارائه شدند. به همین دلیل به روش های نقطه درونی مشهورشدند. در عمل این روش ها اغلب برای مسائل بزرگ ـ مقیاس با روش سیمپلکس قابل مقایسه می باشند. از روش های موفق برای حل مسائل برنامه ریزی خطی روش های نقطه درونی می باشد که با انتشار مقاله کارماکار در سال 1986 آغاز گردید و با ارائه روش های کارایی از نوع اولیه ـ دوگان ادامه یافت. در این روش ها پر هزینه ترین مرحله, محاسبه جهت جستجو از طریق حل یک یا چند دستگاه خطی می باشد. چنین دستگاه هایی نامعین هستند و می توانند به شکل متقارنی به نام دستگاه های افزوده نوشته شوند. روش متداول برای کاهش دستگاه افزوده به دستگاه معین مثبت کوچکتر, معادلات نرمال نامیده می شود. حل این دستگاه ها برای مسائل بزرگ مقیاس از طریق روش های تکراری می باشد. موفقیت پیاده سازی استفاده از روش های تکراری وابسته به انتخاب پیش شرط مناسب می باشد. در این پایان نامه کلاسی از پیش شرط ها توسط الیویرا و سورنسن مورد بررسی قرار می گیرد و نشان داده می شود که هر پیش شرط برای دستگاه معادلات نرمال , معادلی برای دستگاه افزوده دارد, در حالی که عکس آن برقرار نیست. این کلاس از پیش شرط ها از محاسبه معادلات نرمال اجتناب می کنند. پیش شرط ها روی یک تجزیه ی lu از یک زیر مجموعه ناشناخته از قبل به جای ستون های ماتریس محدودیت تکیه دارند. بعضی ویژگی ماتریس پیش شرط شده و کاهش آن به ماتریس معین مثبت توسعه داده می شود. همچنین نتایج عددی حاصل از بکارگیری پیش شرط مذکور برای روش های گرادیان مزدوج و مقایسه آن با دیگر روش ها برای بررسی کلاس پیشنهاد شده از پیش شرط ها توسط اولیویرا و سورنسن مدنظر می باشد.