تعیین ساختار گروهی خم ها ی بیضوی به فرم های: e: y2=x3(_-^+)nx ? که درآن n=p یا n=pqبطوریه p,q اعداد اول متمایز هستند.

خم های بیضوی و رتبه آن ها نقش مهمی در سیستم های رمزنگاری ایفا می کنند. تعیین رتبه جزء مسائل پیچیده بوده و تاکنون هیچ الگوریتم کلی برای حل آن ارائه نشده است. ‎‎ در این پایان نامه ابتدا الگوریتم ساده ای برای محاسبه رتبه ی‎‎‎‎ خم های بیضوی خاص ارائه می دهیم که معادله آن ها در زیر آمده است.‎‎ ‎‎‎‎$ ‎e‎:‎~‎y^{2}=x^{3‎}-‎npx‎‎‎ ‎$‎‎، که در آن‎‎‎ ‎‎‎‎$ ‎n=1‎ ‎$‎‎ یا‎‎‎ ‎‎‎‎$ ‎n=2‎ ‎$‎‎ و‎‎‎ ‎‎‎‎$ ‎p‎ ‎$‎‎ عدد اول فرما یا مرسن و یا به فرم‎‎‎‎‎ ‎‎‎‎$ ‎2p=(u^{2‎}+‎2v^{2‎}‎‎)^{4‎}+‎(u^{2‎}-‎2v^{2‎}‎‎)^{4‎}‎‎ ‎$‎‎ می باشد، می پردازیم.‎‎‎ این نوع خم ها از رتبه حداقل صفر و حداکثر‎‎‎ ‎‎‎‎$ ‎3‎ ‎$‎‎ می باشند.‎‎‎ ‎بلاخره آخرین قسمت پایان نامه بررسی ساختار گروهی خم های بیضوی به فرم‎‎‎‎‎ ‎‎‎ ‎‎‎‎$ ‎e‎:‎~‎y^{2}=x^{3‎}+‎pq‎x‎‎‎ ‎$‎ با رتبه‎‎‎ ‎‎‎‎$ ‎4‎ ‎$‎‎ است که در آن‎‎‎ ‎‎‎‎$ ‎q‎,‎p‎ ‎$‎‎ دو عدد اول متمایز هستند.‎‎‎ ‎تمام این خم ها دارای گروه تاب‎‎‎ ‎‎‎‎$mathbb{z}/(2 ‎mathbb{z})$ می باشند.