اندیس رنگی ابرگراف ها

به کمترین تعداد رنگ های مورد نیاز برای رنگ آمیزی رئوس ‎h، عدد رنگی‎ گفته می شود‏‏ به طوری که هیچ یال ‎‎‎‎e_i‎‏ از h‎‏ که ‎‎‎‎|e_i|‎>1‎‎‏ ‏وجود نداشته باشد که همه ی رئوس آن دارای رنگ یکسان باشند.‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ هم چنین‏‎‎‏ کمترین تعداد رنگ های مورد نیاز برای رنگ آمیزی یال های ‎‎‎h‎‎‏‏، به طوری که هر کلاس رنگی به شکل یک تطابق باشد‏ را ‎‏اندیس رنگی (عدد رنگی یالی) h‎ گوییم. به عبارت دیگر‏، در رنگ آمیزی یالی ابرگراف ها هیچ دو یال متقاطع رنگ یکسان ندارند. ‏از آن جا که محاسبه ی دقیق اندیس رنگی ابرگراف ها ساده نمی باشد‏، بنابراین در این پایان نامه سعی می کنیم آن را با کران مشخص کنیم. برای این کار قضیه ی معروف شانون را بیان و تعمیم آن را برای حالت های مختلفی از یک ابرگراف معرفی می کنیم تا بتوانیم از نتایج مربوط به آن کران های مختلفی را برای انواع ابرگراف ها به دست آوریم‏، حتی در بسیاری از موارد برای رنگ آمیزی از الگوریتم حریصانه استفاده می کنیم تا بتوانیم به یک کران خوب دست پیدا کنیم. برای انواع خاص ابرگراف های یکنواخت‏، کران الون و کیم را که به صورت حدس است ارائه می کنیم و سپس آن را برای ابرگراف های یکنواخت که متقاطع نیز باشند‏، ثابت می کنیم. در نهایت از این حقیقت که گراف ها حالت خاصی از ابرگراف ها هستند‏، استفاده کرده و قضیه ی ویزینگ که معروف ترین قضیه در مورد اندیس رنگی گراف هاست را بیان می کنیم‏، سپس با به کارگیری قضایای مربوط به اندیس رنگی برای گراف ها‏ و هم چنین دوگانگی گراف های چندگانه و گراف های یالی‏، یک کران بالا را برای گراف های چندگانه ارائه می دهیم. ‏هم چنین از تعمیم قضیه ی ویزینگ در حالت های مختلف یک ابرگراف استفاده های بسیاری می شود. برخی از مسائل هنوز باز می باشند.