هدف اصلی این پایان نامه مطالعه ی

چکیده ندارد.

یکی از مباحث مهم در نظریه گراف، رنگ آمیزی است. رنگ آمیزی راًسی برای یک گراف، تابعی است که به هر راًس گراف یک عدد صحیح نامنفی اختصاص می دهد. در این پایان نامه، نوعی از رنگ آمیزی راًسی به نام رنگ آمیزی هامیلتونی را برای گراف های همبند مورد مطالعه قرار می دهیم. در تعریف این رنگ آمیزی، طولانی ترین مسیر میان هر دو راًس دلخواه در گراف مورد توجه قرار می گیرد. پارامتر مهم این رنگ آمیزی، عدد رنگی هامیلتونی است که مقدار آن برای دسته ای از گراف ها به نام گراف های همبند هامیلتونی برابر یک است. بر این اساس، برخی از گراف های همبند هامیلتونی با ویژگی های خاص را نیز معرفی می کنیم.

رنگ آمیزی یکی از زمینه های مهم در نظریه گراف است. رنگ آمیزی های متعددی برای گراف ها وجود دارد، به عنوان مثال می توان به رنگ آمیزی های رأسی، یالی و کلی اشاره نمود. در سال 2002، هاکمن و دیگران مفهوم [r,s,t]- رنگ آمیزی را معرفی کردند. گراف (g=(v,e با مجموعه رأس های g و مجموعه یال های e و اعداد صحیح نامنفی r,s,t را در نظر بگیرید. یک [r,s,t]- رنگ آمیزی با k رنگ یک نگاشت مانند c از (v(g)?e(g به مجموعه رنگ های {0و1و...k-1} به طوری که برای هر دو رأس مجاورv_i,v_j |c(v_i )-c(v_j)|?r و برای هر دو یال مجاور e_i و c(e_i )-c(e_j)|?s و برای رأس v_i و یال واقع بر آن c(v_i )-c(e_j)|?t [r,s,t]_عدد رنگی گراف) مینیمم kای است که g یک [r,s,t]-رنگ آمیزی با k رنگ داشته باشد.بنابراین [r,s,t]- رنگ آمیزی تعمیمی از رنگ آمیزی های رأسی یالی و کلی است. در این پایان نامه مفهوم [r,s,t]- رنگ آمیزی را بررسی می کنیم . در فصل اول تعاریف مورد نیاز در این پایان نامه و همچنین تاریخچه ی [r,s,t]-رنگ آمیزی را بیان می کنیم. در فصل دوم کران های کلی (g) ?،??_(r,s,t) و همچنین مقادیر دقیق آن در حالت min{r,s,t}=0 یا اینکه g گراف کامل باشد به دست آمده است. در فصل سوم به ازای هر مقدار مثبت r,s,t مقدار دقیق و در یک حالت کران (g) ?،??_(r,s,t) برای گراف های ستاره ای به دست آمده است. در فصل چهارم خواص o(r,s,t,k)={g: ?_(r,s,t) (g)?k} را به ازای k=1,2,3و همچنین در حالت k?3و max{r,s,t}=1 بررسی می کنیم.

رنگ آمیزی گراف ها یکی از مباحث اصلی در نظریه گراف است که هم از دیدگاه نظری و هم از دیدگاه کاربردی همواره مورد توجه بوده است. یک تخصیص رنگ به رأس های گرافg را یک رنگ آمیزی معتبر از گراف g گوییم هرگاه رأس های مجاور رنگ های متمایزی دریافت کنند. به کمترین عدد صحیح k به طوری که g یک رنگ آمیزی معتبر داشته باشد عدد رنگی گراف می گوییم و با نماد(?(g نشان می دهیم. رنگ آمیزی لیستی یا انتخاب پذیری به عنوان تعمیم رنگ آمیزی معمولی در دهه ی 1970 توسط ویزینگ و به طور مستقل توسط اردوش رابین و تیلور مطرح گردید. گراف g را k-انتخاب پذیر گوییم هرگاه برای هر تخصییص مجموعه های s(v)?z به رأس های گراف g, رنگ آمیزی معتبر c:v?z وجود داشته باشد به طوری که برای هر(v?v, c(v)?s(v و c(u)?c(v هرگاه uv?e. به کمترین عدد صحیح k به طوری که k g-انتخاب پذیر باشد, عدد انتخاب گراف g می گوییم و با نمادx_l(g) نشان می دهیم. به راحتی می توان نشان داد ?_l (g)? ?(g . گراف های زیادی وجود دارند که نامساوی فوق برای آن ها به صورت اکید است. اما حدس جالب توجه این است که اگر g یک گراف یالی باشد, نامساوی هرگز رخ نمی دهد. حدس برابری عدد رنگی و عدد انتخاب هر گراف یالی که به حدس رنگ آمیزی لیستی یا lcc مشهور است, برای اولین بار در سال 1985 در مقاله ی بالاباش و هریس به چاپ رسید. در این پایان نامه تمامی نتایج به دست آمده برای این حدس به طور مفصل مورد بررسی قرار می گیرد.

فرض کنید??????…???? ابرگراف های ? یکنواخت باشند. عدد رمزی ????????…???? کوچکترین عدد صحیح و مثبت ? تعریف می شود. به طوری که هر ? رنگ آمیزی از ابریال های ابرگراف کامل ? یکنواخت با رنگ های ????…?? ،به ازای?یک ? ، شامل کپی تک رنگ ?? با رنگ ? باشد. محاسبه ی این اعداد رمزی در حالت کلی بسیار مشکل است. حتی در حالتی که ?? ها گراف باشند محاسبه ی این اعداد ساده نیست و حدسهای بسیاری در این زمینه وجود دارد. در این رساله بر آن هستیم تا برخی از این اعداد رمزی را در حالتیکه ?? گراف یا ابرگراف خاصی هستند، محاسبه کنیم. به عنوان مثال، این اعداد رمزی را در حالتیکه??? مسیر یا دورهای خاصی باشند، محاسبه خواهیم کرد. به علاوه، نتایجی را نیز درحالتیکه???? ابرمسیر یا ابردورهای خاصی هستند، بدست خواهیم آورد.

یک گراف قویاً منظم با پارامترهای ( v, k, ?, µ ) که باsrg-( v; k; ?; µ) نمایش داده می شود، گرافی k-منظم از مرتبه ی v است، به طوری که هر دو رأس مجاور آن ? همسایه مشترک و هر دو رأس غیر مجاور آن µ همسایه مشترک دارند. گراف های قویاً منظم یکی از مهم ترین و جالب ترین خانواده از گراف های منظم هستند که ارتباط زیادی با دیگر ساختارهای ترکیبیاتی مانند آرایه های متعامد، مربع های لاتین و طرح ها دارند به طوری که بسیاری از گراف های قویاً منظم را می توان از این ساختارها به_دست آورد. سه تعمیم مهم گراف های قویاً منظم، گراف های دزا، ( ?, µ )-گراف ها و گراف های تقسیم پذیر طرحی هستند که در این پایان نامه به بررسی نتایج به دست آمده در مورد این گراف ها می پردازیم. ( ?, µ)-گراف های نامنظم به طور کامل مشخصه_سازی می_شوند. هم_چنین برای ساخت گراف_های دزا و گراف_های تقسیم پذیر طرحی، روش_هایی ارائه و در چند حالت خاص این گراف ها نیز رده_بندی می_شوند.

عدد رمزی دو گراف دلخواه، کوچکترین عدد طبیعی است به طوریکه در هر دو رنگ آمیزی یالی گراف کامل از مرتبه ی آن عدد طبیعی با دو رنگ آبی و قرمز، بتوان زیرگراف آبی یکریخت با گراف اول یا زیرگراف قرمز یکریخت با گراف دوم یافت. اگر هر دو گراف یکریخت باشند، این عدد رمزی را عدد رمزی قطری گراف می گوییم. در رابطه با اعداد رمزی قطری گراف های تنک دو حدس معروف از اردوش و بر وجود دارد. ار دوش و بر در سال 1973 حدس زدند که عدد رمزی گراف های با درجه ی ماکزیمم کران دار و عدد رمزی گراف هایی که در هر زیرگراف شان درجه ی میانگین پایین است، نسبت به مرتبه شان خطی است. چواتال و همکارانش این حدس را برای گراف های با درجه ی ماکزیمم کران دار به کمک لم منظمی زمردی ثابت کردند ولی برای گراف های دسته ی دوم هنوز مسئله باز است. اگرچه برای کلاس هایی از گراف ها ثابت شده است. هم چنین کاستاچکا و رادل در سال 2006 اولین بار این دو حدس را برای ابرگراف ها مطالعه کردند و سپس افراد مختلف از جمله کولی، نیگل، کنلن، فاکس و سوداکو ثابت کردند عدد رمزی ابرگراف های با درجه ی ماکزیمم کران دار نسبت به مرتبه شان خطی است. اردوش در سال 1983 حدس زد که عدد رمزی هر گراف با تعداد یال مشخص از عدد رمزی گراف کامل با همان تعداد یال کمتر است و سپس به دنبال این حدس، حدس ضعیف تری مطرح کرد که در سال 2011 توسط سوداکو با استفاده از خواص گراف های تنک اثبات شد. در این پایان نامه نتیجه ی سوداکو را ارایه می کنیم و سپس تعمیم می دهیم. کنلن و همکارانش مسئله ی مشابهی برای ابرگراف ها مطرح کردند ولی هنوز ثابت نشده است. در این پایان نامه نتیجه ی به دست آمده توسط کنلن و همکارانش را در رابطه به عدد رکزی ابرگراف های با درجه ی ماکزیمم کران دار مطالعه می کنیم. هم چنین عدد رمزی 3-رنگی مسیرها را وقتی یکی از مسیرها دارای سه رأس باشد به دست می آوریم.

-شودرا سدح هب هک م?نک?م حرطم فارگ ?طارفا یه?رظن هب عجار یاهلأسم ،هماننا?اپ ن?ا رد یهزادنا اب n یهبترم زا g فارگ ره ،دنداد ناشن ???? لاس رد ی?اگ و شودرا .تسا فورعم شش یارب یاهز?گنا ،هج?تن ن?ا .تسا فارگر?ز ک? ناونع هب k لوط هب ر?سم ک? لماش e(g) > n(k??) .دننک نا?ب ار ر?ز سدح ???? لاس رد ات دش شش و شودرا تخرد ره لماش g هاگنآ ،دشاب e(g) > n(k??) یهزادنا اب n یهبترم زا ?فارگ g رگ ا :شش-شودرا سدح .تسا فارگر?ز ک? ناونع هب t ?لا? k یور ن?نچمه و g فارگ یور ??اهطرش نتشاذگ اب نآ زا ?صاخ ت?اح ?لو ،تسا زاب زونه سدح ن?ا .تسا هد?سر تابثا هب t تخرد .تسا ر?ز دروم ود هلمج زا فلتخم ت?اح رد شش-شودرا سدح ?سررب ،هماننا?اپ ن?ا رد ام فده .تسا ? رثک ادح رطق یاراد t تخرد • .تسا k?,s فارگر?ز دقاف g فارگ •

و g? فارگ ود یارب .تساهفارگ یزمر دادعا هعلاطم ،فارگ ه?رظن رد مهم تاعوضوم زا ?ک? لماش g فارگ ،n یهبترم زا g فارگ ره یارب هک تسا یاn ن?رتکچوک ،r(g?, g?) یزمر ددع g? ی هبترم زا لماک فارگ ار kn و m لوط هب یرود ار cm .دشاب g? لماش ،g لمکم ،g¯ ا? و g? فارگ .تسا r(cm , kn ) یزمر ددع یهعلاطم همان نا?اپ ن?ا ?لصا یهلأسم ،م?ر?گ?م رظن رد n .r(cm , kn ) ? (m ? ?)(n ? ?) + ? ن?اربانب تسا kn دقاف g¯ و cm رود دقاف g = (n ? ?)km?? ق?قد یهبساحم درومرد .تسا r(cm, kn) یارب ?اب نارک نتفا? رظن دروم هلأسم رتلکشم شخب r(cm , kn ) = (m ? ?)(n ? ?) + ? سدح 1978 لاس رد شناراکمه و شودرا r(cm , kn ) رادقم تباث ? ? n ? ? یارب سدح ن?ا نونک ات .دندرک حرطم (m, n) = (?, ?) و m ? n ? ? یارب ار .تسا زاب زونه هلأسم ن?ا m و n ر?داقم رگ?د یارب ?لو ،هدش هو?عهب .تسا ? ? n ? ? یارب شناراکمهو شودرا سدح ?تسرد یهعلاطم هماننا?اپ ن?ا فده ن?نچمه .تسا هتفرگ رارق هعلاطم دروم درف یاهm یارب r(cm , kn) دروم رد هدمآ تسد هب یهج?تن

منظور از پوشش یک گراف ساده یک خانواده از زیرگراف های یک گراف است به طوری که هر یال گراف حداقل توسط یکی از زیرگراف ها پوشانده شوند. اگر این خانواده خانواده زیرگراف های دوبخشی کامل باشد این پوشش، پوشش دوخوشه ای نامیده می شود. اگر زیر گراف های پوشش دهنده یال مجزا باشند یعنی هر یال دقیقاً توسط یکی از زیر گراف ها پوشانده شود آن گاه پوشش یک افراز دوخوشه ای نامیده می شود. یکی از مفاهیم مورد توجه در نظریه گراف پوشش یالی یک گراف با خانواده های مختلفی از گراف ها مانند گراف های کامل، گراف های کامل چندبخشیف گراف های کامل دوبخشی، مسیرها، دورها و انواع مختلف دیگری از گراف ها است. کم ترین تعداد زیرگراف کامل دوبخشی برای پوشش یال های یک گراف عدد پوشش دوخوشه ای نام دارد در این پایان نامه به مطالعه پوشش دوخوشه ای گراف ها پرداخته شده است.

فرض کنید ‎$c$‎‏ یک ‎$k$-‎رنگ آمیزی معتبر از گراف همبند ‎$g$‎‏ با کلاس های رنگی ‏ ‎$v_1$‎‏‏، ‎$v_2$‎‏‏، ‎$ldots$‎‏‏، ‎$v_k$‎ باشد.‏ ‎$pi:=(v_1,v_2,...,v_k)$‎ را افراز مرتب حاصل از این رنگ آمیزی در نظر بگیرید.‎ کد رنگی رأس ‎$vin v(g)$‎‏‏ یک ‎$k$‎‏-تائی مرتب است که به صورت زیر تعریف می شود vspace*{3mm}‎‎ $$‎c_{{}_pi}(v)‎:=(d(v,v_1),d(v,v_2),ldots,d(v,v_k)).$$‎‏ اگر رئوس متمایز ‎$g$‎‏ کدهای رنگی متمایز داشته باشند‏، آن گاه ‎$c$‎‏ یک ‎‎‏ ‎$k‎$‎‎-رنگ آمیزی مکان یاب‎‏ ‎ نامیده می شود. کوچک ترین عدد صحیح ‎$k$‎‏ با این خاصیت را ‏ عدد رنگی مکان یاب‏‏ ‎‎$‎g‎$‎، ‎‎‎$‎cchi_{{}_l}(g)‎$‎‎‏‏،‎‎‎‎ می نامند. در این رساله ‎‏ عدد رنگی مکان یاب ‏ را برای گراف های کنسر‏، حاصل ضرب دکارتی‏ گراف ها، و الحاق گراف ها مورد مطالعه و بررسی ‏ قرار می دهیم. ‎ ابتدا‏ ثابت می کنیم که برای هر ‎‎$‎ngeq5‎$‎ مقدار دقیق عدد رنگی مکان یاب ‎$kg(n,2)$‎ برابر ‎$n-1$‎ است. ‏ در حالت ‎$kgeq 3$‎‏ نشان می دهیم که اگر ‎$ngeq k^2$‎‏، آن گاه عدد رنگی مکان یاب ‎‎$‎kg(n,k)‎$‎‏ حداکثر ‎$n-1$‎ است. ‎‏‏سپس‏، با ارائه کران هایی برای عدد رنگی مکان یاب گراف های فرد‏، نشان می دهیم که فاصله ی بین عدد رنگی و عدد رنگی مکان یاب گراف های فرد را به هر میزان دل خواهی می توان بزرگ کرد. هم چنین‏، عدد رنگی مکان یاب حاصل ضرب دکارتی دو مسیر‏ و حاصل ضرب دکارتی یک مسیر با یک گراف کامل را به طور دقیق محاسبه می کنیم. عدد رنگی مکان یاب حاصل ضرب دکارتی دو گراف کامل را نیز در برخی از حالت ها مشخص‏، و برای بقیه ی حالت ها حدس هایی ارائه می کنیم. برای بررسی عدد رنگی مکان یاب الحاق گراف ها‏، یک پارامتر جدید تعریف می کنیم که ارتباط بسیار نزدیکی با عدد رنگی مکان یاب دارد. سپس‏، با استفاده از این پارامتر جدید‏ مقدار دقیق عدد رنگی مکان یاب الحاق مسیرها‏، دورها‏، و گراف های چندبخشی کامل را به دست می آوریم.‏

به کمترین تعداد رنگ های مورد نیاز برای رنگ آمیزی رئوس ‎h، عدد رنگی‎ گفته می شود‏‏ به طوری که هیچ یال ‎‎‎‎e_i‎‏ از h‎‏ که ‎‎‎‎|e_i|‎>1‎‎‏ ‏وجود نداشته باشد که همه ی رئوس آن دارای رنگ یکسان باشند.‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ هم چنین‏‎‎‏ کمترین تعداد رنگ های مورد نیاز برای رنگ آمیزی یال های ‎‎‎h‎‎‏‏، به طوری که هر کلاس رنگی به شکل یک تطابق باشد‏ را ‎‏اندیس رنگی (عدد رنگی یالی) h‎ گوییم. به عبارت دیگر‏، در رنگ آمیزی یالی ابرگراف ها هیچ دو یال متقاطع رنگ یکسان ندارند. ‏از آن جا که محاسبه ی دقیق اندیس رنگی ابرگراف ها ساده نمی باشد‏، بنابراین در این پایان نامه سعی می کنیم آن را با کران مشخص کنیم. برای این کار قضیه ی معروف شانون را بیان و تعمیم آن را برای حالت های مختلفی از یک ابرگراف معرفی می کنیم تا بتوانیم از نتایج مربوط به آن کران های مختلفی را برای انواع ابرگراف ها به دست آوریم‏، حتی در بسیاری از موارد برای رنگ آمیزی از الگوریتم حریصانه استفاده می کنیم تا بتوانیم به یک کران خوب دست پیدا کنیم. برای انواع خاص ابرگراف های یکنواخت‏، کران الون و کیم را که به صورت حدس است ارائه می کنیم و سپس آن را برای ابرگراف های یکنواخت که متقاطع نیز باشند‏، ثابت می کنیم. در نهایت از این حقیقت که گراف ها حالت خاصی از ابرگراف ها هستند‏، استفاده کرده و قضیه ی ویزینگ که معروف ترین قضیه در مورد اندیس رنگی گراف هاست را بیان می کنیم‏، سپس با به کارگیری قضایای مربوط به اندیس رنگی برای گراف ها‏ و هم چنین دوگانگی گراف های چندگانه و گراف های یالی‏، یک کران بالا را برای گراف های چندگانه ارائه می دهیم. ‏هم چنین از تعمیم قضیه ی ویزینگ در حالت های مختلف یک ابرگراف استفاده های بسیاری می شود. برخی از مسائل هنوز باز می باشند.

ابرگراف کامل ‎‎‏‎‎‎k-یکنواخت ‎k_n^k متشکل از مجموعه ای n رأسی است که شامل تمامیk-تایی ها ‏است. کوچکترین عدد صحیح مثبت n که در هر رنگ آمیزی دلخواه ازk -تایی های مجموعه ی [n]، با رنگ های قرمز و آبی، بتوان کپی k_s^k قرمز یا k_n^k آبی در آن یافت‏، عدد رمزی r_k (s,n) می نامیم. محاسبه ی اعداد رمزی از پیچیدگی بالایی برخوردار است‏، از همین رو روند بهبود کران های اعداد رمزی و نتایج حاصل از آن ها همواره مورد توجه بوده است . اردوش و هاجنال در لمی با عنوان ‎بالا-پله ای‎‏ نشان دادند که می توان از کران پایین اعداد رمزی ابرگراف های کاملk-یکنواخت، کران پایینی برای عدد رمزی ابرگراف های ‏کامل(k+1)-یکنواخت به دست آورد. متاسفانه این روش تنها برای k?3 کارآمد است. به همین دلیل کوچک کردن شکاف بزرگی که میان کران بالا و پایین اعداد رمزی ابرگراف‎ها وجود دارد، با یافتن کران خوبی برای ابرگرف های 3-یکنواخت آسان تر می شود. اردوش و رادو در سال 1952 با استفاده از یک الگوریتم حریصانه کران بالایی برای r_3 (s,n) به دست آوردند. ‎‏روش مبتکرانه ی آن ها مورد توجه سوداکو و همکارانش واقع شد. سوداکو و همکارانش در سال 2009 این کران بالا را با ارائه ی دو راه حل بهبود بخشیدند. یکی از آن راه حل ها استفاده از بازی "بنّا و نقاش "بود‏، آن ها با استراتژی بردی که نشان دادند در این بازی وجود دارد، توانستند کران بالای بهتری برای عدد رمزی r_3 (s,n) ارائه دهند و چندی بعد در سال 2011 با روشی مشابه روش اردوش-رادو‏، یک کران بالا برای ‏عدد رمزی ابرگراف کامل 3-یکنواختd -بخشی‏ k_d^3 (n) ارائه دادند. با ارائه و اثبات این کران بالا به دو سوال باز از اردوش و هاجنال که در سال 1989 مطرح شده بود پاسخ داده شد.

تعداد‎ زیادی از مسائل در نظریه رمزی و نظریه اکسترمالی گراف با‏ مسأله نشاندن یک گراف تنک در یک گراف چگال در ارتباطند. برای به دست آوردن چنین نشاندنی‏‏، می توان زیرمجموعه بزرگ ‎‎‎‎u‎‎‏ از رأس ها را در گراف چگال مورد نظر به دست آورد به طوری که تمامی (و یا تقریباً تمامی) زیرمجموعه های ‎u‎‎‎‎ دارای تعداد زیادی همسایه مشترک باشند. سپس می توان رأس های گراف تنک مورد نظر را یکی یکی به جای رأس های ‎‎‎‎u‎‎‏ نشاند و گراف تنک را در گراف چگال پیدا کرد. ‏با استفاده از روش های احتمالاتی ‎می توان ابتدا در گراف چگال ‎‎‎‎g‎‎ زیرمجموعه کوچک ‎‎‎‎t‎‏ از رأس ها را به صورت تصادفی و یکنواخت انتخاب کرد. سپس مجموعه ‎u‎‎‏ را مجموعه همسایه های مشترک ‎‎‎‎t‎‎‏ در نظر گرفت. اگر ‎g‎‎‏ دارای زیرمجموعه ای با تعداد همسایه مشترک کم باشد‏‏، غیرمحتمل است که تمام اعضا این مجموعه در مجموعه ‎t‎‎‏ انتخاب شود. درنتیجه انتظار نمی رود که ‎‎‎‎u‎‎‏ دارای زیرمجموعه ای با تعداد همسایه های کم باشد. لذا زیرمجموعه مورد نظر ‎‎‎‎u‎‎‏ برای ‎‎‎‎g‎‎‏ به دست می آید.‎ این روش‏‏، توسط محققان زیادی مورد استفاده قرار گرفته است. در سال ???? ‎گاورز ‏از این روش در اثبات قضیه ‎زمردی ‏برای تصاعد حسابی به طول ? استفاده کرده است. پس از آن ‎کاستاچکا ‏و ‎رادل‎ ‏در سال ???? از آن در نظریه رمزی استفاده کرده اند. سپس سوداکو ‏در سال ???? کاربردی از این روش را در تعیین اعداد رمزی-توران بیان کرده ا‏ست. در ده سال گذشته‏‏، کاربرد های موثری از روش مذکور در نظریه اکسترمالی گراف ها‏‏، نظریه رمزی‏‏، ترکیبیات جمعی و هندسه ترکیبیاتی بیان شده است. مقاله های فراوانی از آن استفاده کرده اند و به نظر می رسد‏‏، زمان آن رسیده است که به عنوان روشی ‏اصولی ارایه شود. در سال ???? سوداکو و فاکس‎‎‏‎‏ این روش را در مقاله ای به طور مفصل توضیح و شرح داده اند و آن را روش انتخاب تصادفی وابسته نامیدند و کاربرد هایی از این روش در زمینه های مختلف را ارایه داده اند. در این پایان نامه به بررسی و شرح مفصل این پایان نامه می پردازیم.

این پایان نامه از دو قسمت تشکیل شده است. در قسمت اول به بررسی مفهوم جریان های همه جا ناصفر پرداخته شده است یک k- جریان همه جا ناصفر روی گراف g عبارتست از یک جهت دهی به گراف g و تخصیص اعداد صحیح 1+،...،(1-k)+ به یال های آن به طوری که درهر راس g مجموع اعداد وابسته به بال های ورودی برابر با مجموع اعداد وابسته به یال های خروجی می باشد. این مفهوم با اثبات قضیه ای توسط تات در سال 1954 در نظریه ی گراف مطرح شد. ان در این قضیه نشان داد که هر گراف مسطح k- وجه رنگپذیر است اگر و تنها اگر یک k- جریان همه جا ناصفر داشته باشد. پس از آن چاگر ودیگران تعمیمی از مفهوم جریان های همه جا با صفر را تحت عنوان همبندی گروهی گراف ها معرفی کردند. در این قسمت ابتدا مهمترین نتایج به دست آمده در اتباط با جریان های همه جا ناصفر را بررسی می کنیم و سپس به مطالعه ی همبندی گروهی گراف ها می پردازیم. در قسمت دوم مطالعه ی گراف ها با حداکثر سه مقدار ویژه ی متمایز پرداخته شده است. مطالعه ی گراف ها با مقادیر ویژه ی متمایز کم اولین بار توسط دوب مورد توجه قرار گرفت. دو خانواده ی شناخته شده از این نوع گراف ها گراف های قویا منظم و دو بخشی های کامل هستند. رده بندی گراف ای غیر منظم و غیر دو بخشی کامل با سه مقدار ویژه ی متمایز اولین بار توسط همرز مطرح شد. در این پایان نامه ابتدا نتایج موجود درمورد گراف ها با سه مقدار ویژهی متمایز را بیان کرده و سپس جریان گراف های با بزرگترین مقدار ویژهی کمتر از 8 را رده بندی می کنیم.

تابع گاما در سال ‎????‎ توسط آهارونی، برگر و مشولام معرفی شد. در حالت کلی محاسبه تابع گاما برای گراف های مختلف کار ساده ای نیست. کران های بالا و پایین برای این پارامتر داده شده است که با استفاده از آن ها مقدار دقیق تابع گاما برای درخت ها، مسیرها و دورها محاسبه شده است. هم چنین این تابع یک کران پایین برای همبندی همولوژیکی مجتمع مستقل گراف است و بنابراین مقداری برای مطالعه مسأله تطابق از طریق روش های توپولوژیکی است. این تابع ماهیتی مشابه با تابع تتا دارد. در این مفهوم با استفاده از بردارها مشابه با روش تابع تتای لواز که عدد استقلال گراف را نمایش می دهد عدد احاطه گر گراف به طور برداری نمایش داده می شود. تابع تتا که به عدد لواز معروف است در سال ‎1979‎ توسط لواز‎ معرفی شد که در تعریف این تابع از نمایش برداری متعامد استفاده شده است. نکته مهم و قابل توجه در مورد تابع تتا قابل محاسبه بودن آن در زمان چندجمله ای است. هم چنین از آن جا که این تابع بین دو پارامتر عدد رنگی گراف ها و عدد خوشه ای قرار می گیرد و محاسبه این دو پارامتر ‎$ m{-np}$‎ کامل است، برای گراف هایی مانند گراف های بی نقص که در آن ها این دو پارامتر با هم برابر است می توان گفت از طریق محاسبه تابع تتا این دو پارامتر در زمان چندجمله ای به دست می آید‎. هدف این پایان نامه آشنایی و مطالعه تابع گاما و کلیه نتایج به دست آمده در این رابطه است. بدین منظور ابتدا به تعریف دقیق تابع گاما پرداخته می شود. سپس برخی از پارامترهای مختلف احاطه گری که کران های خوبی برای تابع گاما به دست می دهند مورد مطالعه قرار می گیرند. در ادامه نوع دیگری از تابع گاما تحت عنوان تابع گامای ضعیف معرفی شده و مطالب گفته شده برای تابع گاما برای آن نیز بررسی می شود. در نهایت بررسی هایی بر روی بعد نمایش برداری و ارتباط آن با تابع گاما صورت می گیرد. در راستای شناسایی رفتار تابع گاما عمل های مختلفی نظیر جمع و ضرب گراف ها و نیز تکثیر رأس ها در گراف در نظر گرفته می شود و رفتار تابع گاما و تابع گامای ضعیف روی این اعمال مورد مطالعه قرار می گیرد. هم چنین نشان داده می شود حدس ویزینگ که در ارتباط با عدد احاطه گر است برای تابع گامای ضعیف برقرار است. کاربردهای ترکیبیاتی تابع گاما از اهمیت خاصی برخوردارند که از جمله آن ها می توان به کاربردی که این تابع در اثبات تعمیم قضیه هال برای ابرگراف ها دارد و نیز اثبات حالت کسری حدس رایزر اشاره کرد.

گراف متناظر رده های مزدوجی گروه متناهی g را معرفی می کنیم که به صورت زیر تعریف می شود رأسهای این گراف عبارت اند از رده های مزدوجی غیرمرکزی گروه g و دو رأس c و d توسط یالی به هم وصل می شوند.

گراف مقسوم علیه صفر حلقه ی r که با t(r نمایش داده می شود، گرافی است با مجموعه رئوس که دو رأس a و b در ان مجاورند اگر ab=0. در این پایان نامه، ابتدا با بررسی مسطح بودن یا نبودن گراف مقسوم علیه صفر حلقه ها تعویض پذیر و یک دار، تمام حلقه هایی که برای آن ها t(r مسطح است،؛ مشخص خواهد شد. سپس گرافی را معرفی خواهیم کرد که معتقدیم بهتر گراف مقسوم علیه صفر، خواص حلقه را تعیین می کند. در این گراف که آْن گراف ایده آل پوچ کن حلقه ی r می نامیم و با ag(r نمایش می دهیم، رئوس گراف، ایده آل های غیر صفر جلقه ی r هستند که دارای پوچ ساز غیر صفر باشند. دو رأس i و j در ag(r متصل اند هر گاه (0)= ij مطالعه ی خواص این گراف و نتایج جالبی که به دست آمده است. صحت این ادعارا ثابت خواهد کرد.

رنگ آمیزی گراف یکی از مفاهیم عمیق و کاربردی در نظریه گراف می باشد، که طی سال های اخیر شاهد پیشرفت های بسیاری در آن بوده ایم. پیدایش مفهوم رنگ آمیزی رأسی و معرفی آن عرصه را برای پیشرفت انواع دیگر رنگ آمیزی مانند رنگ آمیزی یالی هموار نمود. یکی از انواع رنگ آمیزی گراف، رنگ آمیزی تمام نقره ای است. رنگ آمیزی تمام نقره ای گراف g یک k-رنگ آمیزی رأسی از g است، بطوریکه برای همه ی رئوس v عضوی از v(g) ، هر رنگ دقیقا یک مرتبه در همسایه های بسته v پدیدار شود. گرافی که دارای رنگ آمیزی تمام نقره ای باشد، گراف تمام نقره ای می گویند. در این پایان نامه سعی کرده ایم تا با بیان تاریخچه مختصر از رنگ آمیزی رأسی، یالی، به بررسی نتایج بدست آمده در گراف های تمام نقرهای و تمام نقره ای مکعبی بپردازیم. همچنین ماتریس و مکعب نقره ای را معرفی و خواص آن ها را بررسی می کنیم.

فرض کنید ‎$g$‎ و ‎$h$‎ ابرگراف های ‎$l$-‎یکنواخت هستند. عدد رمزی ‎$r(g,h)$‎ عبارت است از کوچکترین عدد صحیح و مثبت ‎$n$‎ به طوری که در هر دو رنگ آمیزی از یال های ابرگراف کامل ‎$k^l_n$‎ با دو رنگ قرمز و آبی، یا زیرابرگراف القایی قرمز رنگ شامل ‎$g$‎ یا زیرابرگراف القایی آبی رنگ شامل ‎$h$‎ است. ظهور قضیه رمزی در نظریه گراف برای اولین بار در مقاله اردوش و سکرش در سال ‎????‎ بوده است. در ابتدا پیدا کردن کران های تقریبی برای انواع گوناگونی از اعداد رمزی گراف های کامل مورد توجه بوده، اما بعدها تعمیمی از اعداد رمزی کلاسیک، به عنوان نمونه اعداد رمزی گراف ها، پیشرفت های قابل ملاحظه ای در نظریه رمزی به دست آورده است. از آنجا که تعیین مقدار دقیق اعداد رمزی ابرگراف ها بسیار دشوارتر از گراف ها است، نتایج به دست آمده در این زمینه محدود می باشند. یکی از مسایل مورد توجه پژوهشگران در این زمینه تعیین مقدار دقیق یا مجانبی اعداد رمزی کلاس های خاصی از ابرگراف های تنک شامل دورها و مسیرهای گسترده است. در این زمینه، هکسل و همکارانش در سال ‎$2006$‎ نشان دادند که عدد رمزی دورهای گسترده ‎$3$-‎یکنواخت ‎$n$‎ یالی به طور مجانبی ‎$5n/2$‎ است. جیارفاش و همکارانش در سال ‎$2008$‎ این نتیجه را به دورهای گسترده ‎$k$-‎یکنواخت تعمیم دادند. هم چنین جیارفاش و رئیسی در سال ‎$2012$‎ مقدار دقیق اعداد رمزی دورها و مسیرهای گسترده ‎$k$-‎یکنواخت با حداکثر ‎$4$‎ یال را تعیین کردند. در این رساله، به مطالعه مقدار دقیق اعداد رمزی دورها و مسیرهای گسترده ‎$k$-‎یکنواخت، در حالت کلی، خواهیم پرداخت. در میان سایر نتایج‏، مقدار دقیق اعداد رمزی دورها و مسیرهای ‎$3$-‎یکنواخت را تعیین می کنیم. هم چنین نتایجی در مورد اعداد رمزی دورها و مسیرهای گسترده ‎$k$-‎یکنواخت، به ازای ‎$k=4,5$‎ و ‎$kgeq 8$‎، ارایه می کنیم.

فرض کنید g گرافی n رأسی باشد. مقادیر ویژ? لاپلاسین بدون علامت و لاپلاسین g که به صورت نزولی مرتب شده اند را به ترتیب با q_1 (g)???q_n (g)?0 و ?_1 (g)????_(n-1) (g)??_n (g)=0, نمایش می¬دهیم. حدسی در مورد مقادیر ویژ? لاپلاسین گراف¬ها بیان می کند که ?_1 (g)-?_(n-1) (g)?n-1 یا به طورمعادل ?_1 (g)+?_1 (¯g)?2n-1 که در آن ¯g گراف مکمل g است. در این رساله، این حدس را برای گراف¬های دوبخشی ثابت می¬کنیم. به¬علاوه برای هر گراف دوبخشی g نشان می¬دهیم ?_1 (g)?_1 (¯g)?n(n-1)) . توجه کنید که برای گراف¬های دوبخشی مقادیر ویژ? لاپلاسین و مقادیر ویژ? لاپلاسین بدون علامت یکسان هستند. آچیچه و هنسن حدس زده¬اند که q_1 (g)+q_1 (¯g)?3n-4 و) . q_1 (g)q_1 (¯g)?2n(n-2) حدس اول را ثابت و حدس دوم را با ارائه خانواده¬ای از گراف¬های hn که برای آن¬ها q_1 (h_n)q_1 (¯(h_n )) از مرتب? 2.15n^2+o(n) است، رد می¬کنیم. اگر تعداد یال¬های g را با e(g) نشان دهیم و s_k (g)=q_1 (g)+?+q_k (g) ، حدس می¬زنیم که s_k (g)?e(g)+((k+1)¦2) برای k=1,…,n. این حدس را به¬ازای k=2 برای هر گراف n رأسی g و به¬ازای هر k برای تمامی گراف¬های منتظم ثابت می¬کنیم. حدس فوق مشابه حدسی از براور درمورد مقادیر ویژ? لاپلاسین است. در میان سایر نتایج، دو حدس دیگر در مورد مجموع توان¬های مقادیر ویژ? لاپلاسین بدون علامت گراف¬ها نیز رد شده-اند.

یکی از پارامترهای مهم در نظریه گراف هم از نظر کاربردی و هم از نظر جذابیت های تحقیقاتی پارامتر عدد احاطه گر یک گراف است. زیر مجموعه d از مجموعه راس های گراف v,e=g یک مجموعه احاطه گر برای g است هر گاه هر راس از v-d با راسی در d مجاور باشد تاکنون مقالات فراوان و کتابهایی در مورد این مفهوم و تعمیم هایی از آن نوشته شده است. از جمله تعمیم های این پارامتر مفهوم مجموعه احاطه گر مهارکننده کلی در گراف ها است که در سال 2005 توسط دی خیانگ ما و دیگران معرفی شده است. زیر مجموعه d از مجموعه راس های گراف g=(v,e را یک مجموعه احاطه گر مهارکننده کلی برای g هرگاه d یک مجموعه احاطه گر برای g باشد و زیر گراف های القایی d و v-d راس تنها نداشته باشند. اندازه مینیمم مجموعه احاطه گر مهارکننده کلی برای g را عدد احاطه گر مهارکننده کلی گراف g گوییم و با g نمایش می دهیم . در این پایان نامه ابتدا نتایج تحقیقاتی موجود راجع به این مفهوم مورد مطالعه قرار گرفته قرار گرفته و در ادامه به تعریف چند مفهوم جدید در این رابطه پرداخته شده است. هم چنین با کمک این مفاهیم کران هایی جدید برای عدد احاطه گر مهارکننده کلی گراف ها همراه با نتایجی جدید در این رابطه به دست آمده است

تجزیه اعداد، یکی از بیشترین مسائل مورد مطالعه در نظریه الگوریتمی اعداد و رمزنگاری می باشد. روش ‎‏‎تجزیه اعداد با استفاده از خم های بیضوی‎ ‎‎(ecm)‎‎، که به روش لنسترا‎ ‎‎معروف است، در حال حاضر، یکی از بهترین روش ها برای تجزی? اعداد است. شکل های مختلفی از خم های بیضوی مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته اند، که می توان به خم های سویاما‏، خم های مونت گومری‏، خم های ادواردز‎ و خانواده های توسیع یافت? خم های ادواردز اشاره کرد، که مورد اخیر از جدید ترین و بهترین نوع خم های بیضوی می باشند. ‏‎روش ‎ecm ‏، ‎نقش ‎مهمی ‎را ‎برای ‎تجزیه ‎اعداد ‎تصادفی ‎ایفا ‎می کند ‎که ‎مورد ‎علاقه ‎دانشمندان ‎نظریه ‎اعداد ‎است. ‎همچنین ‎این ‎روش ‎کاربرد ‎زیادی ‎برای ‎تجزیه ‎اعداد ‎از ‎اندازه ‎متوسط و ‎بزرگ‎ دارد و از این لحاظ مورد علاقه دانشمندان رمزنگاری است. ‎بهترین رکورد ثبت شده روش ecm ‎‏، کشف عامل 274 بیتی از عدد 947 بیتی 7^337+1 ‎است که در سال 2013 به دست آمده است. اطلاعات بیشتر درباره تمام رکوردهای ثبت شده روش تجزیه ‎ecm ‎در ‎سایت‎ http://www.loria.fr/~zimmerma/records/ecmnet.html قراردارد. ‏بسیاری از تحلیل ها و بررسی های صورت گرفته برای پیشرفت روش‎ecm ‎‏، استفاده از نقاط و گروه های ‎q‎‏-تاب دار خم های بیضوی می باشد که ‎‎‏در این روش‏ مورد استفاده قرار می گیرند. در فصل پایانی این کار‏، به بررسی کامل روش ‎ecm ‎‏ دو مرحله ای پرداخته شده است. همچنین پارامتری سازی هایی که توسط مونت گومری و اتکین و موراین‏ برای خم های ادواردز برای بررسی گروه های q -تاب دار یک ریخت با z_12‎ و z_2 × z_8 معرفی شده اند‏، بیان شده است. پیاده سازی هایی برای روش ‎ecm ‎انجام ‎گرفته است‎‏، که می توان به نرم افزار gmp-ecm ‎اشاره کرد. ‎در ‎این ‎پایان نامه‏، ‎پیاده سازی‎‎ ‎ecm ‏، ‎با ‎استفاده از ‎کتابخانه ‎محاسباتی‎ ‎ mpf_q (‎mpfq‎) و‎ ‎با ‎استفاده از ‎خم های ‎ادواردز‎‏، تحت عنوان نرم افزار ‎eecm-mpfq ‎بیان شده است.‎ با استفاده از پارامتری سازی های گفته شده‏، درصد موفقیت پیاده سازی روش ‎ecm ‎‏ با استفاده از نرم افزار ‎eecm-mpfq‎‎ ‏‎‎مورد‎ بررسی قرار گرفته است. ‎البته‎ لنسترا در مقاله خود دلایل و احتمالات موفقیت روش جدید خود را بیان و اثبات نموده است و بررسی هایی که پس از لنسترا توسط سایرین انجام گرفته است‏، برای بهبود روش ‎ecm ‎‏‏، افزایش کارایی‏، پیداکردن بهترین پارامترها و خم ها برای این روش می باشد.‎

فرض کنید d(v,b,k) کلاس همه طرح های بلوکی همبند با v‏ تیمار و b‎ ‎‏بلوک‎ و اندازه بلوکی ثابت 2 باشد، اگر رابطه، ‎ ‎ برقرار باشد، یعنی تعداد کل مشاهدات برابر با رابطه بالا باشد ، طرح های بلوکی همبند کمینه نامیده می شود، چون برآورد اثرات تیماری و بلوکی، دارای ‎n-1‎‏ درجه آزادی است، بنابراین هیچ درجه آزادی برای خطا باقی نمی ماند بنابراین این کلاس، طرح های بلوکی اشباع شده نیز نامیده می شود. در این پایان نامه ویژگی های طرح های بلوکی اشباع شده و شناسایی طرح های بهینگی (شامل بهینگی a‏ و ‎mv‎)‎‎‏ و همچنین به بررسی مسائل e بهینگی و فراهم کردن شرط کافی در طرح های بهینه و تعیین آن ها در مواردی خاص زمانی که مشاهدات همبسته اند پرداخته می شود. همه ی طرح های بلوکی اشباع شده نشان داده می شوند ‏‎d‎- برابرند، بدون اینکه ساختار همبستگی آنها در نظر گرفته شود.