اعداد رمزی دورها و مسیرهای گسترده در ابرگراف های یکنواخت

فرض کنید ‎$g$‎ و ‎$h$‎ ابرگراف های ‎$l$-‎یکنواخت هستند. عدد رمزی ‎$r(g,h)$‎ عبارت است از کوچکترین عدد صحیح و مثبت ‎$n$‎ به طوری که در هر دو رنگ آمیزی از یال های ابرگراف کامل ‎$k^l_n$‎ با دو رنگ قرمز و آبی، یا زیرابرگراف القایی قرمز رنگ شامل ‎$g$‎ یا زیرابرگراف القایی آبی رنگ شامل ‎$h$‎ است. ظهور قضیه رمزی در نظریه گراف برای اولین بار در مقاله اردوش و سکرش در سال ‎????‎ بوده است. در ابتدا پیدا کردن کران های تقریبی برای انواع گوناگونی از اعداد رمزی گراف های کامل مورد توجه بوده، اما بعدها تعمیمی از اعداد رمزی کلاسیک، به عنوان نمونه اعداد رمزی گراف ها، پیشرفت های قابل ملاحظه ای در نظریه رمزی به دست آورده است. از آنجا که تعیین مقدار دقیق اعداد رمزی ابرگراف ها بسیار دشوارتر از گراف ها است، نتایج به دست آمده در این زمینه محدود می باشند. یکی از مسایل مورد توجه پژوهشگران در این زمینه تعیین مقدار دقیق یا مجانبی اعداد رمزی کلاس های خاصی از ابرگراف های تنک شامل دورها و مسیرهای گسترده است. در این زمینه، هکسل و همکارانش در سال ‎$2006$‎ نشان دادند که عدد رمزی دورهای گسترده ‎$3$-‎یکنواخت ‎$n$‎ یالی به طور مجانبی ‎$5n/2$‎ است. جیارفاش و همکارانش در سال ‎$2008$‎ این نتیجه را به دورهای گسترده ‎$k$-‎یکنواخت تعمیم دادند. هم چنین جیارفاش و رئیسی در سال ‎$2012$‎ مقدار دقیق اعداد رمزی دورها و مسیرهای گسترده ‎$k$-‎یکنواخت با حداکثر ‎$4$‎ یال را تعیین کردند. در این رساله، به مطالعه مقدار دقیق اعداد رمزی دورها و مسیرهای گسترده ‎$k$-‎یکنواخت، در حالت کلی، خواهیم پرداخت. در میان سایر نتایج‏، مقدار دقیق اعداد رمزی دورها و مسیرهای ‎$3$-‎یکنواخت را تعیین می کنیم. هم چنین نتایجی در مورد اعداد رمزی دورها و مسیرهای گسترده ‎$k$-‎یکنواخت، به ازای ‎$k=4,5$‎ و ‎$kgeq 8$‎، ارایه می کنیم.