کاربرد توابع سینک در حل مسائل مقدار مرزی غیرخطی در مهندسی و علوم کاربردی

معادلات دیفرانسیل منفرد، کاربردهای قابل توجهی در زمینه های مختلف علوم و مهندسی یافته اند. به واسطه ی حضور تکینگی، این معادلات دیفرانسیل مشکلاتی را در محاسبه ی جواب هایشان پدید می آورند. روش های تقریبی به مانند قواعد انتگرال گیری عددی، تفاضلات متناهی و عناصر متناهی معمولاً از چندجمله ای ها به عنوان توابع پایه در تقریب جواب بهره می برند که روی ناحیه ای که جواب هموار است، عموماً از دقت قابل قبولی برخوردار هستند. با این وجود، تکینگی حوالی نقاط مرزی ناحیه ی جواب را تحمل نمی نمایند و فرآیند تولید جواب معمولاً به شکست می انجامد. در مقابل، روی بازه هایی که در یکی از دو انتهایشان تکینگی بروز می کند، جواب های عددی که با استفاده از پایه های سینک حاصل می گردند بسیار بهتر از آنهایی است که به کمک چندجمله ای ها به دست آمده اند. در این رساله، به محاسبه ی شاخص فعالیت ‎$(eta)$‎ در یک بیوکاتالیزور اهتمام می ورزیم. شاخص فعالیت نسبتی است که شامل مشتق جواب معادله ی حالت پایدار واکنش نفوذ در یک شبکه کاتالیزوری است و محاسبه تقریبی مطلوب از آن در نزد مهندسین شیمی از اهمیت بالایی برخوردار است. در این راستا، نشان خواهیم داد که روش های مبتنی بر توابع سینک جواب های بهتری از معادله دیفرانسیل مورد علاقه خواهند داد که یک بعدی، منفرد، غیرخطی و وابسته به یک زوج از پارامترهای فیزیکی است. محققین قبلی از روی اجبار با اعمال بعضی محدودیت ها بر روی پارامترهای مسأله، طرح های عددی خود را در تقریب جواب مسأله توسعه داده اند. مشکل دیگر اینست که محاسبه ی شاخص فعالیت مستلزم برآوردی دقیق از مشتق جواب معادله دیفرانسیل ‏است که خود چالش برانگیز است. روش سینک که توسط مشی گالرکین، فرمول بندی می شود و شامل درونیابی توسط یک سری از توابع‏ِ مشهور به سینک‏ است، به خوبی خود را با شرایط مساله سازگار نموده و تقریبی مورد قبول از شاخص فعالیت ارائه می کند. هم چنین با استفاده از تبدیلات نمایی مضاعف ‎(de)‎ و توسط بعضی پارامترهای دخیل در روش هم محلی سینک، جواب های عددی برای یک رده خاص از دستگاه معادلات دیفرانسیل غیرخطی مرتبه دوم با شرایط مرزی دو نقطه ای را که قبلاً توسط روش هم محلی سینک مبتنی بر پایه های نمایی یگانه ‎(se)‎ یا روش هسته ی بازتولید فضای هیلبرت ‎(mrkhs)‎ مورد مطالعه قرارگرفته اند، محاسبه ‏کرده و بهبود می بخشد. علاوه بر این، یک روش هم محلی سینک مبتنی بر پایه های یگانه (استاندارد) با تعاملی خاص با شرایط مرزی اختیار می شود تا جواب معادله ی دیفرانسیل غیرخطی مرتبه ی چهارم با شرایط مرزی دونقطه ای موسوم به "فشار جریان بین دو صفحه ی نامتناهی که به آرامی به هم نزدیک می شوند‎``‎ را به خوبی برآورد نماید.