( این پایان نامه به علت اینکه با نرم افزار فارسی تک نوشته شده فایل word ندارد و فقط فایل چکیده word آن قرار داده شده است ) در این رساله، مسئله هدایت امواج الکترومغناطیس را روی یک عایق مسطح نواری نامحدود تحت شرایط خاصی مدلسازی ریاضی می کنیم. مدل مذکور با استفاده از ایده مقطع متناهی به یک مسئله مقدار ویژه خوشتعریف روی r تبدیل می شود که عملگر متناظر با این مسئله مقدار ویژه، کراندار و به غیر از حالت بدیهی، غیر فشرده است. با در نظر گرفتن مفروضاتی روی عملگر متناظر با این مسئله مقدار ویژه، روشهای گلرکین، هم محلی و نیشتروم را برای تقریب مقادیر ویژه گسسته آن به کار می بریم و همگرایی آنها را ثابت می کنیم. همچنین با استفاده از ایده مقطع متناهی، دو روش هسته تباهیده بر اساس درونیابی هسته را روی این مسئله پیاده سازی می کنیم و علاوه بر اثبات همگرایی، نرخ خطای آنها را نیز به دست می آوریم. با تقریب چند نمونه از مسئله مقدار ویژه مورد بحث به وسیله هر یک از روشهای بیان شده، کارایی این روشها را نمایش می دهیم. در ادامه چندین روش تکراری و شتاب برای بهبود خطا، ارائه می شوند و کارایی آنها با قضایای مرتبط نشان داده می شود. در نهایت با مقایسه روشهای تقریبی بیان شده، از لحاظ پیچیدگی و هزینه محاسبات، نرخ خطای مطلق، پایداری و محدودیتهای کاربرد، بهترین روش از بین آنها انتخاب شده و بر اساس آن یک برنامه matlab ارائه می شود.

در این پایان نامه روشهایی در حل معادله فردهلم دوبعدی بررسی شده است.ازجملهروشهای مبتنی بر موجکها،روش تبدیل فوریه سریع،توابع پالس بلوکی و...

در این رساله از میان روش های تصویری، روش های متعامد سازی کامل و تعمیم یافته غلاف های چند جمله ای عددی، کران خطایی برای این روش ها بدست می آوریم. بعلاوه با تعریف ضرب وزن دار دو بردار، یک روش عددی برای حل دستگاه خطی با نتایج بهتر ارائه می دهیم.

در این پایان نامه به بررسی چند‎ جمله ای های چبیشف می پردازیم و بخصوص در مورد نوع دوم آن ها مطالبی بیان می شود و همینطور کاربرد آنها در نظریه تقریب را تبیین می کنیم. مطالب مهمی در مورد خواص این چند جمله ای ها بیان می شودکه کمتر بهآن پرداخته شده است. همینطور به بیان ساده ای از الگوریتم رمز می پردازیم وسرانجام اتحاد های ترکیبیاتی جدیدی زا از این چند جمله ای ها نتیجه می گیریم.

درونیابی دو متغیره در فضای دو بعدی خیلی پیچیده تر از درونیابی در فضای یک بعدی است. زیرا، هیچ فضای هار از توابع پیوسته روی r2 موجود نیست. بنابراین چند جمله ای درونیاب دو متغیره برای یک مجموعه از نقاط دلخواه دو به دو متمایز، جواب منحصربه فرد ندارد. در این کار، پایه ای پیشنهاد می کنیم که وابسته به نقاط بوده و چند جمله ای درونیاب دو متغیره برای هر مجموعه از نقاط دو به دو متمایز دارای جواب منحصربه فردی خواهد بود که درآن ماتریس درونیاب دو متغیره دارای تجزیه شبه موروثی است.

روابط ضمنی جهات متناوب (adi) رده ای از الگوریتم های بسیار کارا برای حل عددی معادلات دیفرانسیسل هستند. روباط سینک-گلرکین یک پایه سینک را برای تولید جواب های تقریبی به طور نمایی دقیق برای معادلات دیفرانسیل حتی در حالتی که منفرد باشند، به کار می گیرند. این پایان نامه را با مرور کلی روش های سینک برای مسایل مبتنی در هر دو حالت دامنه های یک بعدی و دو بعدی متناهی و نامتناهی شروع می کنیم. سپس به معرفی نوعی از روش های تفاضلات متناهی که منجر به مقدمه ای از روش جدید جهات متناوب سینک-گلرکین مبتنی بر رابطه adi کلاسیک برای یک دستگاه ماتریسی خطی می پردازیم. توجه کنید که دستگاه ماتریسی حاصل از اعمال روش سینک-گلرکین بر معادله پواسن یک معادله ی سیلوستر است. در حالت کلی مسایل مدل adl را بررسی کرده و سپس ثابت می کنیم معادله ی سیلوستر حاصل از اعمال روش سینک-گلرکین متقارن به عنوان یک مسیله مدل adl رده بندی می شود. سرانجام روش جهات متناوب سینک –گلرکین adsg را برای معادله ی سیلوستر بدست می اوریم. به خصوص به خاطر اجتناب از محاسبات پر هزینه مقدار ویژه از پارامتر تکراری ثابت استفاده می شود در پایان با به کارگیری روش adsg روی مسایل تنوعی مقایسه ای بین کارایی روش استاندارد و روش با جمع کرونکر، ضرب کرونکر و عملگر تسلسلی انجام می شود.

این رساله شامل دو بخش اصلی است. در بخش نخست (فصول دوم، سوم،و چهارم)، با تاکید بر مفهوم دقت انتگرال گیری، فرمول های جدید انتگرال گیری به صورت تحلیلی و عددی به دست آورده شده است که مزایای این فرمول ها به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است. در بخش دوم این رساله (فصول پنجم و ششم) به مسیله بهترین تقریب در فضای lm پرداخته و با اثبات برخی از قضایا و روابط علاوه بر تعمیم این مسیله، بهترین تقریب یکنواخت از کلاس های توابع گویا به طور صریح به دست آمده است. مثال های ارایه شده در هر بخش کارایی روش های جدید را نشان می دهد. در پایان به کارهایی که در این زمینه در آینده می توان انجام داد اشاره خواهیم کرد.

معادلات دیفرانسیل منفرد، کاربردهای قابل توجهی در زمینه های مختلف علوم و مهندسی یافته اند. به واسطه ی حضور تکینگی، این معادلات دیفرانسیل مشکلاتی را در محاسبه ی جواب هایشان پدید می آورند. روش های تقریبی به مانند قواعد انتگرال گیری عددی، تفاضلات متناهی و عناصر متناهی معمولاً از چندجمله ای ها به عنوان توابع پایه در تقریب جواب بهره می برند که روی ناحیه ای که جواب هموار است، عموماً از دقت قابل قبولی برخوردار هستند. با این وجود، تکینگی حوالی نقاط مرزی ناحیه ی جواب را تحمل نمی نمایند و فرآیند تولید جواب معمولاً به شکست می انجامد. در مقابل، روی بازه هایی که در یکی از دو انتهایشان تکینگی بروز می کند، جواب های عددی که با استفاده از پایه های سینک حاصل می گردند بسیار بهتر از آنهایی است که به کمک چندجمله ای ها به دست آمده اند. در این رساله، به محاسبه ی شاخص فعالیت ‎$(eta)$‎ در یک بیوکاتالیزور اهتمام می ورزیم. شاخص فعالیت نسبتی است که شامل مشتق جواب معادله ی حالت پایدار واکنش نفوذ در یک شبکه کاتالیزوری است و محاسبه تقریبی مطلوب از آن در نزد مهندسین شیمی از اهمیت بالایی برخوردار است. در این راستا، نشان خواهیم داد که روش های مبتنی بر توابع سینک جواب های بهتری از معادله دیفرانسیل مورد علاقه خواهند داد که یک بعدی، منفرد، غیرخطی و وابسته به یک زوج از پارامترهای فیزیکی است. محققین قبلی از روی اجبار با اعمال بعضی محدودیت ها بر روی پارامترهای مسأله، طرح های عددی خود را در تقریب جواب مسأله توسعه داده اند. مشکل دیگر اینست که محاسبه ی شاخص فعالیت مستلزم برآوردی دقیق از مشتق جواب معادله دیفرانسیل ‏است که خود چالش برانگیز است. روش سینک که توسط مشی گالرکین، فرمول بندی می شود و شامل درونیابی توسط یک سری از توابع‏ِ مشهور به سینک‏ است، به خوبی خود را با شرایط مساله سازگار نموده و تقریبی مورد قبول از شاخص فعالیت ارائه می کند. هم چنین با استفاده از تبدیلات نمایی مضاعف ‎(de)‎ و توسط بعضی پارامترهای دخیل در روش هم محلی سینک، جواب های عددی برای یک رده خاص از دستگاه معادلات دیفرانسیل غیرخطی مرتبه دوم با شرایط مرزی دو نقطه ای را که قبلاً توسط روش هم محلی سینک مبتنی بر پایه های نمایی یگانه ‎(se)‎ یا روش هسته ی بازتولید فضای هیلبرت ‎(mrkhs)‎ مورد مطالعه قرارگرفته اند، محاسبه ‏کرده و بهبود می بخشد. علاوه بر این، یک روش هم محلی سینک مبتنی بر پایه های یگانه (استاندارد) با تعاملی خاص با شرایط مرزی اختیار می شود تا جواب معادله ی دیفرانسیل غیرخطی مرتبه ی چهارم با شرایط مرزی دونقطه ای موسوم به "فشار جریان بین دو صفحه ی نامتناهی که به آرامی به هم نزدیک می شوند‎``‎ را به خوبی برآورد نماید.

در این پایان نامه یک ساختار از دو خانواده ی غیرکلاسیک از چندجمله ای های متعامد ارائه شده است. این چندجمله ای ها را در اصطلاح چندجمله ای های چبیشف نیم دامنه نوع اول و دوم می نامند؛ که اولین بار توسط هویبرخس در سال 2010 معرفی شدند. چندجمله ای های کلاسیک چبیشف روی بازه ی $ [-1,1] $ تعریف شده اند, چندجمله ای های چبیشف نیم دامنه روی بازه ی کوچکتری تعریف می شوند, به کمک الگوریتم چبیشف این چندجمله ای ها را روی نیمی از دامنه ی $ [-1,1] $، یعنی بازه ی $ [0,1] $ می سازیم و برخی از خواص آن ها را نشان می دهیم. چندجمله ای های چبیشف نیم دامنه نیز مانند چندجمله ای های متعامد کلاسیک می توانند برای تقریب توابع مورد استفاده قرار گیرند. بدین ترتیب که هر تابع انتگرال پذیر را می توان به صورت یک سری نامتناهی از این چندجمله ای ها نمایش داد؛ که این سری را, سری چبیشف نیم دامنه فوریه می نامند و به صورت اختصاری $ hcf $ نشان می دهند. در اینجا به محاسبه مشتق و ضرب سری های قطع شده ی $ hcf $ می پردازیم. هدف اصلی، استفاده از این سری ها جهت حل عددی معادلات دیفرانسیل به یک روش طیفی و یا شبه طیفی است. از این رو ماتریس های عملگری ضرب و مشتق را نیز به دست می آوریم. vspace*{0.7cm} oindent extbf{large{واژه های کلیدی:}} چندجمله ای های چبیشف نیم دامنه، چندجمله ای های متعامد، رابطه بازگشتی سه جمله ای، ماتریس مشتق، ماتریس ضرب. extbf{large{رده بندی موضوعی ریاضی lr2010: }}08lr{c}11, 99lr{c}11, 45lr{c}33.

معادلات انتگرال ولترا رده مهمی از معادلات انتگرال است که در بسیاری از علوم رسیدن به نتایج مطلوب منوط به حل هر چه دقیق تر این معادلات است.این پایان نامه برای حل معادلات انتگرال ولترا روش هم مکانی چند گامی را ارائه نموده است که بدون افزایش محاسبات به جواب دقیق تری دسترسی پیدا می کند.در این پایان نامه به انتگرال گیری عددی برای حل انتگرال های معین می پردازیم.و روش های عددی حل معادلات انتگرال از جمله روش رونگه-کوتا و هم مکانی و ارتباط بین آنها را مورد بررسی قرار می دهیم و سپس به ساختار روش هم مکانی چندگامی برای حل معادلات انتگرال ولترا و صفرپایداری و همگرایی روش می پردازیم..در پایان مثال هایی برای نشان دادن دقت تقریب و اثبات کارایی روش ارائه شده است.

در دو دهه گذشته روش های تحلیلی برای حل معادلات تابعی در احاطه شیوه های هوموتوپی بوده است. روش های بر اساس هوموتوپی که عموما روش آنالیز هوموتوپی (ham) الیانو 1992 و روش بریشندگی هوموتوپی (hpm) {خی 1999} هستند، کارایی شان را با حل دسته های وسیعی از معادلات تابعی به اثبات رسانده اند. معادلات دیفرانسیل جزئی معمولی، معادلات دیفرانسیل کسری، معادلات انتگرال و انتگرال- دیفرانسیل معادلاتی هستند که روش های هوموتوپی با موفقیت روی آن ها اعمال شده اند. بعلاوه ham برای حل دسته ای از معادلات دیفرانسیل استفاده شده است که هیچ روش تحلیلی و یا عددی قادر به حل آن ها نبوده است. این موارد پتانسیل روش های هوموتوپی را نشان می دهد. ما در این رساله ابتدا قواعدی را برای اعمال روش بریشندگی هوموتوپی بر روی معادلات دیفرانسیل و دستگاه معادلات دیفرانسیل ارائه می دهیم. در این راستا سعی کرده ایم شیوه کلاسیک در نحوه تقسیم شرایط مرزی اولیه را در این روش تغییر دهیم. بعلاوه نشان می دهیم که کارهاَی انجام شده بر روی همگرایی روش بریشندگی هوموتوپی دارای برخی اشکال ریاضی است. همچنین با یک مثال نشان می دهیم که هرگاه سری بدست آمده با روش hpm و ham همگرا باشد، لزوماً به جواب اصلی معادله همگرانیسنت و در پایان همگرایی این روش در برخی حالت های خاص معادلات اثبات می شود. رده بندی موضوعی 2010: 34b05, 34k06, 34k10, 34k28, 39b72

حل شمار زیادی از مسائل ریاضی- فیزیک منجر به حل معادلات انتگرال خاصی میشود؛ معادلات انتگرالی که به دلیل شبیهسازی ریاضی پدیده های طبیعی، اکثراً منفرد هستند و پیدا کردن جواب آنها به صورت تحلیلی کاری دشوار و گاهی غیر ممکن است. از اینرو بررسی عددی جواب معادلات انتگرال حائز اهمیت است. در این بین، مدلسازی ریاضی بیشتر مسائل مربوط به نظریهی ارتجاع ، نظریهی پراکندگی ذرات و نظریهی انتقال نوترونها ، به معادلاتی به صورت تبدیل میشود که به آنها معادلات انتگرال نـوع سـوم میگویند، که ممکن است متناهی یا نامتناهی باشد. در این پایان نامه، معادلهی انتگرال فوق را به سه حالت متفاوت در نظر گرفته و جواب هر یک را با دقت مناسبی محاسبه می کنیم. در حالت اول، ابتدا نمایشی از جواب دقیق معادله ی انتگرال فردهلم منفرد، با ساختن یک سری در فضای بازتولید هسته، ارائه داده می شود و سپس با قطع سری، تقریبی از جواب به دست میآید. در حالت دوم، جواب تحلیلی معادلهی انتگرال فردهلم منفرد را در رده ی توابع هولدر و با استفاده از یک معادلهی کمکی نوع دوم، به دست میآوریم. و در حالت سوم، ابتدا معادلهی انتگرال نوع سوم بر دامنهی نامتناهی را، به معادلهی نوع دوم تبدیل کرده و سپس با استفاده از یک روش نیشتروم مناسب، جواب را تقریب می زنیم. همچنین سعی شده که جزئیات هر روش به گونهای بیان شود که در پایان، انتخاب روش مناسبتر برای حل یک معادلهی انتگرال واحد، دشوار نباشد و چند مثال عددی نیز ارائه شده است.

در این پایان نامه یک روش هم محلی چبیشف برای حل معادله انتگرال-دیفرانسیل - تفاضلی خطی آمیخته به طوریکه ایکس کوچکتر مساوی صفر و m بزرگتر مساوی n تحت شرایط آمیخته و هم محلی لژاندر برای حل معادله انتگرال دیفرانسیل فردهلم خطی مرتبه بالاتر تحت شرایط آمیخته ارائه شده است. در این دو روش معادله ا با شرایط 2 و معادله 3 با شرایط 4 به معادله ماتریسی که متناظر با یک دستگاه معادله جبری خطی است تبدیل می شوند. بنابراین با حل معادله ماتریسی ضرایب مجهول و در نتیجه جواب تقریبی حاصل می شود. اعتبار و کارایی روش های ارایه شده به وسیله چندین آزمایش عددی نشان داده شده است.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

موضوع درونیابی با کنترل شکل در سال 1966 به وسیله شویکرت مطرح شد. کارهایی نیز به وسیله اسپت (1964 و 1974 )، نیلسن ، پریوس و دبور روی اسپلاین های مکعبی و توانی، که با یک پارامتر کشش (فشار) شکل را کنترل می کنند، انجام شده است .

هدف این پایان نامه آن است تا در کنار معرفی اجمالی مساله درونیابی داده های فازی و حل ارائه شده توسط لوئن، نگرشی دقیق به آن قسمت از اسپلاین های فازی داشته باشد که بطور مقدماتی کالوا، برای اسپلاین های درجه 1 و 3 ارائه نمود و توسط عباسبندی و بابلیان به اسپلاین های طبیعی فازی از درجه m>2,l 2m-1 توسعه یافت . همچنین نشان می دهیم برای به کارگیری اسپلاین های طبیعی فازی و اسپلاین های فازی با شرط نبود یک گره و چند جمله ای درونیاب لاگرانژ فازی چگونه و از چه روش محاسباتی استفاده شود.

توسیع فرمولهای کرونراد و فرمولهای انتگرالگیری با بالاترین درجه دقت ، فرمولهایی هستند که توسط n نقطه معین و m نقطه آزاد محاسبه می شوند. m نقطه آزاد باید درون بازه انتگرالگیری باشند. اگر چنین نباشد از صفرهای چندجمله ای استیلیس تغییر یافته استفاده می شود. این فرمولها از مقدار تابع در نقاط معین بیشترین استفاده را می برند.

برای توابع جدولی در گره های چبیشف در یک بازه، درونیابی طیفی و انتگرال گیری معین از طریق fft می تواند به صورت پایدار و کارآمدی انجام شود. برای دسته های دیگری از نقاط، مانند گره های گاوس روی یک بازه، درونیابی کلاسیک و انتگرال گیری معین، طرحها یایدار، اما کند هستند و اگر n تعداد نقاط در گسسته سازی بازه باشد احتیاج به o(n2) عملیات ریاضی دارند. ما الگوریتمهایی را برای محاسبه کارآمد درونیابیهای چند جمله ای لاگرانژ در نقاط چندگانه روی خط و همچنین برای انتگرال گیری معین و دیفرانسیل گیری سریع از توابعی که در نقاطی غیر از گره های چبیشف جدول بندی شده اند ارائه می کنیم. طرح درونیابی به o(nlog1/) عملیات ریاضی احتیاج دارد و برای انتگرال گیری و دیفرانسیل گیری طرحها احتیاج به o(nlogn+nlog(1/)) عملیات دارد، که دقت محاسبات است و n تعداد گره ها است . لازم به یادآوری است که طرحهای انتگرال گیری پایدار هستند در حالیکه طرحهای دیفرانسیل گیری دارای عدد وضعیت متناسب با n2 است . الگوریتمها مدلهای کارآمدی از روش چندگانه سریع (fmm) که به ویژه برای مسائل یک بعدی طراحی شده اند را مورد استفاده قرار می دهند. مثالهای متعددی برای مشاهده اجرای عددی تحقیق آورده می شود.

فصل اول پایان نامه شامل قضایا و موضوعات استفاده شده در فصول بعدی است ، که سعی شده است بعضی از روابط و قضایا اثبات گردند. در فصل دوم دسته ای خاص از توابع وزن معرفی می شود و چند جمله ایهای -s متعامد نسبت به این توابع وزن ارائه می گردد و در آخر یک مجموعه از این دسته توابع وزن معرفی می شود. در فصل سوم به بیان فرمول کوادراتو صریح گاوس - ترن برای توابع ذکر شده می پردازیم و همچنین فرمولهای کوادراتور برای محاسبه ضرایب چبیشف - فوریه این توابع با حداکثر درجه دقت ارائه می شود. در فصل چهارم با تلفیق نتایج دو فصل دوم و سوم به ارائه کوادرتور صریح گاوس ترن برای توابع ذکر شده می پردازیم و سپس فرمولهای کوادراتور را با حداکثر دقت برای محاسبه ضرایب چبیشف - فوریه این توابع نسبت به دسته توابع وزن معرفی شده در فصل دوم ارائه می دهیم. در انتهای فصل به ذکر چند مثال عددی می پردازیم.

در جبر خطی کلاسیک ، مقادیر ویژه یک ماتریس اغلب به عنوان ریشه های چند جمله ای مشخصه تعریف می شود. یک الگوریتم برای محاسبه ریشه های چند جمله ای به وسیله محاسبه مقادیر ویژه ماتریس همراه متناظر آن، بیانگر تعریف و قضایای مهم که زیربنای تعیین ریشه های چند جمله ای با استفاده از محاسبه مقادیر ویژه ماتریس همراه متناظر با آن است ، بیان می گردند. در ادامه حدود و موقعیت مقادیر ویژه را به دست خواهیم آورد که این امر از لحاظ تکنیکهای محاسباتی و برنامه های کامپیوتری از اهمیت بالایی برخوردار است . در فصل دوم شبه صفرهای چند جمله ایها و شبه طیف ماتریسهای همراه را بررسی نموده و تغییر هندسی و ارتباط آنها را بیان می کنیم. در فصل سوم موازنه و اهمیت فوق العاده آن در محاسبه مقادیر ویژه را بیان نموده و یک الگوریتم پایدار برای موازنه ماتریسهای نامتقارن بررسی می شود. در فصل چهارم تجزیه و تحلیل خطای مرتبه اول الگوریتم qr صورت می گیرد و این امر هندسه اساسی مساله و خطای عددی الگوریتم را مشخص می سازد. تجزیه و تحلیل ما وجود یک خطای کوچک مولفه ای پسرو را در تست هشت چند جمله ای تصادفی پیشنهاد شده توسط toh و trefethen، پیش بینی می کند. در ادامه مثالهایی ارائه می دهیم که در آنها خطای نسبی کوچک مولفه ای پسرو قابل پیش بینی نبوده و در عمل نیز و در عمل نیز به دست نمی آید. در فصل پنجم روشهای lr و qr را بیان نموده و الگوریتم qr را طوری اصلاح می کنیم که تا حد امکان دقت محاسباتی بیشتر شود.

معمولا برای ذخیره سازی تصاویر از دستگاه اسکز استفاده می شود که در ذخیره سازی تصاویر به تعداد زیادی با مشکل حجیم بودن اطلاعات و کمبود حافظه مواجه می شویم. از این رو نیازمند به قشرده سازی تصاویر مطرح گردیده است . در این پایان نامه دو روش از جدیدترین و تواناترین روشهای فشرده سازی تصاویر که مبتنی بر هندسه جوان و زیبای فرکتالی است بررسی می شود. در این روش تصاویر به مدل ریاضی تبدیل می شوند و مدل ریاضی آنها که حجم بسیار کمی دارد در کامپیوتر ذخیره می شوند (فرضا یک معادله، مدل ریاضی برای خط دایره است). سودمندی فشرده سازی تصاویر در بانکهای اطلاعاتی بزرگ تصویری مانند انگشت نگاری و چهره پردازی ... به وضوح مشاهده می گردد، علاوه بر این چون در این دو روش تصاویر شکل اولیه خودر از دست می دهند، می توانند به صورت رمزی درآیند که این امر در محرمانه کردن اطلاعات دارای اهمیت به سزایی است .

این پایان نامه در سه فصل انجام گردیده است:فصل اول، تعاریف و مفاهیم اولیه. فصل دوم، تعریف و ساده سازی مسئله مقدار ویژه مقید.فصل سوم، حل مساله مقدار ویژه مقید.

در اینجا، ضمن معرفی کلی روش های طیفی برای حل عددی معادلات دیفرانسیلی معمولی، توجه خود را معطوف به آن دسته از مسایلی می نمائیم که در آنها بعضی توابع ضریب یا تابع جواب غیر تحلیلی هستند. سپس با بیان نقاط قوت و نقاط ضعف روش های طیفی برای حل این دسته از مسایل، یک روش طیفی اصلاح شده را پیشنهاد می کنیم به طوری که نسبت به دیگر روش های طیفی کاراتر است. همچنین با ارائه چندین مثال، موارد مطرح شده را مورد بررسی عددی قرار می دهیم. بعلاوه، مفاهیم پایه ای معادلات دیفرانسیلی-جبری ارائه و حل عددی دسته ای از معادلات دیفرانسیلی-جبری خطی را توسط روش شبه طیفی، مورد بررسی قرار داده و در یک پایان یک روش پیشنهادی جهت تقلیل اندیس مسائل ‏‎dae‎‏ ارائه می دهیم.

در این پایان نامه ، روشهای تعیین تقریبهایی برای کرانهای درایه های ماتریس ‏‎f(a)‎‏ ، که در آن ‏‎a‎‏ یک ماتریس معین مثبت متقارن و ‏‎f‎‏ تابعی هموار است ، را شرح می دهد. شیوه ارائه مطالب پایان نامه به شکل زیر است: در فصل اول مطالب پایه و مورد نیاز آمده است. در فصل دوم ابتدا مساله مورد نظر تعریف می شود، در ادامه مساله مشخص نمودن درایه های تابعی از ماتریس مورد بررسی قرار می گیرد. در بخش سوم تئوری و قضایا بسط داده می شوند، بخش چهارم به ساختار و خواص توابع متعامد می پردازد، که برای بدست آوردن روشهای عددی به منظور محاسبه کرانها، لازم می باشند. روشهای لنچوز نیز به منظور محاسبه چندجمله ای ها مورد استفاده قرار می گیرند. در بخش پنج، کاربردها، محاسبه عناصر ماتریس معکوس شرح داده می شود، که در آن الگوریتم تکراری بسیار ساده برای محاسبه کرانها داده می شود. در فصل سوم هم برای ماتریسها و توابع گوناگون ، چند مثال عددی آورده می شود.