بررسی پوشش های هندسی نیرومند

در این پایان نامه پوشش های هندسی نیرومند مورد مطالعه قرار می گیرد. فرض کنید f‎ یک تابع صعودی، مثبت و دلخواه، k>0 یک عدد صحیح و t>1یک عدد حقیقی باشد. گراف ‎ g=(v‎, ‎e) ‎ یک ‎-t پوشش -f(k) ‎نیرومند بر روی مجموعه نقاط ‎ v ‎ است، در صورتی که به ازای هر زیرمجموعه ی دلخواه ‎ s ‎ شامل k ‎ رأس از مجموعه رأس های ‎v ‎یک مجموعه ی s^+‎ از مجموعه رأس های ‎ v ‎ و شامل ‎ s ‎ به اندازه حداکثر ‎ f(k) ‎ وجود داشته باشد به طوری که بعد از حذف مجموعه رأس های ‎ s ‎ از گراف ‎g ‎، گراف ‎ g s ‎ یک ‎-t ‎پوشش بر روی ‎ v ? s?^+ ‎‎ باشد. برای نقاط روی خط حقیقی، نشان می دهیم به ازای هر ‎ f(k) ? (k log k) ‎، یک ‎-1 ‎پوشش ‎-f(k) ‎نیرومند با ‎ o (n log n) ‎ یال وجود دارد. همچنین نشان داده می شود که به ازای‎f ‎ های با رشد کمی بیش تر، می توان تعداد یال ها را کمی بهبود داد. در برخی حالات نشان داده می شود که نتایج بدست آمده حداکثر در یک ‎‎مقدار لگاریتمی با مقدار بهینه تفاوت دارد. در فضای حقیقی ‎-d ‎بعدی، نشان داده می شود که به ازای هر ‎f ‎، یک گراف ‎-o (k f(k)) ‎نیرومند با تعداد یال های‎ o (n f^*(n)) وجود دارد که f^* (n)‎ برابر با تعداد ترکیب تابع ‎ f ‎ با خودش است تا رشد آن به تابع خطی برسد. همچنین ثابت می شود که، ‎-tپوشش ‎-f(k) ‎نیرومند حداقل به ‎ ?(n f^*(n)) ‎ یال نیاز دارد. در نهایت مفهوم پوشش های بادوام که تعریف ضعیف تری نسبت به پوشش های نیرومند دارند تعریف شده و نشان داده می شود که با تعداد خطی یال می توان پوشش های بادوام ساخت.