در این پایان نامه، $1 + varepsilon$-پوشش های هندسی برای یک مجموعه از $n$ نقطه در صفحه و در فضای $mathbb{r}^{d}$ مورد مطالعه قرار می گیرند که این پوشش ها می توانند زمانی که نقاط آن ها حرکت می کنند به صورت کارایی نگهداری شوند. پوشش وابسته به حرکت در صفحه، دارای اندازه ی $o(n/varepsilon^{2})$ است و با فرض این که نقاط دارای مسیرهای حرکت چندجمله ای از درجه ی حداکثر $s$ هستند، تعداد $o(n^{2}eta(n))$ رویداد را بررسی می کند (تابع $eta(n)$ دارای رشدی آهسته تر از توابع لگاریتمی است) و پوشش می تواند در هر رویداد در زمان $o(1)$ به روزرسانی شود. پوشش وابسته به حرکت در فضای $mathbb{r}^{d}$، دارای اندازه ی $o(n/varepsilon^{d-1})$ و حداکثر درجه ی $o(log^{d} n)$ است و با فرض این که نقاط دارای مسیرهای حرکت چندجمله ای از درجه ی محدود هستند، تعداد $o(n^{2}/varepsilon^{d-1})$ رویداد را بررسی می کند و هر رویداد می تواند در زمان $o(log^{d+1} n)$، با استفاده از یک ساختمان داده ی کمکی که به $o((n/varepsilon^{d-1})log^{d} n)$ حافظه نیاز دارد، پردازش شود. به روزرسانی یک طرح پرواز نیز تنها به $o(log n/varepsilon^{d-1})$ زمان نیاز دارد. علاوه بر این نتایج، این پوشش ها اولین $1 + varepsilon$-پوشش های وابسته به حرکتی هستند که عملکرد آن ها به میزان پراکندگی نقاط از هم وابسته نیست.

یک شبکه هندسی، گرافی همبند و وزن دار روی مجموعه متناهی s از فضای r^d می باشد به طوری که وزن هر یال (u,v) از آن برابر با فاصله اقلیدسی میان u و v، یا |uv|، می باشد. به ازای مقدار حقیقی t ،(t>1) t-پوشش هندسی g روی s، یک شبکه هندسی غیر جهت دار روی s می باشد اگر طول کوتاهترین مسیر میان u و v در g کمتر یا مساوی با t برابر |uv| باشد. کوچکترین مقدار حقیقی t که به ازای آن g یک t-پوشش هندسی روی s باشد ضریب کشش g نامیده می شود. یک پوشش هندسی را که تحت هر دو عمل درج و حذف نقطه از آن به روزرسانی می شود پوشش هندسی تماماً پویا می نامند. در این رساله، ابتدا، به ازای مجموعه s شامل n نقطه از r^d و مقدار ثابت و حقیقی varepsilon>0، یک پوشش هندسی با ضریب کشش (1+varepsilon) روی s معرفی شده است. نشان داده می شود تعداد کل یال ها، بیشترین درجه رئوس و وزن کل این پوشش به ترتیب برابر با o(n/varepsilon^{d})، o(log alpha /varepsilon^d) و o(w(mst(s)) log alpha /varepsilon^{d+1}) می باشد جایی که alpha برابر با نسبت بیشترین فاصله میان نقاط s به کمترین آن و w(mst(s)) وزن درخت پوشای کمینه روی s می باشد. سپس الگوریتم های به روزرسانی این پوشش تحت درج و حذف نقاط ارائه شده و پیچیدگی زمانی آنها محاسبه شده است. نشان داده می شود پیچیدگی زمانی به روزرسانی این پوشش تحت هر دو عمل درج و حذف نقاط برابر با o(log alpha) می باشد.

غشای محدب یک مجموعه ای از نقاط‏، کوچکترین مجموعه محدبی است که همه ی نقاط را شامل می شود. غشای محدب یک ساختار اولیه در ریاضیات و هندسه محاسباتی است و در مسائلی مانند تشخیص الگو‏، شکل شناسی و پردازش تصویر کاربرد فراوانی دارد.‎ ‎در این پایان نامه‏، یک الگوریتم موازی مقیاس پذیر برای ساخت غشای محدب ‎مجموعه ای‎ از ‎ n ‎ نقطه در صفحه بررسی می گردد. این الگوریتم برای مدل چند کامپیوتری دانه درشت طراحی شده است که در این مدل‏، ‎ ‎p‎ پردازنده هر یک با حافظه محلی ‎o(n/p)>>o(1) ، توسط شبکه های ارتباطی دلخواه به یکدیگر متصل می شوند. این الگوریتم برای دامنه وسیعی از مقادیر ‎ ‎n‎ ‎ و ‎ ‎p‎ ‎ مقیاس پذیر است ‎یعنی ‎برای‎ مقادیر (n/p>= p^e ، (e>0 کارا و قابل اجراست. زمان مورد اجرای این الگوریتم برابر o(t_sequential/p+t_s(n,p)) است کهt_sequential زمان اجرای بهترین الگوریتم ترتیبی و(t_s(n,p زمان مرتب سازی کلی n‎‎ داده بر روی یک ماشین ‎p پردازنده ای است. علاوه بر این‏، الگوریتم ‎‎تنها از تعداد ثابتی دورهای ارتباطی کلی استفاده می کند‎.‎

در مسئله ی جریان بیشینه، ما به دنبال ارسال بیشترین مقدار جریان از یک رأس مبدأ به یک رأس مقصد در یک گراف هستیم، با در نظر گرفتن این محدودیت که جریان در هیچ کمانی نمی تواند از ظرفیت آن کمان فراتر رود. در این پایان نامه، مسئله ی جریان بیشینه را در گراف های مسطح بررسی می کنیم. برای این منظور، الگوریتمی مورد مطالعه قرار می گیرد که این مسئله را در زمان (o(n log n حل می کند. ما همچنین الگوریتمی از مرتبه ی زمانی (o(n log n برای یافتن یک جریان بیشینه در یک گراف مسطح را بررسی می کنیم که در آن علاوه بر کمان ها، رئوس نیز دارای ظرفیت می باشند.

به سبب اهمیتی که تصاویر دیجیتال در شاخه های مختلف علوم مانند نقشه برداری، تصویربرداری پزشکی،... و حتی انیمیشن کامپیوتری دارد بررسی خواص هندسی تصاویر دیجیتال مورد توجه قرار گرفته است. این موضوع که قضایای شناخته شده در صفحه ی r^2 و فضای r^3 چگونه به فضاهای دیجیتال z^2 و z^3 منتقل می شوند یکی از چالش های این بررسی بوده است. هندسه دیجیتال به مباحثی از قبیل خواص هندسی زیرمجموعه ای از عکس های دیجیتال و تقریبی از خواص هندسی اشیاء با استفاده از خواص زیر مجموعه هایی از عکس های دیجیتال (که نشان دهنده ی اشیاء است) می پردازد. در این پایان نامه پس از ارائه ی مفاهیم مقدماتی دیدگاه های رزنفیلد را در مورد هندسه ی دیجیتال مطالعه خواهیم کرد و سپس هم ارزی بین دو تعریف متفاوت از سطوح در فضای z^3 را نشان خواهیم داد همچنین به مقایسه ی دیدگاه های توپولوژیکی مختلف در رویکرد به ساختارهای دیجیتال پرداخته اصول موضوعه ای را برای توپولوژی فضاهای دیجیتال مطالعه می کنیم به عنوان کاربردهایی از ساختارهای دیجیتال مثال هایی را به ویژه در تصویربرداری پزشکی خواهیم دید.

فرض کنیدv مجموعه ای از نقاط در صفحه باشد. از یک نقطه دلخواه چهار شعاع خارج و چهار مخروط با زاویه قائمه ایجاد می کنیم.در هر مخروط نزدیک ترین نقطه را به عنوان یک یال به آن نقطه وصل می کنیم. این روند را برای تمام نقاط تکرار نموده، گرافی که با این روند به وجودمی آید گراف یائو با پارامتر چهار می نامند.معمولاً، گراف یائو با پارامتر چهار در فضای اقلیدسی را با y_4 و گراف یائو در l_&متریک را با y_4^& نشان می دهند. ضریب کشش (تاخیر) برای دو نقطه داده شده در گراف، برابر با نسبت کوتاه ترین نقطه درگراف، به فاصله اقلیدسی بین آن دو نقطه است. بیش ترین ضریب کشش برای هر زوج از نقاط مجزا در یک گراف را ضریب کشش آن گراف نامند. ضریب کشش در گراف های یائو اهمیت زیادی دارد؛ تاکنون در این زمینه مطالعات زیادی صورت گرفته، از جمله اینکه، گراف های یائوی با پارامتر (k>=9) دارای ضریب کشش حداکثر 1/cos(2p/k)- sin(2p/k) هستند. بهعلاوه y_4 در یک وضعیت خاص از نقاط دارای ضریب کشش حداکثر 4(2+sqrt 2) است. در این پایان نامه بررسی خواهد شد گراف یائوی y_4^& دارای ضریب کشش 8 است. همین طور گراف یائوی y_4 برای مجموعه متناهی از نقاط دلخواه درفضای اقلیدسی دارای ضریب کشش حداقل 8sqrt(2)(26+23sqrt(2)) است.

در ‎‎نخستین فصل این پایان‎ ‎‎‎نامه ‎‎پس از بیان مفاهیم ابتدایی و پایه، فضای دیجیتال معرفی می‎‎ شود. سپس توپولوژی روی خط دیجیتال و به طور خاص توپولوژی خالیمسکی و روند ایجاد این توپولوژی مورد مطالعه قرار می گیرد.‎‎ در فصل دوم به معرفی‎ مجاور های مختلف یک نقطه در فضای دیجیتال می‎‎ پردازیم و پس از مطالعه توپولوژی دو بعدی خالیمسکی‏، یک توپولوژی جدید روی فضای دیجیتال به‎‎ نام ? معرفی می شود‏، که ساختار آن بر اساس 4-مجاور و 8-مجاور است‏. سپس قضیه خم جردن دیجیتال مرتبط با توپولوژی مذکور را بررسی می کنیم. در نهایت در رابطه با عملگرهای بستار خارج قسمتی و توپولوژ‎ی‎ های خارج قسمتی توپولوژی ‎?‎‎‎‎‎ بحث شده و نشان داده می شود که توپولوژی های خالیمسکی و مارکوس منطبق بر توپولوژی‎‎ های خارج قسمتی توپولوژی ‎? هستند.

فاصله فرشه یک معیار اندازه گیری تشابه بین دو منحنی $a$ و $b$ است. به طور غیر رسمی، فاصله فرشه بین دو منحنی $a$ و $b$ طول کوتاه ترین قلاده ای است که برای وصل کردن یک سگ، که در امتداد $a$، و صاحبش، در امتداد $b$، حرکت می کنند، لازم است، به گونه ای که آن ها بدون بازگشت به عقب در امتداد منحنی‎ های مربوطه شان از یک نقطه انتهایی به نقطه انتهایی دیگر راه می روند. مزیت این اندازه گیری نسبت به اندازه گیری های دیگر مانند فاصله هاسدورف این است که این فاصله ترتیب نقاط در امتداد منحنی ها را در نظر می گیرد. فاصله فرشه گسسته، سگ و صاحبش را با یک جفت قورباغه که فقط می توانند روی $m$ و $n$ سنگ ریزه مشخص شده روی $a$ و $b$ حرکت کنند، عوض می کند. این قورباغه ها از یک سنگ ریزه به روی دیگری بدون بازگشت به عقب می پرند. فاصله فرشه می تواند با یک الگوریتم برنامه ریزی پویای با مرتبه زمانی نسبتا سرراست مربعی نسبت به اندازه مجموعه بزرگ تر از نظر تعداد نقاط، محاسبه شود. در این پایان نامه، ما یک الگوریتم زیرمربعی را برای محاسبه فاصله فرشه گسسته بین دو دنباله $a$ و $b$ از نقاط روی صفحه، با تعداد نقاط متناظر $m$ و $ n$ مطالعه می کنیم. الگوریتم در زمان $o(frac{mnloglog n}{log n})$ با شرط $mleq n$ اجرا می شود و از فضای $o(m+n)$ استفاده می کند. روش مطالعه شده، هندسه مساله را در یک راه دقیق برای رمز کردن موقعیت های قانونی قورباغه ها به عنوان حالت های یک اتوماتای متناهی استفاده می کند.

امروزه تصاویر دیجیتال نقش و کاربرد روزافزونی در زمینه های مختلف علمی پیدا کرده اند و بررسی ویژگی های آنها یکی از مسایل مهم و جالب توجه در علوم مختلف مهندسی و ریاضی می باشد. یافتن ساختارهای ریاضی برای بررسی این تصاویر تقریبا از ابتدای پیدایش (و در بعضی موارد به عنوان مجموعه های گسسته قبل از پیدایش‎ِ)‎ گرافیک کامپیوتری مورد نظر بوده است. یکی از گام های بلند در این زمینه توسط رزنفلد با معرفی توپولوژی دیجیتال مبتنی بر یک ساختار گرافی برای نقاط فضای ‎$mathbb{z}^{2}$‎ و ‎$mathbb{z}^{3}$‎ انجام شد؛ اما به سبب این که توپولوژی دیجیتال با توپولوژی عمومی متفاوت است، تلاش های بسیاری برای هماهنگ سازی این دو ساختار صورت گرفت که در این زمینه کارهای خالیمسکی و کوالوسکی از اهمیت بسزایی برخوردار است. کوالوسکی نشان داده است که می توان توپولوژی روی مجموعه های متناهی را به وسیله مجتمع های سلولی توصیف کرد که در فصل اول این پایان نامه قابلیت این دیدگاه در رفع تناقض ها (و در واقع ناهماهنگی ها) موجود در دو ساختار مذکور را بررسی می کنیم. هدف اصلی این پایان نامه بررسی تلاش های انجام گرفته در ارائه مفهوم هموتوپی و گروه های بنیادی برای اشیا در فضای ‎$mathbb{z}^{n}$‎ می باشد به گونه ای که یک شئ در فضای پیوسته (مانند دایره) پس از دیجیتالی سازی دارای همان گروه بنیادی حالت پیوسته باشد. به این منظور سه رویکرد متفاوت متعلق به الف) کانگ ب) باکسر ج) آیالا و همکاران، برای تعریف گروه بنیادی مورد بررسی قرار می گیرد که به ترتیب در فصل های دوم، سوم و چهارم مطرح می شوند. همچنین اشکالاتی که در دیدگاه باکسر وجود دارد و نیز قابلیت های دیدگاه آیالا که مبتنی بر دستاوردهای کوالوسکی در مورد مجتمع های سلولی است به گونه ای که منجر به نسخه دیجیتالی قضیه زیفرت - ون کامپن می شود به همراه توصیف تابع نوردهی ضعیف مطرح می گردد.

فرض کنید مجموعه $p$ شامل $n$ نقطه در صفحه، دو محور مختصات و یک تابع امتیازدهی $f$ که به هر زیرمجموعه از $p$ یک مقدار حقیقی نسبت می دهد، داده شده است. مسأله مستطیل بهینه مسطح عبارت است از پیدا کردن یک مستطیل $h$ (هم تراز با محورهای مختصات) به طوری که مقدار $f(hcap p)$ را بیشینه کند. ما در مسأله، $f$ را تابعی یکنوا و تجزیه پذیر در نظر گرفته ایم. یعنی تابع ترکیب دو متغیره $g$ که در هر دو متغیر یکنوا است وجود دارد به قسمی که برای هر $a$ زیرمجموعه $p$ و هر بخش ${a_1,a_2}$ از $a$ داشته باشیم: $f(a)=g(f(a_1),f(a_2))$. در این پایان نامه یک راه حل برای مسأله مستطیل بهینه مسطح بررسی می کنیم که در بدترین حالت در $o(n^2log n)$ ترکیب امتیاز و مقایسه مختصاتی قابل انجام باشد، و در رده های دیگر از موارد تعریف شده توسط اقدامات مختلف برای مسأله بسیار کم تر است. یک نتیجه جانبی از این پژوهش، ساختمان داده کاملاً پویای درخت extit{splay mcs} است که از حذف و درج همراه با خاصیت انگشت پویا پشتیبانی می کند، که این نتایج بر اساس بهبود نتایج قبلی است.

‏برای مجموعه نقاط ‎$ ‎p‎ $‎‏ در فضای ‏‎$ ‎‎mathbb{‎r}^d‎‎ $‏،‎ یک تجزیه زوج از ‎$ ‎p‎ $‎‏‏، مجموعه ای مانند ‎$ ‎‎mathcal{w}‎‎ $‎‏‏ است که شامل زوج هایی از زیرمجموعه های ‎$ ‎p‎ $‎‏ است‏، به طوری که برای هر دو نقطه ی ‎$ ‎p,qin ‎p‎ $‏‏، ‎‏یک‎‎ زوج مانند‎‎‎‎ ‎$ ‎(‎mathcal{x},‎mathcal{y})in ‎‎mathcal{w}‎ $‎ ‎‏وجود‎ دارد که ‎$ ‎pin ‎‎mathcal{x}‎ $‎ و ‎‎$ ‎qin‎mathcal{y}‎ $‎‎‎‎‎ یا ‎$ ‎pin ‎‎mathcal{y}‎ $‎‏ و ‎$ qin ‎‎mathcal{‎x}‎ $‎‏ است. تجزیه نقاط به زوج های نیم مجزا‏، تجزیه زوجی است که در آن فاصله ی بین دو مجموعه نقطه در هر زوج‏،‏ نسبت به ضریبی از قطر مجموعه ی کوچک تر‏، بزرگ تر است. در این پایان نامه‏، روش های ساخت تجزیه نقاط به زوج های نیم مجزا‏ برای‏ یک مجموعه از ‎$ ‎n‎ $‎‏ نقطه در صفحه و در فضای ‎$ ‎‎mathbb{r}^d‎ $‎‎‎‏، و تعدادی از کاربردهای آن‏، مورد مطالعه قرار می گیرند؛ در جدیدترین روش ساخت‏، هر نقطه در تعداد کمی زوج (‎‎ $ ‎‎mathcal{o}(‎‎log n) $‏ زوج‎‎) ظاهر می شود‏ که این ویژگی در روش های ساخت قبلی وجود ندارد.

گراف g را در نظر بگیرید که به هر یال آن مقدار مثبتی به عنوان ظرفیت نسبت داده شده است. برای دو رأس s و t از گراف ، s-t-برش s ، زیرمجموعه ای از رأس های g است که شامل s باشد اما شامل t نباشد و ظرفیت آن برابر با مجموع ظرفیت تمام یال های خروجی از s است. s-t- برشی با کمترین ظرفیت در میان تمام s-t- برش ها را یک s-t- برش کمینه می نامند. در این پایان نامه، الگوریتم های چندجمله ای برای شمارش تعداد s-t- برش های کمینه در گراف های مسطح مورد بررسی قرار می گیرند.

یکی از مسائل مطرح در رباتیک و هندسه ی محاسباتی، مسئله برنامه ریزی حرکت برای یک مجموعه از ربات ها است. یک مجموعه از ربات ها را در نظر بگیرید که در یک فضای کاری مشترک در حال حرکت هستند. وظایف یک ربات ممکن است آن را از یک نقطه به نقطه دیگر منتقل کنند. هدف، انتقال ربات ها از یک پیکربندی به پیکربندی دیگر با حداقل تعداد حرکت های ممکن است، به طوری که هیچ دو رباتی در حین انتقال با هم برخورد نداشته باشند. ‎در این پایان نامه، مسائل ترکیبیاتی و محاسباتی مربوط به مسئله برنامه ریزی حرکت برای ربات ها با رد پاهای خاص در صفحه، با فرض این که حرکت ها، انتقال های بدون برخورد در صفحه هستند، مورد مطالعه قرار می گیرند. مسئله برنامه ریزی حرکت برای ربات ها با رد پاهای دیسک مانند (یا مستطیل شکل) در صفحه در نظر گرفته می شود و کران های ترکیبیاتی روی تعداد حرکت های لازم ویا کافی برای انتقال این ربات ها از مکان های شروع به مکان های هدف در حالت های مختلف بررسی می شود. در آخر، مسئله برنامه ریزی حرکت برای ربات ها با رد پاهای محدب در صفحه در نظر گرفته می شود و ثابت می شود که 2n‎ حرکت برای تغییر پیکربندی این ربات ها همواره کافی و گاهی لازم است.

گراف های متناظر با مولکول های فولرن‎،‎ گراف های مسطح‎،‎ سه منتظم و سه همبندی هستند که همه ی وجه های آن ها پنج ضلعی و شش ضلعی است‎.‎ جدیدترین الگوریتم برای تولید گراف های متناظر با فولرن ها در سال ‎2012‎ ارائه شده است‎.‎ اجرای این الگوریتم ‎3/5‎ برابر سریع تر از پرسرعت ترین تولیدکننده ی قبلی فولرن ها یعنی فولجن است و اولین برنامه بعد از فولجن است که برای تولید فولرن های با بیش از ‎100‎ راس مفید است‎.‎ در این پایان نامه این الگوریتم مورد مطالعه و بررسی قرار می گیرد‎.‎ نانو لوله‎ نیز نوع خاصی از فولرن است که ساختار استوانه ای شکل دارد و از دو قسمت بدنه و کلاهک تشکیل شده است‎.‎ ساختار بدنه ی نانولوله وابسته به ساختار کلاهک است‎.‎ در این پایان نامه به بررسی نتایج یک الگوریتم کارا برای تولید کلاهک های نانولوله ها می پردازیم‎.‎ این الگوریتم در سال ‎1999‎ توسط برینکمن ارائه شده است‎.‎

در این پایان نامه پوشش های هندسی نیرومند مورد مطالعه قرار می گیرد. فرض کنید f‎ یک تابع صعودی، مثبت و دلخواه، k>0 یک عدد صحیح و t>1یک عدد حقیقی باشد. گراف ‎ g=(v‎, ‎e) ‎ یک ‎-t پوشش -f(k) ‎نیرومند بر روی مجموعه نقاط ‎ v ‎ است، در صورتی که به ازای هر زیرمجموعه ی دلخواه ‎ s ‎ شامل k ‎ رأس از مجموعه رأس های ‎v ‎یک مجموعه ی s^+‎ از مجموعه رأس های ‎ v ‎ و شامل ‎ s ‎ به اندازه حداکثر ‎ f(k) ‎ وجود داشته باشد به طوری که بعد از حذف مجموعه رأس های ‎ s ‎ از گراف ‎g ‎، گراف ‎ g s ‎ یک ‎-t ‎پوشش بر روی ‎ v ? s?^+ ‎‎ باشد. برای نقاط روی خط حقیقی، نشان می دهیم به ازای هر ‎ f(k) ? (k log k) ‎، یک ‎-1 ‎پوشش ‎-f(k) ‎نیرومند با ‎ o (n log n) ‎ یال وجود دارد. همچنین نشان داده می شود که به ازای‎f ‎ های با رشد کمی بیش تر، می توان تعداد یال ها را کمی بهبود داد. در برخی حالات نشان داده می شود که نتایج بدست آمده حداکثر در یک ‎‎مقدار لگاریتمی با مقدار بهینه تفاوت دارد. در فضای حقیقی ‎-d ‎بعدی، نشان داده می شود که به ازای هر ‎f ‎، یک گراف ‎-o (k f(k)) ‎نیرومند با تعداد یال های‎ o (n f^*(n)) وجود دارد که f^* (n)‎ برابر با تعداد ترکیب تابع ‎ f ‎ با خودش است تا رشد آن به تابع خطی برسد. همچنین ثابت می شود که، ‎-tپوشش ‎-f(k) ‎نیرومند حداقل به ‎ ?(n f^*(n)) ‎ یال نیاز دارد. در نهایت مفهوم پوشش های بادوام که تعریف ضعیف تری نسبت به پوشش های نیرومند دارند تعریف شده و نشان داده می شود که با تعداد خطی یال می توان پوشش های بادوام ساخت.

مسئله جریان با هزینه مینیمم ‎ (mcf)(minimum cost flowدر یک شبکه که تعدادی از رئوس، دارای مقداری موجودی از یک کالا و تعدادی دیگر متقاضی مقداری از همان کالا هستند و برای هر یال مقادیری برای حداقل و حداکثر کالای عبوری و هزینه عبور یک واحد کالا مشخص شده است، به دنبال پیدا کردن جریانی از آن کالا است که در کران های داده شده برای میزان جریان برای یال ها صدق کند، تقاضای رأس ها را برآورده کند و کمترین هزینه را داشته باشد‎.‎ %در مسئله ‎mcf‎ فرض بر این است که جریان ورودی به یک یال با جریان خارج شده از آن یال برابر است. توسیعی از مسئله ‎mcf‎ با نام مسئله جریان با هزینه مینیمم تعمیم یافته gmcf) generalized minimum cost flow‎ بیان شده که در این مسئله مقدار جریان روی یک یال با تاثیر یک ضریب به صورت خطی افزایش و یا کاهش می یابد. یک توسیع ویژه از مسئله ‎ gmcf $‎، مسئله جریان با هزینه مینیمم تعمیم یافته با کران پایین متغیر ‎(gmcf-vlb) (generalized minimum cost flow with variable lower bound)‎ است، که برای هر یال جریان عبوری می تواند صفر باشد و یا از حداقل میزان مجاز داده شده، کمتر نباشد. این مسئله برای اولین بار در سال ‎2010‎ مطرح شده و از لحاظ تئوری و کاربردی از اهمیت بالایی برخوردار است. ثابت شده است که این مسئله، یک مسئله ‎- np‎سخت است و تاکنون کسی موفق به ارائه الگوریتم کارا برای این مسئله نشده است‎.‎ در این پایان نامه مسئله ‎(gmcf-vlb) ‎ بصورت دقیق بیان و مورد مطالعه قرار می گیرد. علاوه بر این مسائل جریان با هزینه مینیمم با کران پایین متغیر ‎ (mcf-vlb)‎ و مسئله جریان ماکزیمم با کران پایین متغیر ‎ (mf-vlb)‎ که هر دو حالت خاصی از مسئله ‎ gmcf-vlb ‎ هستند مورد مطالعه قرار می گیرد و نتایج موجود برای حل این مسئله ها در شرایط مختلف بیان و بررسی می شود.

کاربردهای علمی اغلب نیاز به حل یک یا چند سیستم خطی دارند. هنگامی که ماتریس ضرایب دستگاه خطی مورد نظر ax=b یک ماتریس تنک باشد، استفاده از روش های تکراری نسبت به روش های مستقیم ارجحیت دارد. در این گونه از ماتریس ها تعداد عناصر ناصفر و نحوه پراکندگی آنها تاثیر بسزایی در کارایی روش مورد استفاده دارد. این کارایی می تواند خود را در دقت جواب بدست آمده، زمان اجرا یا تعداد تکرار مورد نیاز نشان دهد.از بین روش های تکراری، روش gmres که توسط سعد و شولتز در سال 1986 معرفی گردید، برای ماتریس های غیر متقارن عمومی، مورد توجه قرار دارد. این روش، همگرایی سریعی دارد و نسبت به روش های تکراری دیگر مانند گرادیان مزدوج از پایداری بیشتری برخوردار می باشد. علاوه بر این، روش gmres اغلب بر پایه عمل های پایه ای جبر، مانند ضرب ماتریس-بردار، ضرب نقطه ای، محاسبه نرم و غیره پیاده سازی می گردد. همین خواص باعث گردیده است تا این روش بتواند به راحتی بصورت موازی پیاده سازی گردد. در این پایان نامه به معرفی روش gmres و در ادامه به بررسی انواع معماری های پردازش موازی می پردازیم و سپس به پیاده سازی gmres بر روی gpu بعنوان یک پردازنده موازی و cpu بعنوان یک پردازنده سری و مقایسه توانایی این دو سخت افزار در حل معادلات خطی، می پردازیم.

در این پایان نامه به مطالعه یک مسئله مربوط به طراحی شبکه های بی سیم با استفاده از آنتن های جهت دار پرداخته می شود. مسئله را به صورت مجموعه p از n نقطه در صفحه، هر یک متناظر با یک فرستنده و گیرنده مجهز به یک آنتن جهت دار با زاویه آلفا و شعاع r مدل می کنیم. نشان داده می شود که اگر $alpha = pi /3$ باشد آن گاه همیشه جهت یابی از آنتن های جهت دار با زاویه $alpha $ امکان پذیر است به طوری که گراف ارتباطاتی حاصل متصل باشد.

عملگر d روی جبر باناخ a را یک اشتقاق (عملگر مشتق) گویند هرگاه به ازای هر a و b در .d(ab)d(a)b+ad(b),a کار روی برد اشتقاقهای روی جبرهای باناخ توسط سینگر و ورمر در سال 1955 آغاز شد. سینگر و ورمر نشان دادند که برد هر اشتقاق کراندار (پیوسته) روی جبرهای باناخ جابجائی داخل رادیکال (جیکوبسن) قرار می گیرد. آنها حدس زدند که شرایط پیوستگی اضافی است . این حدس به ((حدس سینگر - ورمر)) معروف شد. این مساله حدود 30 سال حل نشد تا اینکه توماس در سال 1988 این حدس را ثابت کرد. علاوه بر این افراد مختلف تعمیمهای متعددی از این قضیه و حدس به جبرهای باناخ غیر جابجائی ارائه کردند. برخی شرایطی را بررسی کردند که ایجاب می کند برد اشتقاق روی یک جبر باناخ دلخواه داخل رادیکال قرار گیرد. توماس حدس سینگر - ورمر را با توجه به قضیه سینکلر تعمیم داد و حدس زیر را که به ((حدی سینگر - ورمر غیر جابجائی)) معروف شد بیان کرد ((هر اشتقاق روی یک جبر باناخ، هر ایدآل اولیه را پایا نگه می دارد)). این حدس هنوز ثابت نشده است و با برخی مسائل باز دیگر در آنالیز تابعی مرتبط است . چندان عجیب نیست که مسائل برد اشتقاقهای روی جبرهای باناخ ارتباط نزدیکی با مسائل پیوستگی خودکار دارد. عده ای به جای بحث روی برد اشتقاق، روی تصویر هر عضو تحت یک اشتقاق کار کردند. مثلا از قضیه کلنیک - شیرکوف برای تعمیم قضیه و حدس سینگر - ورمر استفاده کردند. این پایان نامه در چهار فصل تنظیم شده است . در فصل اول مقدمات آورده شده است . در فصل دوم قضیه و حدس سینگر - ورمر بیان و ثابت شده است . در فصل سوم تعمیمهای ارائه شده برای قضیه و حدس سینگر - ورمر روی جبرهای باناخ غیر جابجائی آورده شده است و بالاخره در فصل چهارم خلاصه مطالب دو فصل پیشین و ارتباط حدس سینگر - ورمر با برخی مسائل باز دیگر در آنالیز تابعی بیان شده است .