هموتوپی در فضاهای دیجیتال

امروزه تصاویر دیجیتال نقش و کاربرد روزافزونی در زمینه های مختلف علمی پیدا کرده اند و بررسی ویژگی های آنها یکی از مسایل مهم و جالب توجه در علوم مختلف مهندسی و ریاضی می باشد. یافتن ساختارهای ریاضی برای بررسی این تصاویر تقریبا از ابتدای پیدایش (و در بعضی موارد به عنوان مجموعه های گسسته قبل از پیدایش‎ِ)‎ گرافیک کامپیوتری مورد نظر بوده است. یکی از گام های بلند در این زمینه توسط رزنفلد با معرفی توپولوژی دیجیتال مبتنی بر یک ساختار گرافی برای نقاط فضای ‎$mathbb{z}^{2}$‎ و ‎$mathbb{z}^{3}$‎ انجام شد؛ اما به سبب این که توپولوژی دیجیتال با توپولوژی عمومی متفاوت است، تلاش های بسیاری برای هماهنگ سازی این دو ساختار صورت گرفت که در این زمینه کارهای خالیمسکی و کوالوسکی از اهمیت بسزایی برخوردار است. کوالوسکی نشان داده است که می توان توپولوژی روی مجموعه های متناهی را به وسیله مجتمع های سلولی توصیف کرد که در فصل اول این پایان نامه قابلیت این دیدگاه در رفع تناقض ها (و در واقع ناهماهنگی ها) موجود در دو ساختار مذکور را بررسی می کنیم. هدف اصلی این پایان نامه بررسی تلاش های انجام گرفته در ارائه مفهوم هموتوپی و گروه های بنیادی برای اشیا در فضای ‎$mathbb{z}^{n}$‎ می باشد به گونه ای که یک شئ در فضای پیوسته (مانند دایره) پس از دیجیتالی سازی دارای همان گروه بنیادی حالت پیوسته باشد. به این منظور سه رویکرد متفاوت متعلق به الف) کانگ ب) باکسر ج) آیالا و همکاران، برای تعریف گروه بنیادی مورد بررسی قرار می گیرد که به ترتیب در فصل های دوم، سوم و چهارم مطرح می شوند. همچنین اشکالاتی که در دیدگاه باکسر وجود دارد و نیز قابلیت های دیدگاه آیالا که مبتنی بر دستاوردهای کوالوسکی در مورد مجتمع های سلولی است به گونه ای که منجر به نسخه دیجیتالی قضیه زیفرت - ون کامپن می شود به همراه توصیف تابع نوردهی ضعیف مطرح می گردد.