توسیع های مدول قویاً بزرگ

زیرمدول n از r-مدول راست m، زیرمدول بزرگ (اساسی) گفته می شود؛ یا به طور معادل m یک توسیع بزرگ (اساسی) n نامیده می شود، اگر برای هر زیرمدول ناصفر k از m داشته باشیم، n?k?0. مفهوم قویاً اساسی نیز چنین آمده: زیرمدول n ازr-مدول راست m را قویاً اساسی گوئیم و با نماد n ?se m نشان می دهیم، هرگاه یکی از شرایط معادل زیر برقرار باشد: 1) برای هر مجموعه ی اندیس گذار i، in?e ?im? 2) برای هر زیرمجموعه ی x? 0 از m ، r? r ی وجود داشته باشد؛ به طوری که xr ?0 زیرمجموعه ی n باشد؛ یعنی، (n:x)? ann(n). در این پایان نامه به معرفی زیرمدول های قویاً بزرگ و بررسی ویژگی های آن ها می پردازیم. زیرمدول n از r-مدول راست m ، قویاً بزرگ گفته می شود: در صورتی که برای هر m? m وs? r، چنان چه ms ? 0؛ یک r?r وجود داشته باشد که mr?n و mrs?0. زیرمدول بسته، زیرمدول مکمل و زیرمدول تکین از مفاهیم مهمِ مرتبط با مبحث زیرمدول های بزرگ هستند، که در این پایان نامه به مفاهیم متناظر آن ها در حیطه ی زیرمدول های قویاً بزرگ می پردازیم، که به ترتیب؛ زیرمدول قویاً بزرگ بسته، زیرمدول قویاً بزرگ مکمل و زیرمدول قویاً تکین نامیده شدند. اگرچه زیرمدول های مکمل و زیرمدول های بسته ی m برهم منطبق اند، اما برای زیرمدول های قویاً بزرگ بسته و زیرمدول های قویاً بزرگ مکمل چنین نیست؛ هر زیرمدول قویاً بزرگ مکمل، زیرمدول قویاً بزرگ بسته است، اما عکس آن لزوماً درست نیست. در این پایان نامه شرایطی را که تحت آن، این دو مفهوم بر هم منطبق باشند را بررسی می کنیم. ضمناً همه ی حلقه ها یک دار و همه ی مدول ها یکانی فرض شده اند. در این پایان نامه دو قضیه ی مهم زیر را ثابت می کنیم: 1) هر زیرمدول n از r-مدول m در یک زیرمدول قویاً بزرگ بسته از m مانند k، قویاً بزرگ است. 2) فرض کنیم n و ?n زیرمدول هائی از m باشند، که 0 =?n? n . زیرمدول ?n یک زیرمدول قویاً بزرگ مکملِ n در m است اگر و فقط اگر ?n نسبت به این خاصیت که n??n در m قویاً بزرگ است، ماکسیمال باشد. در پایان، مفهوم های قویاً بزرگی و قویاً اساسی را مقایسه می کنیم و با مثال هائی نشان می دهیم زیرمدول های قویاً بزرگ و زیرمدول های قویاً اساسی بر هم منطبق نیستند.