در فصل سوم پایان نامه مدول های ?-کوتاه را معرفی می کنیم. مدول کوتاه همان مدول 0-کوتاه است، یعنی به ازای هر زیرمدول n از m ، n یا m/n نویتری است. با استفاده از این مفهوم بسیاری از نتایج مدول های کوتاه را به مدول های ?-کوتاه تعمیم می دهیم. نشان می دهیم اگر m یک مدول ?-کوتاه باشد ،که ? یک عدد ترتیبی شمارا است، هر زیرمدول m شمارا مولد است. همچنین نشان می دهیم اگر m یک مدول ?-کوتاه باشد شمارا مولد باشد آن گاه n-dim m=? یا n-dim m=?+1. در حالت خاص نشان می دهیم اگر حلقه ی نیم اول r ، ?-کوتاه باشد آن گاه n-dim r=?. در فصل چهارم پایان نامه به معرفی و بررسی بعد تام می پردازیم. بعد تام در حقیقت اندازه ی دور بودن یک مدول از تام بودن را نشان می دهد. نشان می دهیم اگر مدول m دارای بعد خارج قسمت متناهی باشد، آن گاه m بعد تام دارد اگر و تنها اگر بعد کرول داشته باشد و در این حالت بعد تام و بعد کرول با هم مساوی هستند. درنتیجه اگر r – مدول m بعد کرول داشته باشد دارای بعد تام است و k-dim m=p-dim m. همچنین خواص مشابه بعد کرول را برای بعد تام بیان و اثبات می کنیم. به علاوه نشان می دهیم اگر m=?_i?i?m_i و m_i ها مدول های توضیع پذیر و غیروابسته هستند(یادآوری ، دو مدول a و b را غیر وابسته می نامیم ، اگر چنانچه زیرمدول های p?p?a و q?q?b وجود داشته باشند که q/q?p/p آنگاه p=p وq=q)، آن گاه p-dim m=sup {pdim m_i:i?i} سرانجام در فصل پنجم پایان نامه به دوگان بعد تام می پردازیم.

در این پایان نامه ابتدا به مفاهیمی مانند ایدآل های اول، ایدآل های نیم اول، ایدآل ها بر حسب -سیستم می پردازیم. سپس این مفاهیم را برای مدول های اول و مدول های نیم nو سیستم –m اول تعمیم می دهیم. فرض کنیم0 ? m یکr -مدول چپ باشد. اگر به ازای هر زیرمدول ناصفرn ازm داشته باشیم،ann(n) = ann(m) ، آن گاه mرا مدول اول می نامیم. زیرمدول p ازm را اول می نامیم هرگاهm/pمدول اول باشد. به عبارت دیگر برای ایدآلa از حلقه r و برای زیرمدول n?mاگر ?p anآن گاه?p nیاam ?p .

زیر مدول های قویاً کوچک

اگر r یک حلقه ی دلخواه باشد، -rمدول راست، غیرصفر و یک دار m، یک مدول ثانویه نامیده می شود، هرگاه m و همه ی تصاویر هم ریختی(خارج قسمت ها) غیرصفرm، پوچ ساز یکسان در r داشته باشند. ثابت می شود که اگر r حلقه ای باشد که برای هر ایدال اول p از r، r/p یک حلقه ی گلدی چپ و کراندار چپ باشد، آن گاه r-مدول راست m، ثانویه است اگر و تنها اگر q=annr(m) یک ایدال اول r باشد و m یک –r/qمدول راست بخش پذیر باشد. اگر r در شرایط زنجیر صعودی روی ایدال های دوطرفه صدق کند، هر –rمدول، تصویر هم ریخت غیرصفری دارد که مدولی ثانویه است. هر مدول آرتینی غیرصفر، شامل مدول های ثانویه است و فقط تعداد متناهی عضو ماکسیمال در مجموعه ی زیرمدول های ثانویه وجود دارد. اگر r یک حلقه و m یک -rمدول راست غیرصفر که m شامل یک زیرمدول سره مانند n، چنان که m/n یک مدول ثانویه باشد و m دارای بعد پوچ متناهی n باشد(n یک عدد طبیعی)، در این صورت عدد طبیعی k و ایدال های اول pi(k?i??) وجود دارند به طوری که اگر l یک زیرمدول سره ی m وm/l یک مدول ثانویه باشد، آن گاه ann(m/l)=pi،,…,k ?i=. هر زیرمدول ثانویه از یک مدول آرتینی، مجموع تعداد متناهی از زیرمدول های ثانویه پوچ است.

در این پایان نامه بعد تک زنجیری مدول ها را تعریف و بررسی می کنیم. بعد تک زنجیری یک مدول، مقدار انحراف آن مدول از تک زنجیری بودن را اندازه گیری می کند. نشان می دهیم برای حلقه ی r و عدد ترتیبی ، یک r- مدول با بعد تک زنجیری α وجود دارد. هم چنین نشان می دهیم حلقه ی تعویض پذیر r نوتری (آرتینی) است اگر و تنها اگر هر r- مدول متناهی تولیدشده بعد تک زنجیری داشته باشد. در ادامه ویژگی های حلقه هایی که مدول های آن ها بعد تک زنجیری دارند را بیان می کنیم. در واقع نشان می دهیم هر r- مدول راست بعد تک زنجیری دارد اگر وتنها اگر هر r- مدول راست آزاد i=1 rبعد تک زنجیری داشته باشد اگر و تنها اگر r یک حلقه ی نیم ساده آرتینی باشد.

زیرمدول n از r-مدول راست m، زیرمدول بزرگ (اساسی) گفته می شود؛ یا به طور معادل m یک توسیع بزرگ (اساسی) n نامیده می شود، اگر برای هر زیرمدول ناصفر k از m داشته باشیم، n?k?0. مفهوم قویاً اساسی نیز چنین آمده: زیرمدول n ازr-مدول راست m را قویاً اساسی گوئیم و با نماد n ?se m نشان می دهیم، هرگاه یکی از شرایط معادل زیر برقرار باشد: 1) برای هر مجموعه ی اندیس گذار i، in?e ?im? 2) برای هر زیرمجموعه ی x? 0 از m ، r? r ی وجود داشته باشد؛ به طوری که xr ?0 زیرمجموعه ی n باشد؛ یعنی، (n:x)? ann(n). در این پایان نامه به معرفی زیرمدول های قویاً بزرگ و بررسی ویژگی های آن ها می پردازیم. زیرمدول n از r-مدول راست m ، قویاً بزرگ گفته می شود: در صورتی که برای هر m? m وs? r، چنان چه ms ? 0؛ یک r?r وجود داشته باشد که mr?n و mrs?0. زیرمدول بسته، زیرمدول مکمل و زیرمدول تکین از مفاهیم مهمِ مرتبط با مبحث زیرمدول های بزرگ هستند، که در این پایان نامه به مفاهیم متناظر آن ها در حیطه ی زیرمدول های قویاً بزرگ می پردازیم، که به ترتیب؛ زیرمدول قویاً بزرگ بسته، زیرمدول قویاً بزرگ مکمل و زیرمدول قویاً تکین نامیده شدند. اگرچه زیرمدول های مکمل و زیرمدول های بسته ی m برهم منطبق اند، اما برای زیرمدول های قویاً بزرگ بسته و زیرمدول های قویاً بزرگ مکمل چنین نیست؛ هر زیرمدول قویاً بزرگ مکمل، زیرمدول قویاً بزرگ بسته است، اما عکس آن لزوماً درست نیست. در این پایان نامه شرایطی را که تحت آن، این دو مفهوم بر هم منطبق باشند را بررسی می کنیم. ضمناً همه ی حلقه ها یک دار و همه ی مدول ها یکانی فرض شده اند. در این پایان نامه دو قضیه ی مهم زیر را ثابت می کنیم: 1) هر زیرمدول n از r-مدول m در یک زیرمدول قویاً بزرگ بسته از m مانند k، قویاً بزرگ است. 2) فرض کنیم n و ?n زیرمدول هائی از m باشند، که 0 =?n? n . زیرمدول ?n یک زیرمدول قویاً بزرگ مکملِ n در m است اگر و فقط اگر ?n نسبت به این خاصیت که n??n در m قویاً بزرگ است، ماکسیمال باشد. در پایان، مفهوم های قویاً بزرگی و قویاً اساسی را مقایسه می کنیم و با مثال هائی نشان می دهیم زیرمدول های قویاً بزرگ و زیرمدول های قویاً اساسی بر هم منطبق نیستند.

حلقه بلند راست،حلقه ای است که هر مدول راست غیرنویتری از آن شامل زیرمدول سره غیرنویتری است. در این رساله معیاری برای حلقه های تعویض پذیر بلندارائه می دهیم. با ارائه مثال هایی شرایط لازم و کافی برای بلند بودن حلقه ها بیان می کنیم. همچنین یک مثال از حلقه تعویض پذیر بلند غیرماکس معرفی می نماییم.

در این پایان نامه رده ای خاص از حلقه ها با عنوان حلقه های به طور ضعیف منظم را بررسی می کنیم و به یک طبقه بندی از نتایج در مورد ساختار این حلقه ها و ایدال های آن ها دست می یابیم. رامامورتی برای حلقه های آرتینی چپ ثابت کرد که به طور ضعیف منظم بودن معادل با منظم بودن و دومنظم بودن است. مشاهده می کنیم که این نتیجه یک شرط تعمیم یافته است. در واقع نتیجه گیری می کنیم که برای حلقه ی r که در شرط acc روی پوچ ساز راست صدق می کند, اگر r به طور ضعیف منظم باشد, آن گاه دومنظم است و همچنین r به طور ضعیف منظم است اگر و تنها اگر جمع مستقیم تعداد متناهی از حلقه های ساده باشد. پس از آن شرایط ماکسیمال بودن ایدال های قویاً اول را مورد بررسی قرار می دهیم و نشان می دهیم که حلقه کاهش یافته r منظم است اگر و تنها اگر r به طور ضعیف ?? -منظم چپ باشد اگر و تنها اگر هر ایدال قویاً اول r ماکسیمال باشد

یک حلقه را حلقه خوش ترکیب می نامیم، اگر هر عضو آنرا بتوان به صورت مجموع یک عضو وارون پذیر و یک عضو خودتوان نوشت. طی سی سال اخیر ویژگیهای زیادی از حلقه های خوش ترکیب تعویض پذیر بیان شده است. در این پایان نامه لیست کاملی که شامل چندین هم عرضی جدید، در مورد این حلقه ها میباشد ارائه میدهیم، به این امید که در آینده درک بهتری از این کلاس جالب از حلقه ها را داشته باشیم. یکی از خصوصیات اساسی حلقه های خوش ترکیب این است که، هر تصویر همریختی از یک حلقه خوش ترکیب، خوش ترکیب است. حلقه آراسته را حلقه ای تعریف میکنیم که هر تصویر همریختی غیر بدیهی آن خوش ترکیب است. حلقه اعداد صحیح z و هر pidغیر موضعی مثالهایی از حلقه های آراسته هستند، که خوش ترکیب نمیباشند.