.مجموعه ی h از شش ضلعی های دو به دو متمایز fn را یک الگوی شش گانه می گویند اگر fn یک جورسازی تام(که در شیمی به آن ساختارهای ککوله می گویند)داشته باشد به طوری که هر شش ضلعی به تناوب در مجموعه h باشد.بزرگ ترین اندازه ی الگوهای شش گانه fn را عدد کلر clar می گویند.که اندازه عدد کلر fn بیش تر از [(n – 12 ) / 6 ] نیست. در این پایان نامه کمیت فوق را برای گراف های فولرن بررسی می کنیم. گراف فولرن یک گراف مسطح 3-همبند و3-منتظم است که دقیقا 12وجه پنج ضلعی داشته و بقیه ی وجه هایش از شش ضلعی ها تشکیل شده است. از دیدگاه شیمی گراف های فولرن ،گراف های مولکولی هستند. به عنوان مثال نمودار مولکول های c60 وc70 دو عضو معروف این گروه هستند که به این کران بالا دست می یابند. در این پایان نامه گراف های فولرن اکسترمالی را بررسی می کنیم که عدد کلر آن ها ماگزیمم مقدارشان را می گیرند. سپس نشان می دهیم که به طور دقیق 18 گراف فولرن متمایز با 60 راس وجود دارند که ماکسیمم عددکلر آن ها 8 است.

اندیس فاصله درجه ای بر مبنای فاصله و درجه در گراف تعریف شده است یک نمونه اندیس توپولوژیکی است که با نحوه محاسبه آن در برخی گراف ها مانند گراف های جزئاً مکعب آشنا شدیم سپس عمل تبدیل را راهی برای رسیدن به مینیمم و ماکزیمم اندیس فاصله درجه ای معرفی کردیم و به کمک ارائه یک کران پایین برای این اندیس و خصوصیات درجه راس های گراف های تک دور و دو تبدیل مهم t1 و t2 در گراف های تک دور به ماکزیمم و مینیمم فاصله درجه ای این گراف ها دست یافتیم.

به ازای اعداد صحیح نامنفی r،s،t یک [r,s,t] –رنگ آمیزی گراف g=(v(g),e(g))، نگاشتی است مثل c ازاجتماع v(g) ?e (g) به مجموعه رنگ های {k-1 ،...،1،0} به طوری که : 1.برای هر دو راس مجاور vi وr vj ? | c(vi)-c(vj) | .2برای هر دو یال مجاور ei وej s ? | c(ei)-c(ej) | .3برای همه ی جفت راس ها و یال های هم وقوع t ? | c(vi)-c(ej) | عدد رنگی [r,s,t] ، r,s,t(g)? ،گراف g عبارتست از کوچک ترین عدد k به طوری که g یک [r,s,t] – رنگ آمیزی را بپذیرد. [r,s,t] –رنگ آمیزی با عدد رنگی [r,s,t] ، r,s,t(g) ? تعمیمی از همه ی رنگ آمیزی های کلاسیک یعنی رنگ آمیزی راسی با عدد رنگی (g)?، رنگ آمیزی یالی با اندیس رنگی (g)? و رنگ آمیزی total با عدد رنگی total ، (g)"? می باشد. در این پایان نا مه بعضی از کران های کلی روی r,s,t(g) ? را بررسی خواهیم کرد و عددرنگی r,s,t(g) ? را زمانی که min{r,s,t}=0باشند را بررسی خواهیم کرد

تئوری گراف یکی از مهمترین مباحث ریاضیات است که به کمک آن می توان طیف گسترده ای از مسائل موجود در دنیای واقعی را مدلسازی و تحلیل نمود. در این میان، دسته ای از مسائل تئوری گراف دارای اهمیت ویژه ای هستند، از آن جمله می توان به مسائل دور همیلتونی ‎ltrfootnote{hamiltonian cycle}‎، مدار اویلری ‎ltrfootnote{euler tour}‎، کوتاه ترین مسیر ‎ltrfootnote{shortest path}‎، رنگ آمیزی گراف ها و ‎$ ldots $‎ اشاره نمود. این دسته از مسائل به دلیل کاربرد عمده ای که در مدلسازی دنیای واقعی دارند مورد توجه فراوانی قرار گرفته اند. مساله ی رنگ آمیزی گراف ها یکی از مهمترین مسائل این دسته به شمار می رود که خود شامل رنگ آمیزی سره راسی و رنگ آمیزی یالی است. باتوجه به کاربرد فراوان رنگ آمیزی سره راسی از جمله مساله ی زمان بندی، تخصیص فرکانس در شبکه و ‎$ldots$‎ و تنوع مسائل، رنگ آمیزی شرطی تعریف می کنیم که در واقع تعمیمی از رنگ آمیزی سره است.

به نظر می رسداساس مجموعه های احاطه گردربازی شطرنج باشد وقتی هدف احاطه کردن مربع های مختلف صفحه با مهره ای خاص باشد.حال دراحاطه گری رنگین کمان مجموعه ای از رنگ ها را به رئوس یک گراف نسبت میدهیم به طوری که اگر به راسی تهی نسبت دادیم رئوس مجاور همه ی رنگهاراداشته باشد. در ادامه مجموعه های احاطه گردرضربهای دکارتی گرافها بیان شده وبعد احاطه گری رنگین کمان را برای کلاس هایی از گرافها مانند گراف خورشید وعنکبوت و... بیان میکنیم وقضایایی مهم و کاربردی ارائی میدهیم. در ادامه نیز کرانهایی از احاطه گری رنگین کمان را بیان میکنیم.

یک گراف فازی یک زوج از توابع g:(?,?)است که? یک زیر مجموعه فازی از یک مجموعه غیر تهی v و? یک رابطه فازی متقارن روی ? به این معنی که ?:v?[0,1]و?:v×v?[0,1] به طوری که?:(u,v)??(u)??(v) برای هر u,v?v که در ان علامت? به معنی min{?(u),?(v)}می باشد. گراف معنی از این گراف را با که یک زیر مجموعه از را نمایش می دهیم. در این پایان نامه جنبه های متریکی گراف های فازی را مورد بحث و بررسی قرار می دهیم.مفهوم گراف فازی خود مرکز معرفی و شرط کافی برای این که گراف فازی خود مرکز باشدرا ثابت خواهیم کرد.هم چنین نشان می دهیم گراف فازی کامل خود مرکز است و برای هرعدد حقیقیc>0 یک گراف فازی خود مرکز با قطرc وجود دارد.برای هر دو عدد a,b به طوری کهa?b?2a یک گراف فازی g وجود دارد به طوری کهr(g)=aو d(g)=b. استفاده از مفهوم خروج از مرکز راس ها یک شرط لازم برای یک گراف فازی که خود مرکز است به دست امده و یک شرط کافی برای یک گراف فازی g که خود مرکز باشد به طوری کهg^* یک دور باشد داده شده است.

در مجله ی eurocrypt سال 2006 ، در مقاله ای تحت عنوان " quad ، یک رمز جریانی کاربردی با امنیت قابل اثبات" توسط بربین، گیلبرت وپاتارین، quad به عنوان یک خانواده پارامتری از رمزهای جریانی معرفی شد. سرعت اجرا برای نمونه ای از quad ها با 160 بیت و خروجی بلوکی روی میدانهای (gf(2) ، gf(16) ، gf(256 ارائه شده است . کاهش امنیت به ظاهر برای همه میدانها قابل اثبات بود ، اما "برای سادگی " فقط یک اثبات برای میدان (gf(2در نظر گرفته شده است. این کاهش، حمله های غیر قابل اجرا روی quad را از حمله های غیر قابل اجرای فرضیه سازی شده روی مسائل سخت مشهورِ حل دستگاه معادلات چند متغیره درجه دو روی میدانهای متناهی نتیجه گیری می کند. این پایان نامه به بررسی هر دو جنبه نظری و کاربردی از حملات quad و حملات زیر مسئله سخت می پردازد. برای مثال ، این پایان نامه نشان می دهدکه چگونه ازالگوریتم xl-wiedemann برای شکستن (gf(256 مانند (gf(256,20,20 با تخمین66^ 2 دور و برای شکستن زیر مسئله سخت با تخمین45 ^2 دور ، می توان استفاده کرد. این تحلیل نشان می دهد، برای هر یک از پارامترهای quad ارائه شده در این پایان نامه (پیاده سازی های گزارش شده) ، مفاهیم و محدودیت های اثبات امنیت ، جزئی از موارد quad نمی باشند و هیچ یک از آنها هرگز به صورت امن اثبات نخواهند شد . داده های تجربی که از نتیجه های نظری پشتیبانی می کنند; در حالت خاص حمله با 245 دور به طور موفقیت آمیزی به اجرا در آمده است. در این پایان نامه همچنین شاخه ای جدید برای پردازش دستگاه معادلات چندجمله ای با گراف جزء بندی شده را معرفی خواهیم کردو به کمک آن به تحلیل جبری رمز جریانی quad می پردازیم.

اندیس وینر گراف ناوردا تفسیر گسترده ای در شیمی ‎پیدا کرده است. به علاوه تابع مولد این اندیس که چندجمله ای هوسویا نامیده می شود و مشتق اول این چندجمله ای در نقطه 1 اندیس وینر را می دهد.‎ ‎در این پایان نامه بخشی از توجه ما روی چندجمله ای هوسویای عملگرهای گراف برای دو گراف همبند و نابدیهی است‎‎? سپس با روشی بازگشتی گراف هانوی را تعریف کرده و چندجمله ای وینر آن را محاسبه می کنیم.

بررسی و پژوهش های اولیه در مورد اندیس وینر توسط هارولد وینر در سال 1947 میلادی انجام شد. وینر در این بررسی ها ارتباط بین نقطه جوش پارافین و ساختمان مولکولی آن را کشف کرد. از آن زمان تاکنون اندیس های توپولوژیک، پیوسته در شیمی استفاده شده اند. معمولاً مولکول ها مدل هایی همچون گراف های غیرجهت دار، به ویژه درخت ها دارند. برای مثال در جریان طراحی دارو، هدف، ساختمان شیمیایی با خواص مشخص است که فقط به فرمول های شیمی وابسته نیست بلکه ساختمان مولکولی نیز مورد نظر است. علاوه براین، موارد زیادی در ارتباط با تعیین محل، جغرافی، معماری و ... وجود دارد که در آن ها اندیس وینر یا میانگین فاصله کاربرد فراوانی دارد. در فصل اول این پایان نامه، اندیس وینر و خواص برخی از گراف ها به ویژه درخت ها که در فصل های آینده به آن ها نیاز است، بیان می شود. در فصل دوم رابطه های متنوع و گوناگونی برای محاسبه اندیس وینر درخت ها گفته می شود. همچنین برخی از این رابطه ها را می توان برای گراف های همبند نیز بیان نمود. از آن جایی که محاسبه اندیس وینر یک گراف می تواند پرهزینه و گران باشد در فصل سوم کران های بالا و پایین برای این اندیس عنوان شده است و در نهایت مسائل معکوس – چه اعدادی اندیس وینر هستند؟ - برای برخی از طبقات گراف ها و درخت ها گفته می شود.

یک شبکه ی ارتباطی در صورت تخریب تعدادی از عناصر که منتج به عدم برقراری ارتباط اجزا با یکدیگر باشد، بسیار آسیب پذیر است. مفهوم بی نقصی گراف که حاکی از این ایده است، به صورت کمترین مقدار حاصل جمع تعداد اعضای مجموعه برشی با اندازه بزرگترین مولفه از مولفه های باقی مانده، تعریف می شود.به عبارتی بی نقصی عبارت از i(g)=min{ |s|‎+ ‎m(g-s)}‎ است. در این پایان نامه به نتایج بی نقصی در گراف های خاص، گراف های ترکیبی و همچنین ارتباط بی نقصی با دیگر پارامترها، کران ها و مفهوم های متنوع دیگر پرداخته می شود.

شبکه ها امروزه از اهمیت زیادی برخوردارند. یکی از مهمترین مسائل در شبکه ها بررسی میزان آسیب پذیر بودن آن ها در برابر اختلالات و تخریب ها است. پارامترهایی وجود دارند که میزان آسیب پذیری شبکه ها را اندازه گیری می کنند که عدد پراکندگی یکی از این پارامترهاست. برای طراحی یک شبکه، یک شرط مهم این است که اگر بخش هایی از آن از کار بیفتند، بین بخش های باقیمانده بیشترین ارتباط ممکن برقرار باشد. در این پایان نامه عدد پراکندگی را مورد بررسی قرار می دهیم. این عدد عبارت از ماکسیمم تفاضل تعداد مولفه های همبندی و اندازه ی مجموعه ی برشی است. و هر اندازه تعداد راس های حذف شده بیشتر و در عین حال تعداد مولفه های همبندی باقیمانده کمتر باشد میزان پراکندگی گراف کمتر و قابلیت اطمینان آن بیشتر است. عدد پراکندگی در گراف کامل کم و قابلیت اطمینان آن بالاست. علاوه بر عدد پراکندگی، دیگر پارامترهای اندازه گیری آسیب پذیری گراف ها مانند همبندی، محکمی، همبستگی و بی نقصی و همچنین ارتباط آن ها با عدد پراکندگی را نیز مورد بررسی قرار می دهیم. نشان می دهیم با داشتن عدد همبندی می توان برای عدد پراکندگی کران بالا و پایین پیدا کرد و مقدار عدد پراکندگی را تخمین زد. در فصل اول این پایان نامه تعاریف و اصطلاحات مهم را معرفی می کنیم. در فصل دوم عدد پراکندگی را تعریف می کنیم و محدوده عدد پراکندگی را به طور کلی برای گراف ها بیان می کنیم. در فصل سوم رابطه ی عدد پراکندگی با دیگر پارامترهای اندازه گیر آسیب پذیری گراف ها ارائه می شود. در فصل چهارم عدد پراکندگی در گراف های خاصی مثل گراف های مشبک، ابرمکعب ها و گراف تورن محاسبه شده و در فصل آخر عدد پراکندگی همسایه معرفی و محدوده آن را مشخص می نماییم.

در این پایان¬نامه ابتدا ساختار مکعب¬های فیبوناچی را که شامل ساختار بازگشتی، دنباله درجه و نتایج شمارش است، بررسی می¬کنیم. هم¬چنین ویژگی مکعب¬های فیبوناچی که شامل شعاع، قطر و مرکز می¬باشد را بیان می¬کنیم سپس با استفاده از این مفاهیم مقدار دقیق عدد احاطه¬گری از مرتبه حداکثر 8، را پیدا می¬کنیم. همچنین برای مقادیر بالای 8 کران¬های بالا و پایین معرفی می¬کنیم.

مساله رنگ آمیزی گراف، تعیین حداقل تعداد رنگ برای رنگ آمیزی گرافی معین است به طوریکه هیچ دو راس مجاور، هم رنگ نباشند. علی رغم کاربرد های زیاد این مساله، تا امروز برای حالت های تصمیم گیری و بهینه سازی فوق، الگوریتمی از مرتبه چند جمله ای پیدا نشده است و این مساله در رده مساله های np-compelete است. الگوریتم ژنتیک نوع خاصی از الگوریتم های تکاملی است که از تکنیک های زیست شناسی تکامل مانند وراثت و جهش استفاده می کند. این الگوریتم برای اولین بار توسط جان هالند معرفی شد که برای مساله های بسیار زیادی، این الگوریتم قدرتمند و محبوب، در بین مهندسان و ریاضیدانان، راه حل های خوبی ارائه داده است. در این پایان نامه پس از بیان مقدماتی راجع به تعاریف نظریه گراف و نظریه الگوریتم ها و معرفی الگوریتم ژنتیک سعی شده با استفاده از الگوریتم ژنتیک راه حل های بهینه ای را برای این مساله ارائه دهیم.