در این پایان نامه مسائل طراحی شکل بهینه با استفاده از برخی خواص نظریه اندازه، آنالیز تابعی و برنامه ریزی خطی حل می شود. در فصل اول پاره ای از مفاهیم و مقدمات مورد نیاز را بیان می کنیم. در فصل دوم به بیان نظریه اندازه خواهیم پرداخت. روند تبدیل یک مساله کنترل بهینه به مساله بهینه سازی در فضای تابعک های خطی و سپس تبدیل آن به مساله بهینه سازی در فضای اندازه را نشان می دهیم. سپس مساله را به یک مساله برنامه ریزی غیر خطی تبدیل می کنیم و در نهایت آن را با یک مساله برنامه ریزی خطی تقریب می زنیم. در فصل سوم طراحی شکل بهینه قطب های یک آهن ربا بررسی می شود. این قطب ها بگونه ای طراحی می شوند که تغییرات پتانسیل الکترومغناطیسی در ناحیه ای مفروض خارج از ناحیه ای که پتانسیل الکترومغناطیسی جریان دارد،به یک سرعت مشخص نزدیک شود. در فصل چهارم ، جریان ایستای آب پشت سد، که از میانه سد عبور می کندرا بررسی می کنیم. این جریان منجر به ایجاد مساله ای در یک دامنه با مرز آزاد نامشخص،که قسمت های مرطوب و خشک سد را از هم جدا می کند، می شود