حساب کسری در بسیاری از مسایل علوم پایه از جمله فیزیک و شیمی و ...و علوم مهندسی ماند مکانیک و الکترونیک کاربرد فراوان دارد در این پایان نامه هدف یافتن شرایطی است که بر اساس آن می توان وجود و یکتایی جواب را برای مسایل مقدار مرزی - اولیه از مرتبه کسری یا مسایل غیر موضعی از مرتبه کسری تعیین کرددر اینجا سعی می شود مسئله به یک عملگر نقطه ثابت تبدیل شود.

در اینپایان نامه روشهای تصویری برای حل معادلات نوع دوم مورد بررسی قرار گرفته است.در ابتدا به طور خاص به روش تصویری گالرکین به عنوان یکی از مهمترین روشهای تصویری پرداخته می شود. در ادامه چند مثال از روش گالرکین اورده می شود. سپس روش تصویری تکراری و روش حل تکراری گالرکین مورد استفاده قرار می گیرد. در هر مورد همگرایی روش مورد بررسی قرار می گیرد.سپس یک چارچوب تئوری برای انالیز همگرایی روش پتروگالرکین و فوق همگرایی روش پترو گالرکین تکراری برای معادلات انتگرال نوع دوم فردهلم را گسترش می دهیم. به عنوان مهمترین مفهوم در انالیز مفهوم بهترین تقریب کلی و زوج منظم از دنباله فضای اصلی x_nو فضای ازمون y_n رامعرفی می کنیم. در فضاهای هیلبرت زوج منظم رادر جملاتی از زاویه ی بین دو دنباله ی فضایا تصویرهایی از بهترین تقریب کلی مشخص می کنیم. چندین ترکیب معین از عناصر پتروگالرکین را برای معادلات یک بعدی معرفی می کنیم و همگرایی روش پتروگالرکین و روش پتروگالرکین تکراری را با به کار بردن عناصرشان ثابت می کنیم.

در این پایان نامه، با استفاده از ساختار مدل های آسرمن مختلط, خمینه های آسرمن مختلط مطالعه می شوند؛ شرایط لازم و کافی برای اینکه یک مدل، آسرمن مختلط باشد، به دست آمده و نشان داده می شود که تحت این شرایط، مدل لزوماً اینشتینی است. همچنین با رده بندی ساختارهای کلیفوردی و مطالعه ی ساختار مقادیر ویژه روی مدل هایی با تانسور خمیدگی جبری مجهز به یک ساختار کلیفوردی، بررسی می شود که تحت چه شرایطی مدل، آسرمن مختلط است.

روش های عددی حل معادلات انتگرال اغلب منجر به یک دستگاه از مرتبه n می شود که هزینه تشکیل این دستگاه دارای پیچیدگی محاسباتی (o(n^2 است. حل این دستگاه با روش های مستقیم مانند روش حذفی گاوس دارای پیچیدگی محاسباتی (o(n^3 است و در صورت استفاده از روش های تکراری تا (o(n^2 نیز قابل کاهش است. اما در این میان روش هایی موسوم به روش های سریع که روش های موجک نیز از جمله اند، می توانند این پیچیدگی را تا حد قابل ملاحظه ای کاهش دهند. استفاده از موجک ها به عنوان پایه های متعامد از جهت حائز اهمیت است که سبب می شود دستگاه حاصل از گسسته سازی معادلات انتگرال یک دستگاه با ماتریس ضرایب تنک باشد که سهم عمده ای در تسریع و کاهش هزینه محاسباتی حل معادلات انتگرال خواهد داشت. در این پایان نامه سعی بر آن شده است که روش سریع موجک برای حل معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم و به طور خاص با هسته های منفرد ضیعف مورد بررسی قرار گیرد.در این راستا از خانواده موجکهای دابیشز بهره جسته ایم و دقت جواب، میزان خطا و مقدار تنکی دستگاه حاصل از گسسته سازی این معادلات به وسیله این موجک ارائه شده است که نتایج حاصل، کارایی روش را به اثبات می رساند.

در این پایان نامه به حل معادلات انتگرال دیفرانسیل سهموی در حالت کلی می پردازیم و خطای روش و همگرایی آن را نیز بررسی می کنیم.معادلات انتگرال دیفرانسیل سهموی بیشتر در مسائل فیزیک مانند حالت مانا، استاتیک و گرما پیش می آید. در این پایان نامه از تابع های موجک به عنوان پایه برای به دست آوردن تابع مجهول استفاده می شودو روش به کار رفته روش گالرکین و عناصر متناهی می باشد.

در این پایان نامه روش پتروگالرکین و پتروگالرکین تکراری برای دشته ای از معادلات انتگرال همرشتاین غیرخطی به کار رفته است. همچنین پدیده ی فوق همگرایی در روش پتروگالرکین تکراری بررسی شده است. آلپرت ثابت کرد که با به کار بردن دسته ای از پایه های موجک چندگانه در تقریب گالرکین برای معادلات فردهلم نوع دوم،به یک دستگاه معادلات تنک می رسیم. در فصل اول تعاریف و مطالب مقدماتی که در فصل های بعدی مورد استفاده قرار میگیرند، آورده شده است. در فصل دوم موج ی چندگانه آلپرت به عنوان پایه های فضای l2[0,1] ساخته میشوند و نمایش تنک عملگر انتگرال در این پایه ها ننشان داده میشود. درفصل سوم روش پتروگالرکین وپتروگالرکین تکراری برای معادلات انتگرال فردهلم همرشتاین غیر خطی با استفاده از پایه های موجک چندگانه به کار می رود و نشان داده می شود که خاصیت تنکی در معادلات غیر خطی نیز برقرار است.

در این پایان نامه،ما مفهوم زیرفضاهای تکمیل شده تقریبی فضای نرمدارو جبرهای باناخ تصویری تقریبی را مطالعه میکنیم.نشان داده خواهد شد که زیرفضای یک فضای باناخ دارای خاصیت تقریب،این خاصیت را به ارث میبرد اگر و تنها اگر تکمیل شده تقریبی باشد.در این بررسی،نتایج متعدد در مورد رابطه میانگین پذیری و تکمیل شده تقریبی بودن زیرفضا وجود دارد. برای مثال،یک جبر باناخ میانگین پذیرایدآل چپ،راست یا دو طرفه واحد تقریبی راست،چپ یا دوطرفه میپذیرد اگروتنها اگر تکمیل شده تقریبی باشد.

نظریه نقطه ثابت و t-پایداری روشهای تکراری، از مفاهیم اساسی ریاضی هستند که در شاخه های مختلف مانند نظریه بازیها، معادلات دیفرانسیل، آنالیز عددی و غیره کاربرد دارند. در این پایان نامه t-پایداری روشهای تکراری و هم ارزی همگرایی روشهای تکراری مختلف را مورد بررسی قرار دادیم. این پایان نامه از چهار فصل تشکیل یافته است . در فصل اول به بیان تعاریف مقدماتی، در فصل دوم مطالب مربوط به هم ارزی همگرایی روشهای تکراری مختلف را مطرح کردیم. فصل سوم به مفهوم t-پایداری اختصاص دارد. تقریبا دو نوع مقاله در این خصوص وجود دارد. مقالاتی که به t-پایداری روشهای تکراری میپردازند و مقالاتی که به هم ارزی t-پایداری روشهای تکراری میپردازند. در فصل چهار به بررسی t-تقریبا پایداری روش تکراری مان پرداختیم که ابتدا با بیان مفهوم t-تقریبا پایداری و نگاشت فی-انقباضی، t-تقریبا پایداری روش تکراری مان را برای برخی نگاشتها بررسی کردیم.

در بعضی از معادلات انتگرال‎‎، محاسبه جواب دقیق کار دشواری است، در چنین مواردی جواب تقریبی این معادلات را به دست می آوریم. به این منظور، ابتدا روش های عددی را روی معادلات انتگرالی که جواب دقیقشان را داریم اعمال می کنیم. اگر خطا کوچک باشد و جواب تقریبی به جواب دقیق نزدیک باشد، رویه های موردنظر روش های خوبی هستند، سپس همگرایی آن ها را ثابت می کنیم. بنابراین می توانیم از این روش ها برای به دست آوردن جواب تقریبی معادلات انتگرالی که مقدار دقیق جواب را نداریم، استفاده نماییم. در این پایان نامه از چند جمله ای های لاگر ‎برای‎ حل معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم در بازه ‎$ (0‎, +‎infty) $ استفاده می کنیم. فصل اول، شامل تعاریف اولیه می باشد. در فصل دوم، ابتدا فضاهایی از توابع پیوسته را معرفی می نماییم سپس به بررسی یک فرآیند درونیابی می پردازیم. در فصل سوم، روش های عددی برای حل معادلات انتگرال مورد نظر را شرح می دهیم، همچنین خطای این روش ها را برآورد می کنیم. چند مثال که نتایج نظری را تصدیق می نماید در فصل چهارم آورده شده است. در فصل پایانی این روش ها را روی دستگاه معادلات انتگرال اعمال می کنیم

در این روش با استفاده از بسط یک تابع بوسیله ی تابع سینک و با تغییر متغیر نمایی به حل انتگرال و با بکار بردن آنها در قسمت انتگرالی معادلات انتگرال به حل تقریبی آنها می پردازیم.

در این پایان نامه نوعی روش تقریبی-تحلیلی به نام روش تکراری تغییراتی راتوصیف می کنیم. روش تکراری تغییراتی به طور گسترده برای حل انواع معادلات غیر خطی به کار گرفته شده است. برتری این روش نسبت به سایر روش ها، انعطاف پذیری و توانایی آن برای حل معادلات غیر خطی با دقت بالا است.

در این پایان نامه ابتدا روش ها‎ی آنالیز هموتوپی و اختلال هموتوپی برای حل انواع معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال به کار برده شده است و همچنین اصلاحاتی برای این دو روش آورده شده است. سپس این دو مقایسه شده اند. متفاوت از همه ی روش های تحلیلی، روش پیشنهادی لیائو، راه ساده ای برای کنترل و تنظیم همگرایی سری جواب ایجاد می کند و روش پیشنهادی هی یک روش ساده و کارا می باشد در فصل اول تعاریف و مطالب مقدماتی که در فصل های بعدی مورد استفاده قرار می گیرند، آورده شده است‎.‎ در فصل دوم روش آنالیز هموتوپی و اصلاحاتی برای روش و کاربرد آن ها برای حل معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال ارائه شده است‎.‎ در فصل سوم روش اختلال هموتوپی و اصلاحاتی برای روش و کاربرد آن ها برای حل معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال، ارائه شده است‎.‎ در فصل چهارم دو روش آنالیز هموتوپی و اختلال هموتوپی باهم مقایسه شده اند‎.

در این پایان نامه از پایه های موجک دابیشز براییافتن جواب های معادلات دیفرانسیل جزئییک بعدی بوسیله ی روش گالرکین استفاده می کنیم. پایه های گالرکین از تابع های دابیشز که دارای محمل فشرده هستند و یک پایه ی متعامد یکه برای l^2 (r)می سازند ساخته می شوند. نتایج نظری و عددی برای مسائل بیضوی از مرتبه ی دوم با انواع مختلف شرایط مرزی به دست خواهد آمد. همچنین تخمین خطای روش را به دست می آوریم و با جواب هایی که روش ساده ی تفاضلات متناهی برای این نوع مسائل پیشنهاد می کند مقایسه می کنیم. مشاهده می شود که روش حاضر انتخاب بهتری نسبت به دیگر روش های کلاسیک می باشد.

در این پایان نامه ما ساختار معادله کاماسا-هلم و انواع جواب هایی آن را مورد بررسی قرار داده و کاربردهای آن را بیان می کنیم.انواع روش های حل برای این معادله از جمله روش گالرکین گسسته محلی بیان می شود، ولی به دلیل کثرت کاربرد این معادله در شاخه های مختلف فیزیک و مهندسی ( هیدرولیک، سازه،مکانیک،هواشناسی و ...) بیشتر روش های بیان شده است که فرم بسته ای از جواب را ارائه دهد. چون در بیشتر مسائل مهندسی تجزیه وتحلیل جواب ها مورد نیاز است،بنابراین بدست آوردن فرم جوابی که نزدیک به جواب تحلیلی مسئله باشد ضروری است. به این دلیل روش های تحلیلی-تقریبی مانند روش اختلال هموتوپی، روش تجزیه آدمیان و روش تکرار تغییراتی را برای این معادله مورد بررسی قرار داده ایم.

مقاله به صورت زیر تشکیل شده است: در بخش بعدی چندجمله ای های لژاندر و ویژگیهای تعامد و بازگشتی آن را بررسی می کنیم. در فصل سوم با استفاده از روش گالرکین طیفی لژاندر، همگرایی برای جوابهای عددی معادلات انتگرال ولترا خطی نوع دوم بدست می آوریم، و همچنین روشهای عددی را پیاده سازی می کنیم. در فصل چهار، ما برخی از نتایج عددی را برای درستی دقت طیفی طرح پیشنهادی که نشان دادیم، منطبق با تجزیه و تحلیل تئوری خیلی خوب ارائه می دهیم، و همچنین مثالهایی به طور عددی آورده شده اند که با نتایج فرضی شرح داده می شوند.

: روش های عددی مثل روش های تصویری، روش هم محلی، روش نیستروم، روش تجزیه آدومیان و بعضی دیگر برای حل معادلات انتگرال ولترا-فردهلم استفاده می شود. هدف اصلی از این پایان نامه پس از بررسی توابع پایه ای متعامد قطعه ای ثابت و ماتریس عملیاتی به بررسی استفاده از این توابع مختلف و خطای ناشی از این بسط اشاره شده است. در ادامه به بکار گیری توابع پالس بلوکی دو بعدی در حل معادلات انتگرال ولترا غیر خطی پرداخته شده است. در این راستا یک روش کاربردی بر پایه استفاده از توابع پالس بلوکی در حل این نوع معادلات معرفی شده است. با استفاده از توابع پالس بلوکی قطعه ای ثابت و ماتریس عملیاتی انتگرالیری شده از آن معادلات انتگرال به یک دستگاه پایین مثلثی تبدیل می شود که این دستگاه به کمک روشهای مختلف تکراری قابل حل است.در مورد سرعت همگرایی و خطای روش بحث شده است. چندین مثال و نتایج عددی حاصل با استفاده از روش گفته شده مورد بررسی شده است.

در این پایان نامه با بررسی مراتب همگرایی و فوق همگرایی روش های چندتصویری شامل روش های گالرکین چندگانه و هم محلی چندگانه نشان می دهیم که نه تنها جواب تکراری جواب دقیق را در نرم سوپریمم با مرتبه همگرایی n^(-4k) تقریب میزند مشتقات جواب تکراری نیز جواب دقیق را با همان مرتبه همگرایی تقریب میزند. دو تحلیل عددی نیز برای ازمایش روش ها اورده شده است.

در این پایان نامه معادله ی انتگرال نوع دوم فردهلم با هسته ی منفرد ضعیف را حل می کنیم.بدین صورت که با استفاده از موجکهای هرمیت مثلثاتی بعنوان پایه تقریبی برای قسمت منفرد هسته ساخته و جایگزین می کنیم که استفاده از این نوع موجک برای گسسته سازی معادلات انتگرال به یک بلوک تکراری از ماتریس های قطری تقارنی ختم می شود که موجب می شود حجم محاسبات بسیار کم شده و هزینه محاسبه و ذخیره سازی تا حد زیادی کاهش یابد.

توابع مثلثی دو بعدی، پایه ای جدید برای بسط توابع دو متغیره معرفی شده است. خواص توابع مثلثی دو بعدی همانند توابع مثلثی یک بعدی می باشد. در واقع توابع مثلثی متعامد از تجزیه توابع پالس- بلوکی بدست می آید و توابع مثلثی دو بعدی، تعمیمی از نوع یک بعدی آن می باشد. در این روش تمام توابع مجهول و یا معلوم با استفاده از توابع مثلثی بسط داده می شود و با بهره جویی از ماتریس عملگر انتگرال گیری p، به سادگی معادله انتگرالی به دستگاه معادلات جبری تبدیل می شود. از حل این دستگاه، تقریبی از جواب معادله ی انتگرالی بدست می آید. مثال های ارایه شده بیانگر دقت مطلوب روش می باشد.

در این پایان نامه، هدف مطالعه موجک های لژاندر برای حل مسائل مقدار مرزی دسته ای از معادلات انتگرال - دیفرانسیل برای مراتب بالا با استفاده از تقریب توابع می باشد. از موجک های لژاندر پیوسته در بازه ‎ [0,1) ‎ برای حل معادلات انتگرال - دیفرانسیل نوع دوم خطی استفاده می کنیم و فرمول مربع را برای محاسبه ضرب داخلی هر تابع می سازیم که برای تقریب معادلات انتگرال - دیفرانسیل مورد نیاز است. از ویژگی های موجک های لژاندر همراه با روش انتگرال گیری گاوسی به منظور کاهش حل معادلات جبری غیرخطی استفاده می کنیم. همچنین یک روش معتبر برای همگرایی روش موجک لژاندر هنگامی که دسته ای از معادلات غیرخطی مورد بحث قرار می گیرد را توضیح می دهیم. نمونه و مثال های گویا برای نشان دادن اعتبار و کاربرد این روش مورد بحث قرار گرفته است. نتایج به دست آمده توسط موجک لژاندر بسیار نزدیک به جواب دقیق می باشد که قابلیت اطمینان و بهره وری از روش پیشنهادی را نشان می دهد.

در این پایان نامه، هدف مطالعه ی موجک های لژاندر برای حل مسائل مقدار اولیه از نوع براتو است، که در نظریه ی احتراق حرارتی، احتراق سوخت و انتقال گرما بسیار کاربرد دارد. از ویژگی های موجک لژاندر همراه با روش انتگرال گیری گاوس برای کاستن مشکل حل معادلات جبری غیرخطی استفاده می شود. هم چنین یک روش مطمئن برای همگرایی روش موجک لژاندر برای حل رده ای از معادلات ولترای غیر خطی و تقریب خطای این روش نیز بحث شده است. مثال های نمونه برای نشان دادن درستی و کاربرد این تکنیک آورده شده است و نتایج با جواب های دقیق مقایسه شده است. سرانجام ما دقت بالا و موثر بودن این روش را نشان می دهیم.

در این پایان نامه روش جدید انتگرال گیری عددی تصادفی ‎(lr{riq})‎ یا به اصطلاح روش بدون شبکه بندی برای جواب های عددی معادلات انتگرال ولترای نوع دوم بسط داده شده است. روش ‎riq‎ بر روی تکنیک انتگرال گیری عددی تعمیم یافته ‎(giq)‎ پایه ریزی شده است و با تابع درونیابی کریجینگ مرتبط است، بطوریکه روش ‎riq‎ به عنوان یک بسط از روش ‎giq‎ مورد توجه قرار گرفته است. در روش ‎giq‎ دامنه محاسباتی منظم لازم است، بطوریکه نقاط گرهی میدان در امتداد یک خط مستقیم پراکنده شده اند. اما در روش ‎riq‎ نقاط گرهی میدان می توانند بطور تصادفی یا بطور یکنواخت پخش گردند. این با گسسته سازی معادله ی انتگرالی حاکم با روش ‎giq‎ روی یک مجموعه از نقاط گرهی مجازی که روی خطوط مستقیم قرار می گیرد و سپس درونیابی مقادیر تابع در نقاط گرهی مجازی روی تمام نقاط گرهی میدان که بطور تصادفی و یا بطور یکنواخت پراکنده شده اند، بدست می آید. در چنین حالتی معادله انتگرالی بطور تقریبی به یک دستگاه معادلات جبری خطی تبدیل می شود که می تواند به آسانی حل شود

در پایان نامه ی حاضر دو الگوریتم جدید مبتنی بر موجک هار پیشنهاد شده است، اولین الگوریتم برای حل عددی معادلات انتگرال فردهلم غیرخطی نوع دوم و دومی برای حل عددی معادلات انتگرال ولترای غیرخطی نوع دوم به کار می رود. این روش ها برای بهره برداری از مشخصات ویژه موجک هار در یک بعدی و دو بعدی طراحی شده اند. در مقایسه با روش های عددی دیگر مزیت استفاده از روش حاضر این است که در آن برای محاسبه ی انتگرال های موجود در معادلات انتگرال نیازی به استفاده از روش های عددی تکراری نیست. روش ها روی مسئله ی آزمون معتبر هستند و نتایج عددی با روش های موجود در این پایان نامه مقایسه می شوند. در نهایت چندین مثال عددی نیز برای نشان دادن کارآیی روش آورده می شود.

در این پایان نامه، کاربردی عددی از روش گالرکین سریع برای معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم را بااستفاده از موجک های تکه ای چند جمله ای نشان می دهیم. روی مسائل اساسی برای کاربرد عددی چنین روشی متمرکز می شویم که شامل یک انتخاب از استراتژی برش عملی، انتگرالگیری عددی انتگرال های منفرد ضعیف وکنترل خطای انتگرال گیری عددی می باشند.همچنین یک روش تکراری را برای حل دستگاه خطی فشرده شده حاصل به کار می بریم.

از لحاظ توسعه روش های حل معادلات دیفرانسیل پاره ای در قرن نوزدهم میلادی با روش جدا سازی متغیرها برای معادلات خطی بوسیله دالامبر،اویلر و سپس کارهای فوریه برای معادله حرارت ادامه یافت که به دنبال آن همگرایی سری های فوریه و انتگرال های فوریه مطرح شد و سپس تابع های هارمونیک حقیقی دو بعدی و توابع مختلط از یک متغیر مختلط در کار های ریمان در سال ‎1851‎ گسترش یافت و بالاخره گسترش بیشتر آن ها توسط نویمان و شوارتز و کرستوفل در سال ‎1870‎ انجام یافت. استفاده از روش تابع گرین ، برای حل مسائل مقدار مرزی به وسیله گرین در سال ‎1833‎ برای معادله لاپلاس با یک شرط مرزی دیریکله انجام شد ، سرانجام ، مسائل مقدار مرزی کلاسیک با شرایط مرزی دیریکله و نویمان برای معادله لاپلاس در ناحیه دو بعدی ‎$omegasubseteqbbb r^{2}$‎ باشرایط مرزی مربوطه ،توسط ریمان و حل پذیری آن ها به وسیله انتگرال دیریکله و کار اصلی پوانکاره ، در مورد وجود و یگانگی جواب معادله لاپلاس در اواخر قرن نوزدهم انجام شد. ادامه توسعه نظریه و روش های حل معادلات پاره ای در ابتدای قرن بیستم، با برنامه های هیلبرت و معرفی ‎23‎ مساله در کنگره سال ‎1900‎ پاریس شروع شد. از طرفی در سال ‎1974‎ اولین کنفرانس بین المللی حساب دیفرانسیل و انتگرال کسری در دانشگاه نیوهاون برگزار شد که کتابچه کنفرانس توسط اشپرینگر به چاپ رسید. در سال ‎1984‎ دومین کنفرانس بین المللی حساب دیفرانسیل و انتگرال کسری در شهر گلاسکو توسط دانشگاه استراچکلید برگزار شد.در این کنفرانس سوالات جذابی مطرح شد که تا کنون جوابی برای برخی از آن ها ارائه نشده است.از جمله این که ، تعبیر هندسی مشتق مرتبه کسری چیست؟ تا زمان های اخیر حساب دیفرانسیل انتگرال کسری به عنوان یک نظریه ریاضی محض بدون کاربرد در نظر گرفته می شد امّا در چند دهه اخیر موج گسترده ای در زمینه فعالیت های پژوهشی روی کاربردهای حساب دیفرانسیل انتگرال کسری در شاخه های مختلف علمی بوجود آمد که منجر به کشف کاربردهای آن در فیزیک از جمله پدیده انتشار و فرارفت ، کنترل سیستم ، امور مالی و اقتصاد شد.

روش های بازیابی برای مدل کردن پدیده ی تخریب و اجرای فرایند معکوس آن برای بازیابی تصاویر اولیه بکار می روند. برای حل مسأله با روش های جبری معمولاً با سامانه های بزرگی از معادلات همزمان سروکار داریم که با وجود شرایط معینی می توان پیچیدگی محاسباتی را به سطح مناسبی کاهش داد. در این پایان نامه با اعمال شرایط مرزی مختلف‏، به دنبال تقریب ضرب کرونکر ماتریس ضرایب برای کاهش محاسبات هستیم سپس تأثیر تقریب را در یک الگوریتم بازیابی براساس تجزیه مقدار تکین نشان می دهیم ‎‏که‎‎‎ باعث کاهش هزینه محاسباتی می شود و در نهایت به دنبال بدست آوردن تصویر دقیق از تصویر بلور شده با استفاده از روش های منظم سازی با کمترین خطا هستیم.

در‎‎ این پایان نامه‏ با استفاده از موجک ها که از مفاهیم قوی و پرکاربرد در ریاضیات و آنالیز عددی هستند‏، قاب های موجک ‏محکم را بر پایه ی تابع اسپلاین جعبه ای با هشت جهت ‏برای ‎‏تحلیل‎ تصویر ‏مطالعه خواهیم کرد. اسپلاین های جعبه ای توابع چندمتغیره، چندجمله ای تکه ای و بامحمل فشرده هستند که یکی ا‏ز انواع بی-اسپلاین های چندمتغیره ‎‎‏به حساب می آیند و با مجموعه ی بردارهای جهت خود مشخص می شوند. هم چنین قاب های موجک ‏محکم توسیع پایه های متعامد یکه اند و یک مزیت قاب ها این است که شامل تعدادی ‏توابع اضافی هستند. ما از این قاب های موجک ‏محکم اسپلاین جعبه ای ‎‎با هشت جهت‏ جدید ‏استفاده می کنیم و آن را برای ‎‏آنالیز لبه ی تصویر به کار می بریم.‎‎ مقایسه های کمی و کیفی این لبه یاب با روش های لبه یابی دیگر مزیت های این قاب موجک را نشان می دهد. به ویژه این روش در یافتن انواع لبه های تصویر‏، مانند لبه های پله (ناپیوستگی های موضعی در شدت)‏، لبه های دیراک (تغییرات ‏آنی در شدت) و لبه های پنهان (ناپیوستگی های موضعی در مشتقات شدت) توانایی دارد.

‏در این رساله مسائل اغتشاشی تکین (مسائل لایه مرزی) همراه با شرایط مرزی موضعی و غیرموضعی مورد بررسی قرار می گیرد که شامل آن دسته مسایلی است که معادلات دیفرانسیل آنها فاقد نقطه برگشتی می باشد‏، معادلات دیفرانسیل دارای نقطه برگشتی در فاصله جواب می باشند‏. در هر دو حالت بسط های مجانبی داخل و خارج لایه مرزی نوشته می شود. سپس روش کلی ارائه می گردد تا مسئله با شرایط مرزی غیر موضعی را به مسئله با شرایط مرزی موضعی تبدیل کند‏، این کار با محاسبه جواب اساسی معادله الحاقی و شرایط ضروری مربوط انجام می شود. این پروسه برای یک معادله مرتبه چهارم همراه با شرایط مرزی غیر موضعی به کار برده می شود. در نهایت یک مسئله اغتشاشی تکین که شامل دستگاه معادلات مرتبه اول خطی عادی با شرایط مرزی غیرموضعی می باشد مورد بحث قرار می گیرد و به کمک شرایط ضروری به دست آمده شرایط لازم و کافی ارائه می شود تا در مسئله اغتشاشی داده شده پدیده لایه مرزی تشکیل نشود‏، حالت های تشکیل لایه مرزی نیز بحث می شود.

روش کریزینگ‎ یک روش ‎‎‏زمین آماری برای درونیابی داده های مکانی است. مدل ریاضی کریزینگ بعد از اینکه آقای کریز ‎(d.g.krige)‎‏ به عنوان اوّلین کسی که نسخه اوّلیه این فرآیند مکانی را معرفی کرد به این نام نامگذاری شد. در این پایان نامه خلاصه ای از روش کریزینگ و برخی از فرمول های اساسی آن را ارائه می دهیم. پس از آن ایده کریزینگ جهانی را معرفی و نشان می دهیم که می توان‎ آن را برای فرموله کردن نوع جدیدی از روش غیر شبکه ای استفاده کرد. در آخر کاربرد هایی از درونیابی کریزینگ در روش غیر شبکه ای بیان و روش غیر شبکه ای کریزینگ جهانی (محلی) که برای ارتعاش آزاد صفحات درجه بندی شده تابعی استفاده شده را بیان می کنیم.

هدف اصلی این پایان نامه برطرف کردن یا به حداقل رساندن بلور ‎(تاری)‎ و نویز در تصاویر مشاهده شده است. این کار با ارائه روش گرادیان شرطی تیخانوف (cgt) و بکار گیری ضرب کرونکر و تقریب های تجزیه مقدار منفرد (svd)در حل دستگاه معادلات مربوطه، انجام گرفته است. بدین منظور‎ در این پایان نامه روش گرادیان شرطی را با روش منظم سازی تیخانوف ترکیب کرده و روش جدیدی معرفی می کنیم؛ همچنین همگرایی روش و چندین مثال عددی برای نشان دادن برتری روش پیشنهاد شده ارائه داده ایم.

در این رساله مساله بازیابی تصویر به وسیله یک دستگاه معادلات خطی مدل سازی میشود. با توجه به خصوصیات این دستگاه بر روی حل آن تمرکز کرده و سعی در یافتن جواب تقریبی مناسب برای آن داریم که در واقع همان تصویر بازیابی شده خواهد بود.

در این پایان نامه دو اجرای دیجیتال از یک تبدیل ریاضی‏، یعنی کرولت نسل دوم در حالت دو بعدی را شرح خواهیم داد. تبدیل دیجیتال اول بر پایه تبدیل فوریه سریع ناهم فاصله‏ است‏، درحالیکه تبدیل دوم بر پایه wrapping از نمونه های فوریه با انتخاب های خاص است. هر دوی تبدیل های دیجیتال یک جدول از ضرایب کرولت دیجیتال که با یک پارامتر مقیاس‏، یک پارامتر جهت و یک پارامتر موقعیت مکانی اندیس گذاری شده است‏، برگشت می دهند.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

در این پایان نامه روش بسط سری تیلور برای حل معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم با هسته های هموار و منفرد ضعیف به کار گرفته شده است ، این روش قبلا در [12] به کار گرفته شده بود، ولی در استفاده از این روش مشکل عمده ای وجود داشت که برای رفع این مشکل در [15] روش پیراسته سری تیلور ارایه شد. این پایان نامه سعی در توضیح چگونگی رفع مشکل در روش پیراسته بسط سری تیلور دارد. چند مثال عددی برای نشان دادن قابلیت روش آورده شده است ، در فصل پایانی این روش بر روی یک خانواده از معادلات ولترای نوع دوم به کار گرفته شده است .