این پایان نامه برگرفته از مقاله زیر است g-frames and g-riesz bases, j. math. anal. appl. 322 (2006) 437-452."

در این پایان نامه عملگرهای ترکیبی و ضربی را که بوسیله نگاشتهای عملگر مقدار روی فضاهای بوخنر (لورنتس بوخنر و پایا بازارایشی بوخنر ) تولید می شوند را موردمطالعه قرار داده، بسته بودن برد، فشردگی و طیف آنها را بررسی می نماییم. در ضمن این پایان نامه براساس مرجع زیر تنظیم شده است. s. c. arora, g. datt and s. verma, multiplication and composition operators on lorentz-bochner spaces, osaka j. math. 45 (2008), 629–641.

در این پایان نامه که بر اساس مقاله m.a. ruiz, d. stojanoff, some properties of frames of subspaces obtained by operator theory methods, j. math. anal. appl. 343 (2008) 366-378. تنظیم شده است، روابط بین عملگر ها ، پایه های متعامد یکه زیرفضاها و قاب های زیر فضابرای یک فضای هیلبرت جدایی پذیر بررسی می شود. شرایط کافی را روی پایه متعامد زیرفضاهای e = {ei}i?i در فضای هیلبرت h و عملگر پوشای t ? l(k,h) در نظر می گیریم بطوریکه {t(ei)}i?i یک قاب زیر فضاها نسبت به دنباله شمارا از وزن ها باشد. همچنین تعمیمی از نتایجی را بدست می آوریم که روابط بین قاب های زیرفضاها و تصاویر مایل را بیان می کند . مفهوم تظریف قاب های زیرفضاها به منظور بدست اوردن نتایجی درباره فزونی قابهای زیر فضاها معرفی می شود. همچنین مجموعه وزن های مجاز برای یک دنباله مولد زیرفضاها مورد مطالعه قرار می گیرد و نهایتا مثال های متعددی ارائه می شود.

در این رساله انواع مختلف قاب ها را در فضاهای هیلبرت و باناخ معرفی کرده و خواص آنها را بررسی می کنیم. ‎‎ ابتدا با الهام گرفتن از مفهوم ‎$x_{d}$-‎قاب ها، ‎$g-y_{v}$-‎قاب ها را در فضاهای باناخ معرفی کرده و عملگرهای ترکیب و تحلیل نظیر این قاب ها را با استفاده از مفهوم ‎$eta$-‎دوگان بدست می آوریم. همچنین مفهوم قاب های ‎$g$-‎باناخ را مطرح کرده و شرایط لازم و کافی برای وجود چنین قاب هایی را بدست می آوریم. سپس مفهوم عملگرهای ضربگر ‎$(x_{d}‎, ‎x_{d}^{*})$-‎بسل و ‎$(l^{infty}‎, ‎x_{d}‎, ‎x_{d}^{*})$-‎بسل را روی فضاهای باناخ معرفی کرده و نشان می دهیم که هر عملگر ضربگر ‎$(x_{d}‎, ‎x_{d}^{*})$-‎بسل یک عملگر فشرده می باشد. در ادامه به بررسی قاب های پیوسته می پردازیم و با بیان مفهوم دوگان قاب های پیوسته، شرایط لازم و کافی برای وجود و منحصر به فرد بودن دوگان یک قاب پیوسته را بدست می آوریم. همچنین با بکار بردن مفهوم قاب های پیوسته و ‎$p$-‎قاب ها بطور همزمان، مفهوم ‎$p$-‎قاب های پیوسته و دوگان این قاب ها را مطرح می کنیم. سرانجام به کمک تبدیل فوریه نوع جدیدی از قاب ها تحت عنوان دستگاه های شبه-فوریه را روی فضای هیلبرت ‎$l^{2}(mathbb{r})$‎ مطرح می کنیم و با در نظر گرفتن شرایطی روی مولدهای این قاب ها، ساختار صریحی برای دوگان این دستگاه ها می یابیم.

هدف این رساله، مطالعه قاب ها در فضاهای مختلف، به خصوص فضاهای باناخ و هیلبرت و استفاده از مفاهیم و ابزارهای مختلف آنالیزی برای توسعه و تعمیم قاب ها و بررسی ویژگی های آن ها به ویژه از دیدگاه پیوسته می باشد. ابتدا به بررسی بیشتر قاب های پیوسته پرداخته و با تعمیم مفهوم پایه های ریس، به مطالعه رابطه این تعمیم جدید با قاب های پیوسته می پردازیم. همچنین نتایجی در مورد ارتباط تصویرها و قاب های پیوسته، توصیف عملگرهای متناظر یک قاب پیوسته به کمک مفهوم اندازه پذیری بوخنر و انتگرال پذیری بوخنر و رده بندی عملگرهای هیلبرت-اشمیت به کمک قاب های پیوسته را بیان خواهیم کرد. سپس قاب های‎-(p,y) ‎عملگر بوخنر که در واقع حالت پیوسته قاب های ‎-(p,y)‎عملگر می باشد را معرفی می کنیم. در ادامه، مفهوم ‎-p‎قاب های زیرفضاهای بوخنر برای فضاهای هیلبرت را معرفی کرده و ویژگی های این نوع قاب ها را نیز بررسی خواهیم کرد. سرانجام، با الهام از ‎-pg‎قاب ها، مفهوم ‎-pg‎قاب های بوخنر برای فضاهای باناخ را معرفی خواهیم نمود و عملگرهای متناظر آن ها را معرفی کرده و مشخصه های این نوع قاب ها را بررسی خواهیم کرد و سپس ‎-qg‎پایه های ریس بوخنر را معرفی کرده و رابطه بین آن ها و ‎-pg‎قاب های بوخنر را مطالعه خواهیم نمود.

قاب های فیوژن اخیرا توسط پ.ج. کاسازا، جی. کاتینیوک و اس. لی در ارتباط با روند تعمیم و مرتبط بودن قاب های سرتاسری از قاب های موضعی مورد بررسی قرار گرفته است. در این پایاننامه نتایج جدیدی از دوگان قاب های فیوژن در فضای هیلبرت ارائه می گردد. در این پایان نامه به تاریخچه¬ای مختصر از پیدایش قاب¬ها می¬پردازیم و مقدمه¬ای کوتاه از تئوری قاب¬ها و قاب¬های فیوژن را بیان می¬کنیم. در بخش اول از فصل اول به بیان تعاریف و قضایای مقدماتی به کار رفته در پایاننامه می¬پردازیم. بخش دوم از فصل اول به تعاریف و قضایای قاب¬ها اختصاص دارد. در بخش سوم از فصل اول تعاریف و قضایای قاب¬های فیوژن مطالعه می¬شود. در بخش اول از فصل دوم قضایا و خواصی از قاب¬ها ذکر شده ¬است. در بخش دوم از فصل دوم به قضایا و خواصی از قاب¬های فیوژن اشاره می¬کنیم. در بخش سوم از فصل دوم شرایطی را بررسی می¬کنیم که رابطه فوق درست باشد. در بخش چهارم از فصل دوم قضایایی در مورد دوگان قاب¬ها و دوگان قاب¬های فیوژن آورده شده ¬است. در بخش اول از فصل سوم به معرفی عملگری می¬پردازیم که زوجی از دنباله¬های بسل فیوژن را به هم مرتبط می¬سازد. در بخش دوم از فصل سوم قضایایی از تجزیه¬های همانی مطرح شده ¬است. بخش سوم از فصل سوم به معرفی اغتشاش و اغتشاش¬موضعی می¬پردازد. بخش چهارم از فصل سوم به چند گزاره از اغتشاشات اختصاص دارد.