در این پایان نامه بازیهای مختلف را در حالتی که مولفه های ماتریس پرداخت به صورت اعداد معمولی، فازی و بازه ای باشند را مورد بررسی قرار دادیم و در هر حالت جواب بهینه بازی را بدست آوردیم.

هدف اصلی این پایان نامه بررسی موجک ها وقاب ها و ارتباط آن ها با فشردگی و لبه برداری تصاویر است. به علاوه فرمول بندی یک الگوریتم تجزیه با استفاده از قاب های موجکی چسبان بحث خواهد شد. همچنیین مثال های صریحی از کاربرد این موارد در پردازش تصویر و به خصوص در لبه برداری ارائه خواهیم کرد. نشان خواهیم داد که لبه برداری با استفاده از روش تجزیه قاب های موجکی جسبان در مقایسه با روش های دیگر مطرح شده در جعبه ابزار پردازش تصویر مطلب و روش های موجکی کلاسیک نتایج بهتری در بردارد.

در اغلب مسائل بهینه سازی، کمیت های مورد استفاده، داده های دقیقی نیستند بلکه وابسته به شرایط محیطی می باشند. بعنوان مثال، یک کشاورز به دلیل تغییرات آب و هوایی نمی تواند اطلاعات دقیقی از مقدار محصول خود داشته باشد. بنابراین در سالهای اخیر دو نوع مسائل بهینه سازی، یعنی برنامه ریزی تصادفی و برنامه ریزی فازی مورد توجه قرار گرفته اند. در این پایان نامه در فصل اول تعاریف احتمالی و فازی بیان می شود و در فصل دوم روش تجزیه دانتزیگ-ولف و تجزیه بندر برای حل مسائل با مقیاس بزرگ یا مسائل با ساختمان خاص قیدها را مورد بحث و بررسی قرار داده ایم. در فصل دوم برنامه ریزی خطی تصادفی دومرحله ای و چند مرحله ای معرفی می شود و خواص اساسی مربوط به آنها مورد بررسی قرار می گیرد و برای حل برنامه ریزی خطی دو مرحله ای روش l-شکل و برای حل برنامه ریزی خطی تصادفی چند مرحله ای روش تجزیه تودرتو ارائه می گردد ضمناَ با مثالهایی کاربردی در این فصل، به تشریح این روشها می پردازیم. در فصل چهارم روشهای ارائه شده در فصل سوم را برای حالتی که توزیع احتمال فازی است گسترش میدهیم.

در این پایان نامه، ابتدا با نحوه ی ترسیم شکل های ورونی در صفحه ی با نرم l2‎ آشنا می شویم. ترسیم این شکل ها به دو شیوه ممکن است. روش اول استفاده از الگوریتم جاروب صفحه است که در زمان o(nlog n)‎ شکل را ترسیم می کند. روش دوم که روش مثلث بندی نام دارد، روش مستقیم است که با استفاده از رسم عمودمنصف های بین هر دو نقطه و متصل کردن آن ها به هم، شکل ها را ترسیم می کند. در ادامه با الگو گرفتن از الگوریتم جاروب صفحه، مشابه آن را برای نرم های l_1‎ و l?‎ اجرا کرده، بنابراین شکل های ورونی در این نرم ها ترسیم خواهند شد. به علاوه برای نقاط موجود در صفحه، طریقه ی به دست آوردن مثلث بندی بهینه ی دوگان را شرح خواهیم داد. بررسی خواهیم کرد که معیارهای مشابه برای بهینه بودن مثلث بندی دوگان، در نرم های متفاوت وجود دارد. در ادامه صفحه ی ‎r2‎ را بررسی می کنیم به گونه ای که به جای وجود تنها یک نرم، نرم های مختلفی در آن وجود داشته باشند و شکل های ورونی حاصل را مورد بررسی قرار می دهیم. همچنین حالتی را بررسی می کنیم که در آن صفحه ی ‎r2‎ دارای تعدادی مانع باشد، از مثلث بندی دوگانی برای یافتن سلول های ورونی استفاده می کنیم. حالت بعدی مورد نظر بررسی صفحه ای با نرم فازی است یا این که نقاط به صورت فازی تعریف شده باشند. شکل های ورونی را برای این حالت ها ترسیم خواهیم کرد. همچنین الگوریتم جاروب صفحه را که برای فضای تک نرمی به کار می رود، به طور مشابه برای نواحی چندنرمی نیز به کار می بریم.

در فصل اول از نظریه فازی، مجموعه ها و اعداد فازی و همچنین حساب فازی روی این اعداد صحبت به میان می آید، سپس در ادامه به معرفی تعدادی تابع رتبه بندی می پردازیم. در فصل بعدی، با کمک تعدادی مفاهیم جواب در مسائل بهینه سازی فازی توانستیم دوگان لاگرانژ را در این محیط فرمول بندی کنیم و تحت این اعمال، قضایای دوگانی از مسائل را به راحتی ثابت نماییم. در ادامه شرایط k.k.t را برای مسائل خطی فازی، با فرض تحدب فازی بررسی نمودیم. در فصل سوم، سه رده مهم از مسائل برنامه ریزی خطی فازی را مورد بحث قرار دادیم. (1) مسائل برنامه ریزی خطی با اعداد فازی (2) مسائل برنامه ریزی خطی با متغیرهای فازی (3) مسائل برنامه ریزی خطی تماماً فازی در فصل چهارم، تعدادی قضایا و روابط دوگانی ارائه و ثابت گردیده است و در ادامه با کمک همین نتایج، به طور مستقیم یک الگوریتم سیمپلکس دوگان برای مسئله fvlp بسط داده شده است.

از آنجا که مسائل مکان یابی یک مبحث مهم در علم مدیریت و تخصیص منابع است مورد توجه بسیاری از محققان قرار گرفته است. بیشترین توجه ما در این پایان نامه مسئله مکان یابی بدون ظرفیت (uflp)است که در آن ظرفیت سرویس دهنده ها نامحدود بوده و هزینه ها برای استقرار سرویس دهنده های جدید مقادیر ثابت هستند.همچنین در این مسائل تعداد سرویس دهنده هایی که در جواب بهینه مستقر هستند از قبل مشخص نیست.تابع هدف مینیمم سازی مجموع هزینه های ثابت و هزینه های حمل ونقل بین تقاضاهاوسرویس دهنده ها است. در فصل اول تاریخچه مختصری از مکان یابی آورده شده است .در ادامه مسئله p-میانه معرفی می شود که به دنبال یافتن مکان pسرویس دهنده جدید هستیم به طوری که مجموع فاصله وزنی بین این سرویس دهنده ها وتقاضاها مینیمم شود. در فصل دوم برخی از روش های حل uflpاز قبیل روش دوگان-پایه ، دوگان لاگرانژین و تجزیه بندر معرفی می شوند و مقایسه ای بین آن ها صورت می گیرد. در فصل سوم ابتدا حالت فازی uflpرابررسی می کنیم و یک الگوریتم برای آن ارائه می نماییم. در ادامه حالت پارامتریک این مسئله را معرفی می کنیم و دو روش حل موثر برای یافتن جواب های بهینه آن ارائه می کنیم. در انتها در فصل چهارم یم مدل دو هدفه برای uflp معرفی می کنیم که یک تابع هدف ماکزیمم سازی سود و دیگری ماکزیمم سازی سودآوری سرمایه گذاری است.

یکی از مباحث بسیار مهم وکاربردی در حوزه مدیریت خدمات مسائل مکانیابی است. بسیاری از مراکز دولتی و غیر دولتی برای انجام پروژه های اجرایی خود از علم مکانیابی استفاده می کنند‏، برای مثال‏ ساختن یک بیمارستان و یا یک کارخانه در مرحله اول نیازمند تعیین مکان ساخت است، در اولی تلاش می کنیم که تا حد ممکن‎‎‏، مکان نزدیک به مراکز پر جمعیت باشد‏، چرا که بیمارستان یک مکان مطلوب است‏، ولی در دومی درصددیم تا حدامکان‏، مکان کارخانه از مکان های پر جمعیت شهری دور باشد. در این پایان نامه چهار نوع مسأله مکانیابی با نام های ‎‎‎ ‏‎‎‎‎‎‎1‎‎‎-میانه و 1-مرکز ‎را‎ در زمره مکانیابی سرویس‎‎دهند‎ه ‎‎‎‎های مطلوب و مسائل 1‎‎‎-ضد میانه و 1-ضد مرکز را به عنوان سرویس دهنده های نا مطلوب‏، در یک شبکه بدون جهت با رئوس و یال های وزن دار بررسی می کنیم. همینطور مسأله ‎‎‎‎p‎‎‎-میانه‎‎‎ به عنوان توسیعی از مسأله 1-میانه‏، تعریف شده و مورد بررسی قرار می گیرد. می دانیم که وزن رئوس شبکه که در واقع میزان تقاضای آنهاست همیشه مقادیری قطعی‎ نیستند‏، بلکه در اکثر مواقع متغیرهای تصادفی هستند. به همین دلیل مبحث مسائل مکانیابی احتمالی‎‎‎ به میان می آید. در این پایان نامه پس از بیان تعاریف و مقدمات مورد نیاز فصل اول‏، در فصل ‎دوم ابتدا مسأله 1-میانه را در حالت قطعی و بعد در حالت احتمالی مورد بررسی قرار می دهیم‏‏، سپس به بررسی مسأله 1‎‎-ضد میانه در این دو حالت می پردازیم. در فصل ‎سوم‏، مسأله 1‎‎-مرکز و سپس مسأله ‎1‎‎-ضدمرکز را در حالات قطعی و احتمالی بررسی می کنیم. در فصل چهارم روشی را برای یافتن جواب مسأله ‎‎‎‎p‎‎‎-میانه‎‎‎ در حالت احتمالی بیان کرده و ‎در‎ آخرین فصل این پایان نامه با استفاده از آنچه در فصول قبل بیان شده است‏، دو مسأله جدید با نام های مسأله ‎‎‎‎p‎‎-میانه احتمالی فازی و نیز مسأله ‎‎‎‎1‎‎‎-میانه احتمالی توأم با یال ها و وزن های تصادفی را مطرح کرده و به یافتن روش حل آنها می پردازیم.‎‎

مهمترین شاخه مسایل مکانیابی که در آنها به طور گسترده ای از نظریه بازی ها استفاده شده است مکانیابی تسهیلات رقابتی است. علیرغم مباحث مکانیابی که صرفا با هدف حداقل نمودن هزینه های حمل و نقل مطرح است، گروهی از مسایل مکانیابی وجود دارند که در آن شرکت های رقیب، به دنبال حداکثر نمودن سهم بازار خویش هستند. در این پایان نامه پس از بیان مقدمات و تعاریف ، بازی مکانیابی را بین تروریست و حکومت در نظر می گیریم که یک مسئله مکانیابی تسهیلات روی شبکه است.در این بازی تروریست قصد دارد به یکی از نواحی مهم کشور حمله کند و حکومت نیز با نصب تسهیلاتی که در اختیار دارد می خواهد مناطق مهم کمترنی جذابیت برای حمله را داشته باشد. مسئله را ابتدا برای حالت تک تسهیلاتی و سپس برای تعداد دلخواهی از تسهیلات حل می کنیم. در انتها نیز مسئله چانه زنی را بیان کرده و آن را با استفاده از نظریه بازی ها، حل می کنیم.

مسئله تخصیص درجه دو یکی از مسائل ترکیباتی بسیار سخت است که در این‎‎ پایان نامه مورد بررسی قرار می گیرد. در ابتدا با مسئله تخصیص درجه دوم ‏آشنا می شویم‏، سپس به معرفی تاریخچه‏، کاربردها و روشهای حل این مسئله می پردازیم و ‏در ادامه ‏روش جدیدی را مورد بررسی قرار می دهیم که برای به دست آوردن یک جواب خوب برای ‎‎‎‎qap‏، مسئله اصلی را به یک مسئله برنامه ریزی خطی عدد صحیح مختلط تبدیل می کند. در انتها نتایج آماری از تحقیقات انجام گرفته درباره مسئله تخصیص درجه دوم آورده شده است.

در این پایان نامه، ابتدا با مفاهیم اساسی شبکه مانند: دور، درخت، درخت فراگیر و غیره آشنا شده و از آنجا که فهم مساله درخت فراگیربه شناخت مساله یافتن کوتاهترین مسیر وابسته است، ابتدا به تعریف مساله یافتن کوتاهترین مسیر ‎‎‎می پردازیم. ‎‎پس از تعریف مساله کوتاهترین مسیر، به تعریف مساله درخت فراگیر کمینه پرداخته و شرایط لازم جهت بهینگی درخت فراگیر کمینه را بیان می کنیم. سپس مساله درخت فراگیر کمینه را در حالت های مختلف، با مقادیر ثابت و بازه ای مورد بررسی قرار خواهیم داد. در حل مساله درخت فراگیر کمینه با مقادیر ثابت، از الگوریتم های ‎«‎کروسکال، پریم و سولین‎»‎ استفاده می کنیم. دراین سه الگوریتم، یال ها با مقادیر کمتر به ترتیب وارد درخت شده و این عمل تا زمانی ادامه پیدا خواهد کرد که با اضافه شدن یال جدید به درخت، دور ایجاد شود. ‎سپس مساله درخت فراگیر کمینه با مقادیر بازه ای را بررسی می کنیم.در زندگی روزمره به دلایل متعددی قادر به تخمین قیمت واقعی یال ها نیستیم، زیرا تخمین قیمت واقعی یال ها به عوامل متعددی مانند شرایط ترافیکی، تصادف، شرایط آب و هوایی و غیره که پیش بینی آن ها بسیار مشکل است، وابسته است. به همین علت به جای استفاده از یک مقدار ثابت، از یک بازه عددی که تقریبی از قیمت واقعی یال ها به حساب می آید، استفاده می کنیم. ‎‎در این پایان نامه برای یافتن درخت فراگیر کمینه با مقادیر بازه ای، دو روش ‎«‎حل برنامه ریزی عدد صحیح مختلط‎»‎ و ‎«‎تجزیه بندر‎»‎ پیشنهاد می شود که به مراتب از روش های پیشنهاد شده اخیر سریع تر است

مسائل چند هدفه‏، رده ای از مسائل بهینه سازی اند که دارای کاربردهای فراوانی در شاخه های کاربردی نظیر مسائل کنترلی‏، مسائل آماری‏، مسائل مدیریتی و ... دارند. از این رو ارائه روشهای کارآمد برای حل این نوع مسائل‏، قابل توجه هستند. این پایان نامه، به حل دقیق مسائل چند هدفه می پردازد. در این پایان نامه‏، یک مساله چند هدفه خطی به یک مساله تک هدفه پارامتری تبدیل شده و سپس با روش اولیه - دوگان به حل آن پرداخته می شود. افراز بندی پارامتر مفروض مساله‏، به طرز بسیار جالب انجام پذیرفته به گونه ای که در هر بازه فقط یک جواب کارا بدست می آید. در ادامه به حل مسائل جریان شبکه دو هدفه می پردازیم‏، اگر چه روش مورد استفاده‏، روش اولیه - دوگان می باشد‏، ولی‏، فرم خاص محدودیت ها در مسائل جریان شبکه ای‏، کارآمدی الگوریتم اولیه - دوگان را به طرز چشمگیری افزایش داده و این کارآمدی در مثالهای حل شده‏، به وضوح نمود پیدا کرده است. همچنین با ارائه اصلاحی در الگوریتم به نتایج بهتری برای حل این مسائل دست می یابیم. در ادامه یک روش نقطه درونی برای حل مسائل چند هدفه غیر خطی محدب ارائه کردیم. در این روش بهترین جواب پارتو مساله محاسبه می گردد.

در این رساله دسته های خاصی از مسائل بهینه سازی غیر خطی شامل : -مسایل برنامه ریزی درجه دوم کلی -مسائل برنامه ریزی هندسی کلی -مسائل مجموع کسرهای غیر خطی را در نظر گرفته و با استفاده از تقریب خطی پارامتری الگوریتم هایی برای حل آن ها ارائه می دهیم که به جواب بهینه سراسری مسائل اولیه همگرا هستند.

دستگاه معادلات خطی ax=bرا در نظر بگیرید. فرض کنید ماتریس a نامنفرد باشد. در این پایان نامه با معرفی فرمول شرمن-موریسون چگونگی به دست آمدن تجزیه ای به شکل {udv^{t برای ماتریس {a_{0}^{-1}-a^{-1 شرح داده می شود، که در آن ماتریس نامنفرد {a_{0 به شکلی انتخاب می شود که معکوس آن به راحتی قابل محاسبه باشد. با استفاده از این تجزیه پیش شرطی برای دستگاه فوق محاسبه خواهد شد که به پیش شرط aism معروف است. روش های مختلف به دست آوردن تجزیه ی فوق منجر به تولید نسخه های متفاوت پیش شرط aism می شود، که در این جا دو نسخه ی سطری و ستونی الگوریتم شرمن-موریسون شرح داده می شود.اگر ماتریس a متقارن و دارای تجزیه ای به شکل {a=ldl^{t باشد، آن گاه ماتریس های l،$d$ و معکوس آن ها به صورت محصول فرعی الگوریتم شرمن-موریسون محاسبه می شوند. نسخه ی سطری الگوریتم شرمن-موریسون $l$ را ستون وار و {l^{-1 را سطر وار تولید می کند، این نکته برای حذف کردن درایه های ماتریس های $l$ و {l^{-1 از روش حذف بر پایه ی معکوس، بسیار حائز اهمیت است. با استفاده از این روش حذف کردن، تجزیه ی {ldl^{t ناقصی محاسبه خواهد شد که پیش شرط bif نامیده می شود. کیفیت نسخه های متفاوت پیش شرط aism، مقایسه ی آن ها با پیش شرط ainv و مقایسه ی پیش شرط های ضمنی bif و rif در این پایان نامه مورد بررسی قرار می گیرد.

برنامه ریزی عدد صحیح، اصطلاحی عام برای مدل های برنامه ریزی ریاضی با شرط عدد صحیح بودن متغیرهاست. مسائل برنامه ریزی صحیح مختلط یک شاخه اصلی از مسائل تحقیق در عملیات هستند که کاربردهای زیادی دارند، اما به دلیل وجود متغیرهای 1-0 و پیوسته روش حل دقیقی برای آنها وجود ندارد. مکان یابی نیز یک شاخه از مسائل تحقیق در عملیات است که کاربردهای زیادی در تخصیص منابع و کم کردن فاصله دارد. ما در این تحقیق سعی می کنیم این مسائل را با یکی از روشهای برنامه ریزی صحیح مختلط موسوم به روش بسط و تصویر حل کنیم. پس از بیان مقدمه و تعاریف اولیه، برنامه ریزی صحیح مختلط معرفی و روشهای صفحات برش، شاخه و کران و بسط و تصویر برای حل آنها بررسی می شود. در ادامه، برنامه ریزی فصلی که یک روش برای فرمولبندی مسائل بهینه سازی گوناگون از قبیل: برنامه های صحیح مختلط، مکان یابی وسایل و... است، معرفی می شود. در فصل سوم مسئله مکان یابی وسایل ظرفیت دار معرفی شده و در بخش نتایج عددی مثالهایی با ابعاد متفاوت از اینگونه مسائل به روش بسط و تصویر حل می شود.

مسأله مکان یابی در شبکه ها یکی از مهمترین شاخه ها در نظریه مکان یابی است. مسأله مکان یابی صف یکی از این مسائل است که در این پایان نامه به بررسی آن می پردازیم. این مسأله به منظور یافتن بهترین مکان سرویس دهنده متحرک فرمول بندی می شود. در اینگونه مسائل تقاضاهای تولید شده توسط مشتری ها برحسب یک الگوی تصادفی است، از این رو یک صف برای سرویس دهی شکل می گیرد. صف مکانی است که واحدهای دریافت کننده خدمت منتظر می مانند تا نوبت به آن ها برسد و نظریه صف بندی با سیستم هایی در ارتباط است که در آن ها ورود مشتری ها و سرویس دهی به آن ها حالت تصادفی دارد. با مکان یابی بهترین مکان استقرار سرویس دهنده، سرویس دهنده متحرک در شبکه مفروض به محل نقطه متقاضی حرکت می کند و پس از اتمام سرویس دهی در آن محل همواره قبل از سرویس دهی به تقاضاهای دیگر به مکان اولیه خود باز می گردد. با آغاز سرویس دهی تقاضاهای بی پاسخ وارد صف انتظار می شوند. شبکه مفروض به عنوان یک سیستم صف m/g/1 براساس نظم ها و اولویت های مختلف صف عمل می کند. در این پایان نامه پس از بیان تعاریف و مقدمات آماری و نظریه صف بندی، به بررسی و تحلیل مسأله مکان یابی صف روی شبکه های کلی و در حالت خاص روی شبکه درختی می پردازیم. هدف اصلی ما یافتن بهترین مکان سرویس دهنده با استفاده از مینیمم ساختن تابع هدف مسأله که متوسط زمان پاسخ گویی به مشتری ها است، خواهد بود. در فصل 3 مسئله را برای نظم های بدون اولویت و دو نظم اولویت دار حل کرده و نتایج عددی را برای آن ها مقایسه می کنیم. در انتها مدلی برای مسأله مکان یابی مسیر حرکت سرویس دهنده روی شبکه های درختی در حضور صف m/g/1 ارائه می دهیم.

مسأله مکان یابی مراکز با ظرفیت نامحدود، شامل مکان یابی یک تعداد از اماکن سرویس دهنده با ظرفیت نامحدود برای کمینه کردن مجموع هزینه های ثابت و هزینه های متغیر سرویس دهی از این اماکن به محل تقاضاها می باشد. در این پایان نامه، مسأله مکان یابی مراکز با ظرفیت نامحدود که از مسائل ‎np-hard‎ است را با سه الگوریتم فراابتکاری جستجوی ممنوع، ژنتیک و ازدحام ذرات حل کردیم. با توجه به کارایی زیادی که الگوریتم های فراابتکاری برای حل مسائل پیچیده و بزرگ، در زمان های کوتاه با جواب هایی با کیفیت بالا دارند، از این الگوریتم ها برای حل این مسأله استفاده کردیم. هدف اصلی پایان نامه، مقایسه میانگین زمان تا همگرایی، میانگین تعداد تکرار تا همگرایی، میانگین خطا و فرکانس همگرایی سه روش فوق در حل مسأله مکان یابی است، طبق نتایج بدست آمده الگوریتم ژنتیک کارایی بیشتری در حل این مسأله دارد.

در هنگام مواجهه با بسیاری از مسائل اقتصادی، اجتماعی، سیاسی و نظامی اغلب ناگزیر به تجزیه و تحلیل موقعیت هایی هستیم که در آن ها دو یا چند حریف اهداف متعارفی را دنبال می کنند و نتیجه اتخاذی آنها بستگی به خط مشی انتخابی رقبا دارد. چنین موقعیت هایی را، موقعیت های متعارض می نامند. نیاز به تحلیل چنین موقعیت هایی موجب بسط روش های ریاضی ویژه ای شده است که از آن ها تحت عنوان نظریه باز‎‎ی یاد می شود. در این پایان نامه اهمیت نظریه بازی را در مطالعه ی رقابت بنگاه های اقتصادی بررسی می کنیم و با معرفی بازی های رایج در بازار از جمله بازی کورنو، بازی برتراند و بازی استاکلبرگ نقش نظریه بازی را برای بدست آوردن مقادیر بهینه تولید و قیمت از طریق معرفی تعادل نش و در شرایط متفاوت ( با اطلاعات کامل، با اطلاعات ناقص و در محیط فازی) مورد بررسی قرار می دهیم. در انتها نیز بازی های شبکه ای با خدمات ائتلافی را همراه با مسائل بهینه سازی معکوس بررسی می کنیم‎.

مسائل مکانیابی یکی از مباحث بسیار مهم و کاربردی درحوزه مدیریت خدمات است. بسیاری از مراکز دولتی و غیردولتی برای انجام پروژه های اجرایی خود از علم مکانیابی استفاده می کنند. برای مثال ساختن یک بیمارستان و یا یک کارخانه در مرحله اول نیازمند تعیین مکان ساخت است. همچنین تعیین مسیر عبور شبکه فاضلاب شهری یا شبکه های حمل و نقل مانند مترو در زمره مسائل مکانیابی قرار می گیرند. در اینگونه مسائل هدف تعیین مسیری است که تا حد امکان کمترین فاصله ممکن را تا مشتری های موجود داشته باشد . مسائل مکانیابی شبکه در حقیقت مطالعه چگونگی قرار دادن یک و یا گاهی چند سرویس دهنده و یا مسیر عبور یک سرویس دهنده در یک شبکه است به گونه ای که مشتری های موجود را به بهترین شکل سرویس دهی کند. در این پایان نامه چهار نوع مسئله مکانیابی تحت عنوان مسائل مسیر میانه ،مسیر مرکزی، مسیر میانه مرکزی و مسیر میانه درختی را در یک شبکه با یال ها و رئوس وزن دار و غیر وزن دار بررسی می کنیم. در مسئله مسیر میانه هدف پیدا کردن کوتاهترین مسیری است که مجموع فاصله وزنی رئوس شبکه تا آن کمترین مقدار ممکن باشد. در مسئله مسیر مرکزی هدف پیدا کردن مسیری است که حداکثر فاصله مشتری ها از آن کمترین مقدار باشد. در مسئله مسیر میانه مرکزی هدف پیدا کردن محل بهینه یک مسیر با استفاده از ترکیب معیارهای بیشینه فاصله و میانگین فاصله مشتری ها از سرویس دهنده است. در مسئله مسیر میانه درختی هدف پیدا کردن زیر درختی با k برگ و طول حداکثر l است طوری که مجموع فاصله وزنی رئوس شبکه تا آن کمترین مقدار باشد.

نام خانوادگی دانشجو: جغتایی نام: ماهمنظر ش دانشجویی:8913132035 استاد راهنما: دکتر محمدتقی خداداد استاد مشاور: دکتر مهدی زعفرانیه دانشکده: ریاضی و علوم کامپیوتر رشته: ریاضی کاربردی گرایش: آنالیز عددی مقطع: کارشناسی ارشد تاریخ دفاع: 14/7/92 تعداد صفحات: 111 عنوان پایان نامه: استفاده از موجک لژاندر و چندجملهایهای بسل در حل معادلات دیفرانسیل کسری و معادلات انتگرو - دیفرانسیل کلیدواژه ها: موجک لژاندر، تابع بسل، نقاط هممحلی، ماتریس عملیاتی چکیده پایان نامه مشتمل بر سه فصل است که به صورت زیر مرتب شده است. در فصل اول مقدمهای کوتاه در مورد موجکها،‎ چندجمله ای های بسل، معادلات انتگرو-دیفرانسیل، معادلات دیفرانسیل کسری و یک سری مفاهیم پایه آورده شده است. در فصل دوم حل عددی دستگاه معادلات انتگرو-دیفرانسیل فردهلم خطی از مرتبه ی بالا بررسی شده که بدین منظور با استفاده از روابط ماتریسی بین چندجمله ای های بسل نوع اول و مشتقات آن ها با روش ماتریسی به حل این دستگاه معادلات می پردازیم. در فصل سوم ماتریس عملیاتی انتگرال کسری موجک لژاندر و ماتریس عملیاتی دیفرانسیل کسری کپوتوی چندجمله ای های لژاندر انتقال یافته را بدست آورده و از آن برای حل معادلات دیفرانسیل کسری خطی و غیرخطی استفاده شده است. در نهایت در پایان هر فصل چند مثال عددی نیز برای نشان دادن کارایی روش ها آورده شده است.

واحد های تصمیم گیرنده نظیر شرکت های تجاری،‎‎ صنعتی‏، خدماتی و همچنین مراکز آموزشی و علمی برای بالا بردن بازده ی بخش های متبوع خود، بمنظور حفظ جایگاه و ماندن در رقابت، بهره وری آن ها را در مقاطع مختلف زمانی ارزیابی می کنند. برای این منظور روش ‎تحلیل‎‎‎‎ پوششی داده ها (‎‎dea) که یکی از برجسته ترین روش های ارزیابی کارایی است‏، مورد توجه تصمیم گیران قرار گرفته است. ‎‎از طرف دیگر مسائل مکان یابی (موقعیت زیر واحدها) که‎ جایگاه ویژه ای به لحاظ تئوری و کاربردی دارند‏؛ با تمام اهداف پیش رو در بررسی کارایی مکان های منتخب ناتوانند. این کارایی زمانی در مکان یابی برجسته می شود که تصمیم گیران درنظر دارند موقعیت سایت های حساس و خطرزا‏، مسیرهای انتقال در زنجیره ی تامین‏ و نقاط محوری در یک شبکه ی توزیع و ... را انتخاب کنند. براساس این ضرورت در مکان یابی تسهیلات‏، در این پایان نامه مسئله ی مکان یابی تسهیلات با ظرفیت محدود‏، تسهیلات ناخوشایند و همچنین مسئله ی مکان یابی محور را معرفی و با ارائه ی مدل تجمیع همزمان ‎‎dea‎‎ به ارائه ی مدل های ترکیبی ‎‎-dea‎‎تخصیص‎‎/مکان یابی پرداخته ایم.

چکیده: در مسئله ماکزیمم جریان مقید با شبکه ای ظرفیت دار مواجه هستیم که در آن هر یال هزینه ای در بر داشته و هدف یافتن حداکثر جریانی است که می توان از یک منبع مشخص به یک مخزن مشخص به گونه ای ارسال کرد که هزینه کل از بودجه فراتر نرود‎. این مسئله شبیه بعضی از مسائل کلاسیک مختلف مانند، مسئله کوتاهترین مسیر مقید, مسئله حمل و نقل مقید یا مسائل تخصیص مقید است که همگی در عمل کاربرد مهمی دارند. مسئله ماکزیمم جریان مقید, خود دارای کاربردهای مهمی در زمینه هایی مانند: تدارکات و مکاتبات راه دور و شبکه های رایانه ای است. در این پایان نامه ما یک الگوریتم تخصصی سیمپلکس شبکه بسیار کارامد را ارائه می دهیم که بطور قابل توجهی از دو نوع حل مسئله lp رایج به نام های cplex و lp-solve بهتر عمل می کند. در انتها نیز گزارشی از نتایج حاصل از این مقایسات ارائه می گردد که حاکی از این است که بطور میانگین، زمان محاسباتی در این روش 27 برابر سریعتر از cplex با الگوریتم سیمپلکس دوگانش است که نزدیک ترین رقیب الگوریتم ما می باشد.

در نظریه گراف منظور از برش، تقسیم رئوس گراف به دو زیرمجموعه ناتهی جدا از هم s و (v/s) می باشد.یالهای برش به یال هایی گویند که بین این دو زیر مجموعه آن باشند. در مسئله برش کمینه هدف یافتن این دو زیر مجموعه به نحوی است که ظرفیت یالهای برش کمینه شود. با توجه به برابری مقدار جریان بیشینه با برش کمینه در گراف , روشهای اصلی مواجهه با این مسئله به دو دسته روشهای مبتنی بر جریان در گراف و سایر روشها تقسیم می شوند. در این پایان نامه به بررسی روشهایی از هر دو دسته می پردازیم. روشهای به دست آوردن جریان بیشینه در گراف های عمومی به دو دسته کلی الگوریتم های مسیر افزایشی و الگوریتم های ارسال پیش جریان تقسیم می شوند. در فصل دو به بررسی روشهای مبتنی بر جریان می پردازیم که تعمیمی از اولین الگوریتم مسیر افزایشی ارائه شده توسط فورد و فولکرسون می باشند و تفاوت اصلی آنها در نحوه انتخاب مسیر افزایشی است. از جمله روشهای غیر مبتنی بر جریان بررسی شده در این پایان نامه الگوریتم استور واگنر, الگوریتم کارگر و روشهای فرا ابتکاری جستجوی ممنوعه و شبیه سازی تبریدی می باشند.

مسائل مکانیابی هاب،شامل مکانیابی یک تعداد از گره های شبکه به عنوان هاب و تخصیص نقاط تقاضا به این مکان ها است. ما هاب ها را که بخشهای پرازدحام شبکه هستند،همانند یک صف m/g/1 مدل بندی میکنیم.در این پایان نامه دو مدل برنامه ریزی غیر خطی با محددیتهای خطی ارائه میدهیم که شامل مجموع هزینه های حمل و نقل روی یالهای شبکه و مجموع متوسط زمان انتظار در صف در کل شبکه است. علاوه بر آن به حل مسأله p-میانه پرداخته که تابع هدف آن مجموع متوسط زمان پاسخگویی به مشتریان در کل شبکه است. از آنجائیکه این مسائل پیچیده و بزرگ هستند،برای حل آنها از الگوریتمهای فراابتکاری استفاده میکنیم. هدف اصلی این پایان نامه، ترکیب مسائل مکانیابی هاب و صف m/g/1 و ارائه مدلهایی جدید و حل این مسائل با استفاده از الگوریتم ژنتیک و جستجوی ممنوعه است.

در این پایان نامه به بحث پیرامون کاربرد تحلیل پوششی داده ها و کاربرد آن در ارزیابی عملکرد موسسات پرداخته شده است.تعریف بهره وری، ارزیابی عملکرد و ... و نقش آن در جامعه امروزی بیان شده و ضرورت تحلیل و سنجش بهره وری بیان شده است.

سیاری از مسائل مهم فیزیکی و مکانیکی به معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال منجر می شوند، ولی در عمل تعداد کمی از این معادلات را می توان به روش تحلیلی حل کرد و جواب دقیق آنها را به دست آورد. بنابراین از روشهای عددی برای محاسبه جواب تقریبی آنها استفاده می کنیم. دراین پایانامه، روش آدومیان و روش خطی سازی را معرفی می کنیم. از روش آدومیان در حل معادلات دیفرانسیل منفرد خطی ، غیرخطی،همگن و ناهمگن و معادلات انتگرال خطی و غیرخطی نوع دوم استفاده می کنیم، و سپس نتایج بدست آمده روش آدومیان را با روش خطی سازی مقایسه می کنیم و نشان می دهیم که روش خطی سازی نسبت به روش آدومیان از دقت کمتری برخوردار است. سرانجام در پایان فصل های سوم و چهارم برای روشن شدن روش های گفته شده چند مثال عددی را حل می نمائیم

یکی ازمهمترین مسائل مکانیابی شبکه، مسئله پیدا کردن هسته است . دراین مساله هدف پیداکردن کوتاهترین مسیری است که مجموع فاصله وزنی رئوس شبکه ازآن کمترین مقدار ممکن باشد. درنتیجه با واقع کردن یکسرویسدهنده برروی آن دسترسی مشتری ها به سرویس دهنده تا حد امکان تسهیل می شود. درواقع برخلاف مسئله p-میانه که سرویس دهنده ها بر روی چند نقطه جدا از هم قرار می گیرند در مسئله هسته سرویس دهنده یک مجموعه پیوسته است که برروی یک مسیر قرار می گیرد. نوع دیگری از مسائل مکان یابی که به آن پرداخته شده است مساله مکان یابی میانه معکوس است که در آن مکان سرویس دهنده ها از پیش تعیین شده است وهدف تغییر وزن مشتری ها است بطوری که با صرف کمترین هزینه مکان های از پیش تعیین شده میانه باشند. مسئله هسته معکوس در واقع تعمیمی از مساله میانه معکوس است. دراین مساله مسیری جدید معرفی می شود و هدف تغییر وزن مشتری ها است به طوری که کمترین هزینه را داشته باشیم و مسیرجدیدبهینه باشد.?

از آنجا که مسائل مکان یابی یک مبحث مهم در علم مدیریت و تخصیص منابع است مورد توجه بسیاری از محققان قرار گرفته است. بیشترین توجه ما در این پایان نامه مساله هسته درخت است که در واقع مسیری است که مجموع فاصله وزنی همه رئوس درخت از آن کمترین مقدار ممکن شود. به عبارت دیگر در اینجا هدف اصلی بهینه کردن تابع هزینه است و مهم ترین کاربرد آن برای تعیین مکان سرویس دهنده های عمومی مانند قطار شهری?بزرگراه ها? آبراه ها? فاضلاب ها و مانند این است تا با پیدا کردن بهترین مکان برای آنها خدمات رسانی به شهروندان تا حد امکان تسهیل شود. در این مساله جمعیت مشتریها روی راسهای شبکه توزیع شده اند و هر راس دارای وزنی است که تعداد مشتری ها را نشان می دهد. در فصل اول تاریخچه ای از مکان یابی آورده شده است? در ادامه مساله p-میانه معرفی می شود که در آن هدف پیدا کردن چند نقطه مجزا برای قرار دادن چند سرویس دهنده جدا از هم مانند ایستگاه های مختلف آتش نشانی ? خدمات اورژانس ? ایستگاه ها و ترمینال های اتوبوس و غیره است بطوریکه با پیدا کردن بهترین مکان سرویس دهی به مشتری ها تا حد امکان بهتر شود. در فصل دوم به بررسی مساله یک –هسته و سپس یک-هسته با طول مشخص می پردازیم و الگوریتم هایی با پیچیدگی زمانی متفاوت برای حالتهای مختلف ارائه می دهیم. در فصل سوم ابتدا مساله دو-هسته را بررسی می کنیم و دو الگوریتم با پیچیدگی زمانی متفاوت برای دو-هسته مجزا و یک الگوریتم برای دو-هسته متقاطع ارائه می نمائیم. در ادامه مساله سه-هسته مجزا را پیشنهاد می دهیم و رابطه بین مساله دو-هسته و سه-هسته را بررسی می کنیم و یک الگوریتم کارا برای پیدا کردن سه-هسته ارائه می دهیم. در انتها در فصل چهارم پس از بیان یک مقدمه فازی? مساله هسته فازی را معرفی و بررسی می کنیم که در آن وزن رئوس ? طول یال ها و یا طول هسته اعداد فازی هستند.

در این پایان نامه به بررسی مساله مکان یابی پرداختیم که بخش اصلی آن مربوط به بررسی مساله p-میانه روی درخت بود و کاربرد آن را می توان درتعیین مکان مراکز شبکه های کامپیوتری، مراکز اداری ، مراکز نظامی و بسیاری موارد دیگر مشاهده کرد. در فصل اول به معرفی مساله –pمیانه و مسائل مرتبط با آن پرداختیم. فصل دوم مساله p-میانه با وزن مثبت را مورد بررسی قرار دادیم والگوریتم حکیمی را برای پیدا کردن p-میانه روی درخت با n راس معرفی کردیم. سپس الگوریتم گلدمن برای پیدا کردن 1-میانه روی درخت را معرفی کردیم این الگوریتم از مرتبه زمانی o(n) است . الگوریتم گاویش و اسریدهار از مرتبه o(n logn) را برای پیدا کردن 2-میانه روی درخت با n راس ارائه دادیم. درفصل سوم به معرفی مسائل p-میانه روی درخت با وزن مثبت ومنفی پرداختیم و الگوریتم ارائه شده توسط بورکارد و همکاران از مرتبه o(n3) برای پیدا کردن 2-میانه روی درخت با n راس را ارائه دادیم و الگوریتم بورکارد و فتحعلی از مرتبه o(n5) برای پیدا کردن 3-میانه روی درخت با n راس را بیان کردیم. همچنین شرایطی را برای برتری جواب مساله p-میانه بر p+1-میانه ارائه دادیم. در انتها به این نتیجه رسیدیم که مساله p-میانه نیز می تواند به صورت فازی تعریف شود. مثلا وزن رئوس را می توان فازی درنظر گرفت، میانه با وزن فازی میانه ای است که عرضه و تقاضای سرویس دهنده و مشتریها درآن متغیر وتابع شرایط است و ممکن است گاهی تمام تقاضاها برآورده نشود و گاهی عرضه از تقاضا بیشتر باشد. همچنین میانه را درحالتی که طول یال ها درآن متغیر باشد می توان درنظر گرفت زیرا گاهی ممکن است به دلایلی مانند ترافیک طول یالها ازحد معمول بیشتر شود. کارهایی که بعداز این می تواند انجام شود پیدا کردن میانه در حالتی است که وزن یا طول یالها یا هردو احتمالی باشند و یا اینکه تعداد میانه ها بیشتراز یکی باشد وارائه الگوریتم های مناسب جهت به دست آوردن بهترین جواب می باشد.

در این پایان نامه می خواهیم مقدار ماکزیمم جریان بازه ای را در یک شبکه ار یک مبدا مشخص به یک مقصد مشخص را با داشتن یک تعداد قیود بدست آوریم. در فصل اول از این پایان نامه، تاریخچه ای از روشهای حل این مسئله و تعاریف مورد نیاز از شبکه ها و نظریه گراف، همچنین بخشی از علم بازه ها آورده شده است. در فصل دوم مسئله ماکزیمم جریان و کوتاهترین مسیر معرفی می شود و چندین روش و الگوریتم برای حل هر دو مسئله ارائه می گردد که هر یک دارای مزایا و نواقصی هستندو به آنها اشاره شده است، ضمناً با مثال های کاربردی در این فصل به تشریح این الگوریتم ها می پردازیم. در فصل سوم الگوریتمی برای مقایسه بازه ها وحل مسئله کوتاهترین مسیر با یال های بازه ای ارائه شده که با حل دو مثال به تشریح این الگوریتم می پردازیم. در فصل چهارم نیز با استفاده از الگوریتم فصل سوم مسئله ماکزیمم جریان بازه ای را حل نموده و دو مثال در این زمینه حل کرده ایم. در فصل پنجم و انتهایی این پایان نامه یک مدل شبکه عصبی برای حل مسئله ماکزیمم جریان بازه ای ارائه شده است که از جمله مزایای آن سرعت همگرایی خوب در بدست آوردن جواب مسئله است.