در این پایان نامه، همه حلقه ها جابجایی و یکدار و همه مدول ها یکانی در نظر گرفته می شود. فرض کنید r یک حلقه و m یک r – مدول باشد. مدول m را ضربی می نامیم هرگاه به ازای هر زیرمدول n از m، ایده آل i از rموجود باشد به طوریکه n=im. هدف این پایان نامه بررسی مدول های ضربی منظم ون نویمن است. ابتدا مقدمه ای در مورد زیرمدول های پوچ توان که تعمیمی از ایده آل های پوچ توان است بیان می شود و نشان می دهیم مدول ضربی وفادار با تولید متناهی، منظم ون نویمن است اگر و تنها اگر دارای عناصر ناصفر پوچ توان نباشد و بعد کرول آن صفر باشد. همچنین مشخص سازی جدیدی برای رادیکال زیرمدول های یک مدول ضربی ارائه می شود و بویژه نشان می دهیم رادیکال هر زیرمدول یک مدول ضربی نوتری، اشتراک تعداد متناهی زیرمدول های اول می باشد. بعلاوه تعمیم هایی از زیرمدول های اول، یعنی زیرمدول های 2- جاذب و زیرمدول های 2- جاذب ضعیف معرفی و مورد مطالعه قرار خواهند گرفت.

گروه های لی پوچ توان با دو گام گروههای لی غیر آبلی هستند که تا حد امکان به گروههای آبلی نزدیکند، با این وجود خاصیتهای جالبی می پذیرند که چنین خاصیتهایی در گروه های آبلی مشاهده نمی شوند. در این پایان نامه به مطالعه هندسه گروههای پوچ توان همبند ساده با دو گام به همراه متریک چپ پایای ریمانی و فینسلری می پردازیم . می توان انتظار دیدن برخی خواص مشابه با فضاهای اقلیدسی مسطح را داشت . چنین خواصی همیشه موجود نیستند. برای مثال ولف نشان داد که هر گروه لی پوچ توان غیر آبلی با متریک چپ پایا باید هر دو انحنای مقطعی مثبت و منفی را بپذیرد و میلنر این نتیجه را به انحنای ریچی تعمیم داد. علاوه بر این میلنر در حالت کلی نشان داد که هندسه هر گروه لی g با متریک چپ پایا به طور قویی انعکاسی از ساختار جبر لی g وابسته به آن می باشد همانطور که خواهیم دید تعداد زیادی از نتایج این فصل این مطالب را روشن می سازد . برای مطالعه هندسه گروههای پوچ توان با دو گام به همراه متریک چپ پایا به روش کاپلن در ]13[، عمل کرده و ترکیب اصلی آن را توضیح می دهیم . فرض می کنیم nیک جبر لی پوچ توان با دو گام به همراه ضرب داخلی <,> و n یک گروه لی پوچ توان همبند ساده با دو گام و با جبرلی n باشد . روی n متریک چپ پایا را طوری نظر می گیریم که توسط ضرب داخلی <,> رویn=t_e n تعیین می شود، سپس فرض می کنیم z نشان دهنده مرکز n و نشان دهنده مکمل متعامد z در n باشد . هر عضوz?z یک تبدیل خطی پاد متقارن با ضابطه تعریف می کند که در آن نشان دهنده الحاقی نسبت به ضرب داخلی <,> است. به طور معادل j(z) به ازای هر توسط معادله تعریف می شود که مکرر کاربرد دارد.

در این پایان نامه همه ی حلقه ها جابجایی و یکدار و همه ی مدولها یکانی در نظر گرفته شده است.ابتدا تعاریف زیرمدولهای اول و اول ضعیف بیان و سپس رابطه ی بین آنها بررسی میگردد.در ادامه ارتفاع تقلیل یافته ی زیرمدولهای اول و اول ضعیف بیان و مدولهای مسلسل و ثانوی معرفی میگردد.

مفهوم ریاضیات فازی برای اولین بار توسط زاده در سال 1965معرفی گردید. از آن زمان به بعد، بسیاری از ریاضیدانان تلاش های خود جهت ارایه مفهوم فازی در زمینه های مختلف ریاضی، از جمله جبر را آغاز نمودند. مفهوم ابر گروهها برای اولین بار در حدود 70 سال قبل توسط ریاضیدانان فرانسوی مطرح و مورد مطالعه قرار گرفت.امروزه ابر ساختارها در بسیاری از زمینه های علو ریاضی و کامپیوتر کاربرد دارد. در این پایان نامه ابتدا مفهوم اولیه ی مجموعه های فازی مورد بررسی قرار می گیرد. سپس برخی از ساختارهای جبری معروف را معرفی می نماییم. و خواص اساسی آن ها را بررسی می نماییم و ارتباط بین ابرمدولهای فازی و ابر مدولها را بررسی می کنیم. پس از تحقیق در مورد موضوع پایان نامه، نتایج جدید احتمالی نیز به پایان نامه اضافه خواهد گردید.

مفهوم ریاضیات فازی اولین بار توسط لطفی زاده در سال 1965 معرفی گردید. از آن به بعد بسیاری از ریاضیدانان تلاش های خود را جهت ارائه مفهوم فازی در زمینه های مختلف ریاضی از جمله جبر آغاز نمودند. امروزه جبر جابجایی فازی طرفداران زیادی در دنیا دارد. در این پایان نامه ابتدا مفاهیم اولیه جبر جابجایی فازی را مطالعه می کنیم. سپس زیرمدولهای اول فازی را مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم. مجموعه همه زیرمدولهای اول فازی یک مدول را مجهز به یک توپولوژی به نام توپولوژی زاریسکی می نماییم. در آخر هم طیف زیرابرمدول های اول کلاسیک را مورد مطالعه قرار می دهیم.

فرض کنیم که r یک حلقه جابجایی با یکه و m یک r- مدول یکانی باشد. r- مدول m را همضربی گوئیم هر گاه به ازای هر زیر مدول n از m، ایده آل i از r موجود باشد. به قسمی کهn=(0:_m i) در این پایان نامه، مدول های همضربی و برخی از خاصیت های آن ها را مورد بررسی قرار داده ایم. در این پایان نامه نشان داده شده است که هر مدول همضربی نامنفرد، نیم ساده و پروژکتیو است. همچنین مدول های همضربی خاصی در شراط *5ab صدق می کنند. به علاوه نشان داده شده است که هر مدول همضربی و نوتری، آرتینی است

در این پایان نامه r یک حلقه ی جابجایی یکدار و m یک r- مدول یکانی است مگر آنکه خلاف آن ذکر شود. فرض کنید x یک مجموعه و l یک شبکه ی کامل باشد. یک تابع از x به l را یک زیرمجموعه ی l- فازی x می نامیم. ابتدا مقدمه ای را در مورد حلقه ها و مدول ها، زیرمجموعه های l- فازی و ایده آل های l- فازی و نیز زیرمدول های l- فازی می آوریم. همچنین مشخصات زیرمدول های l- فازی اول از یک مدول یکانی روی حلقه ی جابجایی و یکدار را بررسی خواهیم کرد. در پایان نیز توپولوژی زاریسکی روی طیف اول l- فازی یک مدول، که شامل مجموعه تمام زیرمدول های l- فازی اول مدول می باشد را بررسی خواهیم کرد و نشان خواهیم داد که برای l- تاپ مدول ها توپولوژی زاریسکی روی (l-spec(m موجود است.

فرض کنید h یک مجموعه ی ناتهی باشد. در اینصورت هر نگاشت مانند o:h×h?p*(h) یک ابرعمل 2-تایی روی h نامیده می شود که در آن مجموعه ی همه ی زیرمجموعه های ناتهی h می باشد. h را یک ابرساختار می نامیم هرگاه به یک ابرعمل مجهز باشد. مفهوم ابرساختارها برای اولین بار در سال 1934 توسط مارتی ارائه شد. پس از آن دانشمندان متوجه شدند که ابرساختارها کاربردهای فراوانی در علوم محض و کاربردی دارند. همچنین مفهوم مجموعه های فازی در سال 1965 توسط لطفی زاده پیشنهاد گردید و این مفهوم ابزار توانمند و کارآمدی را برای توصیف رفتار سیستم های پیچیده ارائه نمود. در این پایان نامه مبانی ابرحلقه های فازی معرفی خواهد شد. سپس خواص مقدماتی این دسته از ساختارها مانند زیرابرحلقه های فازی و همریختی های بین ابرحلقه های فازی مورد مطالعه قرار خواهند گرفت. همچنین روابط بین ابرحلقه ها و ابرحلقه های فازی را نیز مورد مطالعه قرار می دهیم. ?

مفهوم ابرساختارها برای اولین بار در سال 1934 توسط مارتی ارائه شد. پس از آن دانشمندان متوجه شدند که ابرساختارها در علوم محض و کاربردی کاربردهای فراوانی دارند. فرض کنید h یک مجموعه ناتهی باشد. در این صورت هر تابع مانند o?h×h?p^* (h) یک ابرعمل روی h نامیده می شود که در آن p^* (h) مجموعه همه ی زیرمجموعه های ناتهی h می باشد. h را یک ابرساختار می نامیم هرگاه به یک ابرعمل مجهز باشد. همچنین مفهوم مجموعه های فازی در سال 1965 توسط لطفی زاده پیشنهاد گردید و این مفهوم ابزار توانمند و کارآمدی را برای توصیف رفتار سیستم های پیچیده ارائه نمود. در این پایان نامه ابتدا مفهوم ابرمدول های l-فازی را معرفی می کنیم. سپس زیرابرمدول های l-فازی و ابرمدول های l-فازی خارج قسمتی از یک ابرمدول های l-فازی را معرفی می کنیم و خواص مقدماتی آنرا مورد مطالعه قرار می دهیم. در پایان نیز کاربردهایی از این مفهوم را بیان می کنیم.

فرض کنید r حلقه ای جابجایی و یکدار باشد. رادیکال پوچ r را با nil(r) نمایش می دهیم که برابر اشتراک همه ایده آل های اول حلقه r می باشد. ایده آل i از حلقه r را یک ایده آل غیر پوچ می نامیم هرگاه i ? nil(r). همچنین h را مجموعه ای از حلقه های یکدار و جابجایی در نظر می گیریم که رادیکال پوچ آن ها یک ایده آل اول تقسیم شده است. فرض کنید r ? hو t(r) حلقه کامل کسرهای r باشد. تابع ?: t(r) ? r_(nil(r)) را با تعریف ? (a?b) = a?b به ازا ی هر a? r و b ? r ?z(r)در نظر بگیرید. در این صورت ? یک همریختی حلقه ای از t(r) به تویr_(nil(r)) می باشد و تحدید ? به r با ضابطه ? (x) = x?1 برای هر x ? r نیز یک همریختی حلقه ای از r به r_(nil(r)) می باشد. ایده آل غیر پوچ i از r را ?-وارون پذیر نامیم هرگاه ?(i) ایده آل وارون پذیری از ?(r) باشد. اگر هر ایده آل غیر پوچ از حلقه r، ?-وارون پذیر باشد، آنگاه r را یک حلقه ?-ددکیند می نامیم. همچنین r را ?-کرول نامیم اگر ? (r) = ?v_i، که در آن هر v_i یک رو حلقه گسسته ?-زنجیره ای از ?(r) است و برای هر عضو غیر پوچتوان x ? r، ?(x) در تعداد متناهی ازv_i ها یکال باشد. در این پایان نامه ابتدا خواص حلقه های ?-ددکیند و ?-کرول را بررسی می کنیم. سپس رابطه بین این دسته از حلقه ها را با حلقه های ددکیند و کرول مطالعه می نماییم.

چکیده: فرض کنید ‎$ r $‎ یک حلقه جابجایی و یکدار و ‎$ t(r) $‎ حلقه کامل کسرهای ‎$ r $‎ باشد. زیر مدول ‎$ e $‎ از ‎$‎ -‎r $‎ مدول ‎$ t(r) $‎ را در نظر بگیرید و قرار دهید: ‎$ rowtie e={(r,r+e)|rin r,ein e} $‎. در این صورت ‎$ rowtie e $‎ یک حلقه یکدار و جابجایی است که آن را تکرار توأم حلقه ‎$ r $‎ به همراه زیرمدول ‎$ e $‎ می نامیم. این مفهوم اولین بار توسط آنا و فونتانا در سال ‎2006‎ مطرح شد‎.‎ حال فرض کنید ‎$ r $‎ یک حلقه یکدار و جابجایی و ‎$ m $‎ یک ‎$‎ -‎r $‎ مدول باشد. جمع و ضرب را روی ‎$ r imes m$‎ به صورت زیر تعریف کنید: به ازای هر ‎$‎: ‎(r_{1},m_{1}),(r_{2},m_{2})in r imes m $ ‎ ‎[ (r_{2},m_{2})+(r_{1},m_{1})=(r_{2}+r_{1},m_{2}+m_{1})~,~(r_{1},m_{1})(r_{2},m_{2})=(r_{1}r_{2}‎, ‎r_{1}m_{2}+r_{2}m_{1})]‎ در این صورت ‎$ r imes m $‎ با جمع و ضرب فوق یک حلقه جابجایی با عنصر یکه ‎(0و1)‎ است. این حلقه را ایده آل سازی ناگاتا می نامیم و آن را با علامت ‎$ rpropto m $‎ نمایش می دهیم‎.‎ در این پایان نامه ابتدا خصوصیات حلقه تکرار توأم ‎$ r $‎ به همراه ایده آل ‎$ i $‎ را مورد بررسی قرار می دهیم. همچنین ساختار ایده آل های این حلقه را مطالعه می کنیم.

نظریه نوین ابرساختارهای جبری که تعمیمی از نظریه ی ساختارهای جبری کلاسیک (سنتی) است، امروزه به سرعت گسترش یافته و رشته های مختلف علوم را در بر گرفته است. در نظریه ی ابرساختارها بر خلاف جبر سنتی که همواره ترکیب دو عنصر از یک مجموعه، یک عنصر از همان مجموعه را می دهد، یک مجموعه ی ناتهی حاصل ترکیب دو عنصر از یک ابرساختار است. هدف اصلی این پایان نامه آوردن یک مثال فیزیکی از ابرساختارهای وابسته به فیزیک ذرات بنیادی لپتون ها است. ما این گروه مهم از ذرات بنیادی را در نظر می گیریم و نشان می دهیم که این مجموعه همراه با برهمکنش میانشان می توانند توسط ابرساختارهای جبری توصیف شوند.