در این رساله به معرفی برخی توابع ویژه از جمله چندجمله ای های متعامد کلاسیک، غیر کلاسیک، گسسته و رده های دیگری از چندجمله ای های متعامد می پردازیم. در ادامه با استفاده از روش کالوکیشن مبتنی بر چندجمله ای های لاگور تعمیم یافته به حل عددی دسته ای از معادلات انتگرال با عنوان معادلات انتگرال نوع سوم پرداخته و همچنین آنالیز همگرایی روش پیشنهاد شده را در فضای سوبولف مطرح می نماییم. در بخش نتایج عددی با به کارگیری چند مثال مختلف و اجرای روش مذکور، نتایج به دست آمده در ارتباط با همگرایی روش را به صورت عملی تایید خواهیم نمود.

چکیده رساله معروف است می gauss?turan در این پایان نامه به بررسی تعمیمی از روش های انتگرال گیری گاوس که با نام پردازیم، این نوع انتگرال گیری بر پایه چندجمله ای های درونیاب بنیادی هرمیت (یا چندجمله ای درونیاب بوسان ) متعامد تقریب زده می شود، در ابتدا به معرفی ساختار چندجمله - s بنا شده است که به کمک چندجمله ای های بیان gauss?turan متعامد می پردازیم سپس ارتباط این چندجمله ای ها را با روش انتگرال گیری -s ای های متعامد از -s می کنیم، در ادامه برای محاسبه ضرایب انتگرال گیری دو روش ارائه می دهیم. چون چندجمله ای های متعامد به کمک -s نوع چندجمله ای های متعامد گسسته است، روشی را برای محاسبه ضرایب چند جمله ای های نامه ?? سری ها بررسی می کنیم .در انتها مثال های عددی محاسبه می شود

در این پایان نامه انتگرال گیری عددی به روش گاوس-کرونرود مورد بررسی قرار گرفته است. روش حاضر یکی از تعمیم های مهم روش انتگرال گیری گاوس است که با انتخاب2n+1 گره، درجه دقت روش انتگرال گیری را تا 3n+1 افزایش می دهد.انتخاب گره ها بر اساس تابع وزن صورت می گیرد به این معنی که گره های کرونرود در واقع ریشه های چندجمله ای های متعامد مربوط به تابع وزن متناظر خواهند بود.همچنین برای برای محایبه گره ها و اوزان این روش دو لاری و کالوتی را به طور اجمالی بررسی می کنیم.در نهایت با ارائه مثالهای عددی روش انتگرال گیری گاوس کرونرود مورد بررسی قرار گرفته است.

در این پایان نامه به بررسی روش انتگرال گیری جدیدی بر پایه استفاده از مشتقات تابع می پردازیم. این روش با استفاده از تفاضل تابعی مشتق پذیر از بسط تیلور متناهی آن به عنوان تقریبی از انتگرالده، فرمول انتگرالی را ایجاد می کند که در ساختار آن مشتقات تابع مذکور بکار برده می شود. نشان می دهیم روش نام برده با استفاده از مشتقات mم تابع درجه دقتی معادل حداکثر m بار بیشتر از انتگرال گاوسی دارد. همچنین با استفاده از روش ضرایب نا معین و انتگرال گاوسی معادله ای را برای محاسبه مستقیم اوزان و گره های این قاعده به دست می آوریم و در ادامه به منظور محاسبه صریح تابع وزن مرتبط با این معادله با استفاده از نمایش پئانو تابع انتگرالده به معرفی تعمیمی از این قاعده می پردازیم. همچنین تعمیم دیگری از روش مذکور را ارائه می دهیم که در آن به جای بسط تیلور از تفاضلات تقسیم شده انتگرالده استفاده می شود و از این طریق تعداد نقاط تقریب را افزایش می دهیم. خطای حاصل از این روش نیز مورد بررسی قرار می گیرد.

امـروزه صنعت طـراحی اشیاء توسـط رایانه به سرعـت در حـال پیشرفت است، به طـوری که در چند سـال اخـیر نرم افزار های قدرتمندی بدین منظور طراحی و ساخته شده اند. در اکثر این نرم افزار ها از توابع ریاضی جهت تقریب شکل مورد نظر استفاده می شود. b´ezier، - اسپلاین وnurbs از جمله توابعی هستند که تا دهه ی اخیر مورد استفاده قرار می گرفتند. برای مثال نرم افزار گرافیکی rhino که برای طراحی اجسام سه بعدی به کار می رود، بر اساس توابع nurbs ساخته شده است. به دلیل محدودیت هایی که در استفاده از این توابع وجود داشت، در سـال 2003 thomas w. sederberg سطـح جدیدی به نامt - اسـپلاین را معـرفی کرد که نسبت به توابع قبلی از ویژگی های منحصربه-فردی برخوردار است (ر. ک. [1]). هم اکنون نرم افزار قدرتمندی به نام t-splines ارائه شده است که به همراه برنامه ی rhino جهت طراحی اجسام سه بعدی به کار می رود. (برای آشنایی بیشتر با کاربرد این نرم افزار به سایت http://www.tsplines.com/ مراجعه نمایید.) با توجه به ویژگی هایی که این تابع در مقایسه با توابع قبلی دارد، بر آن شدیم تا به مطالعه و تحقیق پیرامون این تابع و کاربرد آن در روش اجزای محدود برای حل معادلات با مشتقات جزیی بپردازیم. مطالب ارائه شده در این پایان نامه در چهار فصل به صورت زیر طبقه بندی می شوند: فصل 1: مقدمه و تعاریف اولیه. در این فصل به معرفی و بیان ویژگی های توابع b´ezier، - اسپلاین وnurbs می پردازیم. فصل 2: معرفیt - اسـپلاین. در این فصل نحوه ی تشکیل شبکه ی کنترل برایt - اسـپلاین از درجات مختلف بیان و ویژگی های آن بررسی می شود. فصل 3: معرفی الگوریتم پیاده سازی t- اسپلاین روی سطوح دو بعدی. در این فصل به ارائه ی الگوریتمی جهت به دست آوردن دنباله های گره ای متناظر با هر نقطه ی کنترل و تعیین سطح t- اسپلاین توسط نرم افزار mathematica می پردازیم. در این الگوریتم، شبکه بندی داخلی به صورت منظم در نظر گرفته شده است که صورت پیچیده و نامنظم آن می تواند در کارهای آتی مورد بررسی قرار گیرد فصل 4: کاربرد t- اسپلاین ها در روش اجزای محدود. در این فصل روش اجزای محدود را به طور مختصر توضیح و نحوه ی استفاده از توابع پایه ای در این روش برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی و به طور خاص معادلات سهموی ارائه داده می شود.

در این پایان نامه? ابتدا به تعریف رابطه تعامد بین چند جمله ای ها و معرفی چندجمله ای های متعامد کلاسیک پرداخته ایم. سپس توابع فوق هندسی و $q$ - فوق هندسی را معرفی نموده و روابط تعامد? روابط بازگشتی? معادلات دیفرانسیل مرتبط با این توابع و نمایش فوق هندسی و $q$ - فوق هندسی برخی توابع خاص از جمله توابع کلاس هان و $q$- هان را مورد مطالعه قرار داده ایم. در انتها گذر مختصری بر مسائل خطی سازی و مسائل اتصال بین چندجمله ای ها و ضرایب آنها در این کلاس از توابع داشته ایم.

در این پایان نامه چندجمله ایهای متعامد کلاسیک پیوسته به عنوان زیرکلاسی از رده توزیع های پیرسن مطرح شدهو به مطالعه چندجمله ایهای متعامد کلاسیک از متغیر گسسته مانند,meixner,hahn,charlierوkravchukمی پردازیم و ویژگی های آنها مانندمعادله تفاضلی مرتبه دوم،نمایش رودریگرز، نرم دو غیره را ارائه می دهیم.همچنین کران برای صفرهای چندجمله ایهای متعامد کلاسیک گسسته بیان کرده و تعمیم چندجمله ایهای متعامد کلاسیک گسسته را مورد مطالعه قرار داده ایم.

در این پایان نامه به معرفی و بررسی توابع فوق هندسی پرداخته¬ایم و بعضی از قضایای مهم bailey را که مربوط به مقداردهی و جمع¬بندی توابع فوق هندسی می باشد را مورد بررسی قرار داده ایم. همچنین روش های بدست آوردن تبدیلات این نوع توابع را به سه روش استفاده از محاسبه سری های پایین تر، استفاده از روش دوگال و قضیه کارلسون و با استفاده از انتگرال های مسیر بارنس، مطرح کرده ایم. در آخر نیز توابع أپل دو متغیره را بیان نموده و نتایجی از آنها را مورد مطالعه قرار داده ایم.

در این پایان نامه,کاربرد روش های چندگامی بهبود یافته روی مسائل مستقیم و معکوس را بررسی می کنیم. در ابتدا مسائل اشتورم لیوویل مستقیم را معرفی کرده،سپس روش های چندگامی را بیان می کنبم.در ادامه مسائل اشتورم_لیوویل معکوس را شرح می دهیم. سپس برخی از روش های چندگامی بهبود یافته را در نظر گرفته کاربرد آن ها را در حل این مسائل بررسی می کنیم.