زیرگروه h از گروه متناهی g را ti-زیرگروه نامیم هرگاه به ازی هر x ? g، h?h^x=h یا h?h^x=1. همچنین زیرگروه h را qti-زیرگروه نامیم هرگاه به ازای هر عضو نابدیهی از h مانند x داشته باشیم مرکزساز x در g مشمول نرمال ساز h در g باشد. گروه متناهی g را ti یا qti-گروه نامیم هرگاه هر زیرگروه آن ti یا qti باشد. همچنین گروه g را ati یا aqti نامیم هرگاه هر زیرگروه آبل آن ti یا qti-زیرگروه باشد. هدف ما در این پایان نامه مطالعه ی ati، ti و aqti-گروه های متناهی و همچنین دسته بندی کاملی از آنها است.

فرض کنیم ‎$s_{n}$‎ گروه متقارن از درجه ‎$n$‎، ‎$ n>5$‎ باشد. به ازای جایگشت های غیر همانی و دلخواه ‎$ alpha‎ ,‎eta in s_{n}$‎ ثابت می کنیم که ‎$ alpha^{s_{n}}eta^{s_{n}}$‎ حاصلضرب کلاسهای تزویج ‎$ alpha$‎ و ‎$eta$‎ در ‎$s_{n}$‎، هرگز یک کلاس تزویج نیست. بعلاوه اگر ‎$ n$‎ فرد باشد و مضربی از ‎3‎ نباشد، آنگاه ‎$ alpha^{s_{n}}eta^{s_{n}}$‎ به صورت اجتماعی از حداقل ‎3‎ کلاس تزویج متمایز است. همچنین در این پایان نامه در مورد آن جایگشتهای ‎$ alpha‎ ,‎eta in s_{n}$‎ بحث می کنیم که ‎$ alpha^{s_{n}}eta^{s_{n}}$‎ بصورت اجتماعی از دقیقا دو کلاس تزویج متمایز است

گروههای پوچتوان و کلاسهای تزویج

نشان خواهیم داد که هر جبر لی موضعاً متناهی از بعد شمارا روی میدان f که در یک تجزیه ریشه صدق کند و رادیکال موضعاً حل پذیرش برابر صفر می باشد، ضرورتاً تحویلی - ریشه خواهد بود.

همیشه ما در جستجوی تکنیکی برای تشخیص غیر ساده بودن گروه هستیم. یک روش مناسب برای این کار ساختن همومورفیسمی است که هسته ی آن واقعی و غیربدیهی باشد. یکی از فنون عمل گروه روی مجموعه است که در این حالت همومورفیسمی از گروه g به گروه جایگشتی القا می شود.دو روش کلی دیگر نیز وجود دارد که یکی نظریه ای از نمایش است که در آن همومورفیسمها را از g به گروه خطی عام در نظر می گیریم. سومین تکنیک ساختن همومورفیسم، استفاده از نگاشت انتقال است که قبلاً توسط برنساید نیز ارائه شده است. در این پایاننامه قضیه ی تِیت را بیان کرده و اثباتهایی از آن به روشهایی ارائه می دهیم.

در این پایاننامه ابتدا ساختار p-گروهها غیر دوری g را که هر زیرگروه ماکسیمال دوری x از آن در خاصیت هایی صدق میکتد. 1)هر زیرگروه h از g به طور واقعی شامل x باشد غیرآبلی باشد 2)زیرگروه x دقیقا مشمول یک زیرگروه ماکسیمال gباشد.

در سراسر پایان نامه فرض می کنیم l یک جبرلی با بعد متناهی روی میدان f باشد. در ابتدا جبرهای لی مقدماتی و a-جبرها وe-جبرها تعریف و قضایایی در رابطه با انها ارائه شده است. خاصیت جالب جبرهای لی مقدماتی این است که روی هرکدام از ایده آلهایشان تجزیه می شوند. در این پایاننامه نشان خواهیم داد که هر جبر لی مقدماتی روی میدان با مشخصه صفر تقریبا جبری است. در نهایت به دسته بندی جبرهای لی ساده مقدماتی حقیقی می پردازیم. جبر لی l را تقریبا جبری مینامیم هرگاه شامل مولفه های نیمساده و پوتوان تجزیه جردن-شوالی اعضای خودش باشد.

فرض کنید m زیرجبر ماکسیمال جبر لی دلخواه l باشد .زیرجبر c از l را یک تکمیل برای m می گویند هر گاه c مشمول در m مباشد اما هر زیرجبر محض c که ایده آلی از l است، مشمول در m باشد. مجموعه همه تکمیل های m را اندیس مختلط از m در l می گویند.از این مفهوم برای بررسی تاثیری که زیرجبرهای ماکسیمال در ساختار جبرهای لی دارند، استفاده می کنیم.بویژه مشخصه هایی برای جبرهای لی حلپذیر و زبرحلپذیر می یابیم.

در این پایاننامه به نتایج بیشتری در مورد ساختار a-جبرهای لی حلپذیر دست می یابیم. در گذشته نتاجی در مورد ساختار a-جبرها بدست آمده بود که با محدودیتهایی روی مشخصه ی میدان همراه بود که در این پایاننامه با گذاشتن شرط حلپذیری این محدودیتها از میان برداشته می شوند. در ابتدا به نتایج جزئی اما اساسی در مورد a-جبرها میرسیم که در ادامه از آنها استفاده میکنیم. نشان دادیم که a-جبرها نسبت به زیرجبر، خارج قسمت و جمع مستقیم بسته است و سری مشتق بر سری پوچتوان پایینی در این نوع از جبرهای لی منطبق است که با استفاده از استقرا نتیجه مطلوب بدست می آید. a-جبرهای لی لزوما متاآبلی نیستند اما با حلپذیر در نظر گرفتن a-جبر، جبر لی ما متاآبلی نیز خواهد بود. نشان دادیم که a-جبرهای لی حلپذیر روی هر جمله از سری مشتق خود شکافته می شود و این منجر به تجزیه a-جبر لی میشود که در این مورد نیز از اثبات اسقرایی استفاده کردیم. همچنین نشان داده می شود که ایده آلهای جبر لی l رابطه ی خوبی با این تجزیه دارند. همچنین اثبات کردیم که دو ایده آل از یک ‎a-جبر لی، چه موقع در مرکزساز همدیگر قرار دارند. بخشی از پایاننامه به بررسی a-جبرهای لی میپردازد که توان دوم جبر لی l در آنها پوچتوان است که به آن جبر لی کاملاً حلپذیر گوییم.a-جبرهای لی با این ویژگی متاآبلی اند که با این خصوصیت می توان موقعیت جبرهای پوچتوان ماکسیمال را بررسی کرد. بدینصورت که اگر u یک زیرجبر پوچتوان ماکسیمال جبر لی l باشد در اینصورت u بصورت جمع مستقیم اشتراک uبا توان دوم l و cنوشته می شود که cیک زیرجبر کارتان است. هم چنین به تفاوت تجزیه ی a-جبر لی l با در نظر گرفتن دو موقعیت متفاوت حلپذیری و کاملاً حلپذیری پی میبریم که در نوع خود جالب است. هرگاه جبر لی l دارای ایده آل می نیمال منحصربفرد wباشد در اینصورت lرا یکپارچه با یکپارچه ساز wگوییم. جبرهای یکپارچه نقش مهمی در کاربرد a‎-جبرها برای مطالعه انواع مانده‎ های متناهی دارند. بنابراین بررسی ویژگی های دیگری که آنها می توانند داشته باشند‏، ارزشمند است. نشان دادیم که اگر l یک a-جبر لی کاملاً حلپذیر یکپارچه باشد، زیرجبر های پوچتوان ماکسیکال l، توان دوم l، و زیرجبرهای کارتان l هستند. همچنی شرایط لازم و کافی بدست می آوریم برای اینکه یک جبر لی با ایده آل منحصربفرد، a-جبر لی کاملاً حلپذیر باشد. در بخش آخر پایاننامه نیز به بررسی a-جبرهای لی روی میدان بسته جبری پرداختیم که به طبع سنگینتر از مطالبی است که در بخشهای قبل به آن پرداخته بودیم که این پیچیدگی با بررسی جبر های لی ?-آزاد که کاملاً حلپذیر نیستند بوضوح نمایان است.

نظریه کاراکترها از جمله نظریاتی است که با استفاده از آن قضایای زیادی به اثبات رسیده است. از جمله این قضایا‏، ‎برنساید و قضیه فروبنیوس می باشد. با استفاده از نظریه کاراکتر ها ثابت می شود که کرنل یک زیرگروه است اما هیچ اثبات نظریه گروه تا بحال شناخته نشده است. در سالهای اخیر ریاضی دانان زیادی در این زمینه به مطالعه پرداخته اند و هرکدام از آنها زیرگروه بودن کرنل‎ را توسط نظریه گروه و تحت شرایط خاص به اثبات رسانده اند. این پایاننامه براساس مقاله ای از پائول فلاول تحت عنوان قضیه فروبنیوس و برخی اثبات های مستقل از کاراکترها تهیه و تنظیم شده است. در این پایاننامه سعی بر این است که برخی نتایج و اثبات های مستقل از نظریه کاراکترها برای قضیه فروبنیوس را بیان و اثبات کنیم. فرض کنید g یک گروه متناهی و h یک زیرگروه واقعی و غیربدیهی g باشد به طوری که برای هر g متعلق به g-h اشتراک h با مزدوجهایش در g بدیهی باشد در این صورت g را گروه فروبنیوس و h را یک متمم فروبنیوس می نامند. کرنل فروبنیوس ‎g منهای اجتماع مزدوجهای h در g است. ‎با استفاده از نظریه کاراکتر ها ثابت می شود که کرنل‎ یک زیرگروه است.

در این پایان نامه ثابت می کنیم که اگر همه زیرجبرهای پوچتوان ماکزیمال از یک جبر لی حل÷ذیر c-ایده آلی از آن باشند آنگاه جبر لی فوق حل÷ذیر است.

ساختار n-جبرلی متریک lروی میدان اعدادمختلط رامطالعه می کنیم.فرض کنیدl=s+rتجزیه لوی n –جبرlباشدبه طوریکه lوsزیرجبرنیم ساده از lاست.تعدادایده آلهای مینیمال تجزیه ناپذیرn-جبر لی متریک و مکمل متعامدrرا با(m(lنشان می دهیم.ثابت می کنیم که بعد فضای برداری پدید آمده با تمام فرم های دو خطی متقارن پایای ناتبهگون رویlبرابراست .

فرض کنید ‎g‎ یک گروه متناهی غیرآبلی و ‎x‎ یک زیرمجموعه از عناصر دوبه دو ناجابه جاشونده از g‎ باشد, به طوری که به ازای هرمجموعه ی دیگری از عناصر دوبه دو ناجابه جاشونده ‎y‎ در ‎g‎ داشته باشیم‎:|x|?|y|‎ دراین صورت گفته می شود که ‎x‎ دارای ماکزیمم اندازه است و اندازه فوق با ‎?(g)‎ نشان داده می شود. همچنین ‎?(g)‎ ماکزیمم اندازه ی دسته در گراف ناجابه جاشونده از گروه متناهی ‎g‎ است‎.‎ فرض کنید ‎z(g)‎ مرکز ‎g‎ باشد.گراف ناجابه جاشونده ازگروه ‎g‎ گرافی است که ‎g(g)‎ مجموعه ی رئوس آن است و دو راس متصل اند اگروتنهااگر جابه جا نشوند

چکیده ندارد.