بسط های لاگرانژی می توانند در فراهم کردن مدل های احتمال متعددی مفید واقع شوند. این مدل های احتمال در مسائل واقعی از جمله فرآیندهای شاخه ای، فرآیندهای صف بندی، سم شناسی زیست محیطی، انتشار اطلاعات، بوم شناسی، اعتصاب در کارخانجات، فروش محصولات جدید و تعداد محصولات برای سوددهی بهینه کاربرد دارند. توزیع های احتمال لاگرانژی رده وسیعی از توزیع های احتمال را تشکیل می دهند که خانواده های بسیار مهمی نظیر توزیع های پواسن تعمیم یافته، دوجمله ای منفی تعمیم یافته، سری لگاریتمی تعمیم یافته و سری توانی را در برمی گیرند. در این پایان نامه پس از ارائه مقدمه و مفاهیم اولیه، توزیع های احتمال لاگرانژی، توزیع های لاگرانژی موزون و نیز توزیع های لاگرانژی تعمیم یافته را مورد مطالعه قرار داده و ارتباط آن ها را با توزیع های لاگرانژی بررسی خواهیم کرد. در ادامه چند توزیع آمیخته لاگرانژی تعمیم یافته را بررسی می کنیم. سپس به تشریح چند توزیع شبه احتمال که بر اساس بسط های لاگرانژی ایجاد می شوند می پردازیم. در نهایت حالت چند متغیره توزیع های لاگرانژی را مورد توجه قرار خواهیم داد.

وقتی یک محقق یک نمونه از مشاهدات را منطبق با یک مدل تصادفی خاص ثبت یا جمع آور میکند مشاهدات ثبت شده به دلایل مختلف از قبیل غیر قابل مشاهده بودن برخی پیشامدها، تخریب جزئی مشاهدات و نمونهگیر با اطلاق شانس نابرابر به مشاهدات نمیتوانند به عنوان یک نمونه تصادفی از توزیع اولیه جامعه مورد بررسی قرار گیرند. در این حالتها یک توزیع مناسب و جایگزین برا مشاهدات ثبت شده توزیع موزون مرتبط با توزیع اولیه است. مفهوم توزیعها موزون بهطور گسترده در مطالعات قابلیت اعتماد، آنالیز بقا، بوم شناسی، مطالعات حیات وحش و جوامع بشر مورد استفاده قرار میگیرد. در این تحقیق بعضی مدلها کلی که منجر به توزیعها موزون میشوند را معرفی کرده و این توزیعها را در حالت یک متغیره و چند متغیره بررسی میکنیم و به طور خاصبه مطالعه توزیعها تعادلی و طول اریب میپردازیم. همچنین برخی نتایج ترتیببند تصادفی و حفظ کلاسها توزیع عمر تحت وزنی کردن را بررسی میکنیم. در نهایت از طریق اندازهها قابلیت اعتماد و با استفاده از توزیعها موزون مشخصهساز ها کلی از توابع احتمال به عمل آورده و همچنین از طریق رابطه آفین بین گشتاور اول توزیع اولیه و توزیع موزون مرتبط با آن مبحث مشخصهساز خانواده نمایی طبیعی و سر توانی را دنبال خواهیم کرد. هدف از انجام این تحقیق معرفی توزیعها موزون و آشنایی با برخی کاربردها آنها میباشد. مشخصهساز توزیعها احتمال با استفاده از ارتباط بین توزیع اولیه و توزیع موزون مرتبط با آن نیز از دیگر اهداف این پایان نامه است. واژگان

اغلب توزیع های گسسته کلاسیک مانند پواسون، دوجمله ای، دوجمله ای منفی و سری لگاریتمی متعلق به خانواده توزیع های سری توانی هستند. با وجود اهمیّت خانواده توزیع های سری توانی در پیشبرد مباحث مختلف آماری، در برخی مسائل کاربردی فاقد کارایی لازم می باشند. به عنوان مثال، این توزیعها بر روی داده های تجمعی و داده های شمارشی همبسته با پراکنش زیاد و با فراوانی متورّم (آماسیده) در صفر برازش مناسبی ندارند. از این رو، تعمیم های مختلفی از این خانواده جهت جایگزینی پیشنهاد شده اند. خانواده توزیع های سری توانی صفر آماسیده و پارامتر آماسیده دو مورد از این تعمیمها هستند که برخی خواص ساختاری آنها در این رساله مورد بررسی قرار خواهند گرفت. با توجه به اینکه ترتیب های تصادفی امکان مقایسه متغیرهای تصادفی را فراهم آورده و در برخی مدل های آماری پیچیده منجر به ارائه کران های مفیدی می شوند، در بسیاری از زمینه های پژوهشی از قبیل قابلیت اعتماد، فرایندهای تصادفی و غیره به کار رفته اند. در این رساله، با انجام مقایسه های تصادفی توزیع های سری توانی با آمیخته متناظرشان، به بررسی ارجحیّت ثابت یا متغیر بودن پارامتر توزیع های سری توانی می پردازیم. البته این مقایسه ها قبلاًً در مورد توزیع های پواسون، دوجمله ای و دوجمله ای منفی انجام شده است ولی در مورد برخی توزیع های دیگر خانواده توزیع های سری توانی، مانند توزیع سری لگاریتمی که یکی از معروف ترین و قدیمی ترین توزیع های این خانواده است، باقی مانده است. در این رساله، این مقایسه باقیمانده را انجام داده و نشان می دهیم با وجود پیچیدگی های ریاضی توزیع سری لگاریتمی، نتایج به دست آمده مشابه و در برخی موارد، متفاوت با نتایجی است که قبلاً در ارتباط با سایر توزیع های فوق الذّکر به دست آمده است. پس از این کار، با توجه به شباهتها و تفاوت های نتایج به دست آمده، مقایسه های تصادفی را به یک توزیع دلخواه متعلق به خانواده توزیع های سری توانی و آمیخته متناظرش تعمیم می دهیم. همچنین، در این رساله برخی خواص ساختاری تعمیم های صفر آماسیده و پارامتر آماسیده خانواده توزیع های سری توانی را در زمینه های مدپذیری و تقسیم پذیری بررسی کرده و نتایج تعدیل یافته ای در مقایسه با توزیع های کلاسیک این خانواده به دست خواهیم آورد. بعلاوه، عملگر کسر دوجمله ای را بر مبنای متغیرهای تصادفی برنولی صفر آماسیده و برنولی پارامتر آماسیده توسعه داده و تعریف توزیع های تک مدی و خودتجزیه پذیر گسسته را تعمیم می دهیم. سرانجام، به عنوان تعمیمی از توزیع هندسی، توزیع وایبل گسسته را مورد توجه قرار داده و توزیع وایبل معکوس گسسته را با ساختاری مشابه با توزیع وایبل معکوس پیوسته و وایبل گسسته کلاسیک به گونه ای تعریف می کنیم که توابع نرخ خطر و جرم احتمال آن نمایشی غیریکنوا هم داشته باشند و مانند توزیع وایبل معکوس پیوسته، نمودار کاغذ احتمال وایبل معکوس آن خطی باشد. با این حال، از روشهای کلاسیک براورد قادر به براورد پارامترهای این توزیع نیستیم، در نتیجه روشهای دیگری جایگزین کرده و دقّت و درستی آنها را از طریق شبیه سازی مقایسه خواهیم کرد.

همه ی ما ناراحتی انتظار کشیدن در صف را تجربه کرده ایم. متأسفانه این پدیده با افزایش تراکم جمعیت و شهری شدن روزافزون بیش از پیش گسترش می یابد. در ترافیک و یا برای پرداخت عوارض راه، در اتومبیلمان به انتظار می نشینیم، در فروشگاه های بزرگ برای پرداخت اقلام خریداری شده و در ادارات دولتی در صف به انتظار می ایستیم. ما به عنوان مشتری عموماً این گونه انتظار کشیدن را دوست نداریم و مدیران موسساتی که ما در صف های آنها می ایستیم نیز انتظار کشیدن ما را دوست ندارند، زیرا ممکن است این صف ها برای آنها هزینه هایی داشته باشد. علت اصلی تشکیل صف این است که تقاضا برای سرویس بیش از امکانات سرویس دهی می باشد. نظریه ی صف بندی به منظور تهیه ی مدل های ریاضی برای پیش بینی رفتار سیستم هایی که سعی دارند به درخواست های تصادفی سرویس دهند، تکامل یافته است. نظریه ی صف با مرتبط ساختن عواملی چون زمان انتظار در صف، طول صف و ... با خواص مفروض جریان ورودی به سیستم و شیوه های سرویس، طرح یک سیستم بهینه را برای کاهش خسارت ناشی از تشکیل صف می دهد. در این پایان نامه پس از ارائه ی مقدمه و مفاهیم اولیه، به مطالعه ی فرآیندهای تصادفی و زنجیره های مارکوف که لازمه ی نظریه ی صف است می پردازیم و سپس مدل های صف با یک سرویس دهنده و ورودی پواسن را بررسی می کنیم که ورود مشتریان می تواند به صورت یک یکی و یا گروهی باشد و اندازه ی گروه متغیری تصادفی است. در ادامه مدل های صف فوق را در صورتی که زمان سرویس مشتریان دارای تابع توزیع کلی باشد و سرویس دهنده دارای مرخصی های تکی یا چندگانه است بررسی کرده و به مطالعه ی اجزائی چون طول صف و تعداد مشتریان در سیستم و تابع مولد احتمال آنها در حالت پایا می پردازیم و زمان سرویس، زمان مرخصی، زمان انتظار در سیستم، دوره بیکاری و دوره ی اشتغال و ... و تبدیلات لاپلاس اشتیلیتس آنها را نیز در حالت پایا به دست می آوریم.

خانواده ای مهم از توزیع های آماری، خانواده ی توزیع های بینهایت بار تقسیمپذیر است. بینهایت بار تقسیمپذیری در حقیقت، یک ویژگی برخی توزیع ها و یا متغیرهای تصادفی است که امکان طبقه بندی و بررسی ساده تر آن ها را فراهم می سازد. این مفهوم برای اولین بار توسط دفینتی در سال 1929 معرفی گردید. این خانواده، توزیع های بسیاری را در بر می گیرد که از جمله مشهورترین آنها می توان به توزیع های نرمال، گاما، نمایی، پواسون، لاپلاس و ... اشاره نمود. از آن جا که چنین توزیع هایی در عرصه های مختلف کاربرد چشمگیری از خود نشان داده اند، بینهایت بار تقسیمپذیری به سرعت جایگاهی خاص در زمینه های مختلف مانند فرایندهای تصادفی، نظریه ی صف، مدل سازی و به ویژه مدل های مالی و اقتصادی یافته است. در این پایان نامه، هدف بحث و بررسی جنبه های مختلف این توزیع ها و خواص آن ها در حد امکان می باشد. از سوی دیگر، به بیان برخی از کاربردهای گسترده ی این مفهوم در بعضی از زمینه ها خواهیم پرداخت. به این منظور، ابتدا پیشینه ای از مفهوم بینهایت بار تقسیمپذیری ارائه خواهیم نمود. سپس برای آشنایی با این خاصیت در حد نیاز، تعاریف و مشخصاتی از آن را بیان و بررسی می نماییم. لازم به ذکر است یکی از کاربردهای مهم این مفهوم، در تشخیص و شناسایی توزیع هاست که این مطلب را نیز به طور مختصر مورد بحث قرار می دهیم. پس از آن، در صدد ارائه ی تصویری روشن از کاربرد بینهایت بار تقسیمپذیری در فرایندهای شاخه ای، فرایندهای تجدید، زنجیر های مارکوف و سیستم های صف بر خواهیم آمد. در ادامه، به جنبه ای متفاوت از این خاصیت اشاره کرده و از ترتیب های تصادفی جهت مشخصه سازی این توزیع ها در خانواده های طول عمر استفاده می کنیم.

خانواده توزیع های گوسی وارون از توزیع های نامتقارنی تشکیل شده است که به میزان قابل توجهی مشابه خانواده توزیع های گوسی در ارائه راه حل های ساده استنباطی در مدل سازی و تحلیل داده های مثبت چوله مورد استفاده قرار می گیرند. این توزیع به ویژه می تواند به عنوان مدلی برای طول عمر خرابی و بررسی قابلیت اعتماد یک سیستم با فرآورده های صنعتی به کار رود. در این پایان نامه، ابتدا خانواده توزیع های گوسی وارون و ویژگی های اصلی توزیعی و استنباطی آن مورد بررسی قرار داده می شود و توزیع های مرتبط با این خانواده از قبیل توزیع های نمونه گیری و گوسی وارون چند متغیره معرفی خواهند شد. سپس توزیع گوسی وارون تعمیم یافته و توزیع های گوسی وارون مورد بررسی قرار داده می شوند و خصوصیات آن ها معین می گردند. همچنین یک مدل جدید توزیع گوسی وارون معروف به توزیع گوسی نوع وارون را تعریف می شود و خصوصیات توزیعی و استنباطی آن مطالعه و کاربرد آن در یک مجموعه داده نشان داده می شود. بالاخره، توزیع گوسی وارون آمیخته مورد بررسی قرارمی گیرد و روش جدیدی برای محاسبه گشتاوهای توزیع ارائه می شود. سپس از آن برای انتخاب مدل استفاده می شود و کاربرد توزیع گوسی آمیخته با استفاده از چهار مجموعه داده تشریح خواهد شد

شکل توزیع ها در مسائل آماری با توجه به ماهیت ساختار آن ها متفاوت است. این توزیع ها اگر دارای یک مد باشند، تک مدی و اگر دارای چند مد باشند چند مدی نامیده می شوند. بررسی توزیع های تک مدی، اواخر قرن نوزدهم در ارتباط با تقریب توابع چگالی تک مدی به وسیله توابع تک مدی مشابه آغاز شد که هدف اصلی آن بهینه سازی و برنامه نویسی ریاضی بود. مفاهیم تک مدی و قویا تک مدی برای هر دو نوع توزیع های گسسته و پیوسته تعریف شده است و هر یک تعبیر جداگانه ای دارد. با پیشرفت نظریه توزیع ها، تک مدی به تک مدی قوی و نیز ?- تک مدی در هر دو نوع گسسته و پیوسته تعمیم داده شد و بعد از آن توجه زیادی را به خود جلب کرد. در این پایان نامه پس از ارائه مقدمات و تعاریف اولیه، مفاهیم تک مدی و قویا تک مدی را به همراه چندین مشخصه سازی بیان می کنیم. همچنین برای توزیع های ?- تک مدی خواهیم دید که با وجود تفاوت در تعریف گسسته و پیوسته، برای هر دو نوع روابط مشابهی برقرار است. سپس به دلیل اهمیت متغیرهای تصادفی مرتب شده در بسیاری از شاخه های آمار، این خواص را در این نوع متغیرها مورد بررسی قرار داده و بر اساس نتایجی که در این پایان نامه برای اولین بار ارائه می شوند، تک مدی بودن مقادیر رکورد، k- رکورد و آماره های ترتیبی تعمیم یافته را بررسی می کنیم. برخی از این نتایج، کارهای قبلی را به عنوان حالت خاص دربر می گیرد و برخی دیگر برای اولین بار است که در این زمینه مطرح می شوند. در آخر چند کاربرد خواص تک مدی و تحدب را در آمار و قابلیت اعتماد بیان می کنیم.

در این رساله پس از ارایه مقدمه و مفاهیم اولیه، توزیع چوله- نرمال را بررسی می کنیم. سپس تعمیم جدیدی از این توزیع ارایه می کنیم که هم برای تحلیل جوامع تک مدی و هم دومدی مناسب است. این موضوع به دلیل وجود اندک توزیع های دومدی رایج، ممکن است در تشریح جوامع دومدی عملاً بسیار سودمند باشد. به ویژه با ارایه مثالی از داده های واقعی ضرورت کاربردی آن را نیز تشریح خواهیم کرد. به دلیل کاربردهای فراوان توزیع لاپلاس در بسیاری از زمینه ها از جمله پدیده های اقتصادی، در این رساله، ساختار نامتقارنی از این توزیع ارایه می کنیم که انعطاف پذیری بالاتری نسبت به توزیع لاپلاس متقارن دارد. در واقع، با معرفی خانواده جدیدی از توزیع های چوله-لاپلاس به بررسی خواص آن می پردازیم. همچنین ارتباطی بین توزیع های چوله-لاپلاس بریده شده و نمایی تعمیم یافته وجود دارد که به آن خواهیم پرداخت. توزیع نمایی تعمیم یافته یکی از توزیع های چوله مهم در نظریه توزیع ها می باشد که کاربردهای فراوانی در تحلیل مدل های طول عمر دارد. این در حالی است که در بسیاری از مسائل عملی امکان دارد طول عمر یک وسیله بر مبنای یک مقیاس گسسته اندازه گیری شود. این موضوع نیاز به وجود توزیع های احتمال گسسته با خواص مطلوب، به خصوص در زمینه تحلیل داده ها، را خاطر نشان می کند. در این رساله، ساختارهای گسسته ای از توزیع نمایی تعمیم یافته ارایه می کنیم که برای تجزیه و تحلیل طیف گسترده ای از داده های گسسته نامنفی مناسب هستند. این ساختارها تعمیم هایی از توزیع های هندسی هستند و می توانند رقیب های مناسبی برای توزیع های گسسته کلاسیک باشند. مثال های تشریح شده در این رساله نیز حاکی از همین واقعیت هستند. هدف این رساله، ارایه ساختارهای توزیعی و احتمالی گوناگون در موضوع مورد بررسی است به طوری که هر یک از این مدل ها پاسخگوی نیاز محقق باشد و وی با توجه به نیار خود بتواند از هر یک از این ساختارها استفاده کند.

باورها از عدم اطمینان نتیجه می شوند. عدم اطمینان گاهی اوقات از یک فرایند تصادفی وگاهی به دلیل کمبود اطلاعات نتیجه می شود. در گذشته تنها راهکار در شرایط عدم اطمینان، نظریه احتمال بوده است. اما از چند دهه گذشته تا کنون، نظریه های گوناگون دیگری برای بررسی متغیرها و سیستم هایی که اطلاع نسبت به آنها کافی و دقیق نیست، ارائه شده اند. یکی از این راهکارها نظریه شواهد است. در سال های اخیر نظریه توابع باور یا نظریه دمپستر-شفر به عنوان تعمیمی از نظریه احتمال مورد توجه قرار گرفته است که امکان نمایش حالت های مختلفی از اطلاعات، یقین کامل تا عدم آگاهی کامل، را فراهم می کند. با توجه به نظریه، تابع باور یک روش برای استفاده احتمال ریاضی در قضاوت های ذهنی عرضه می کند. به طور کلی، تابع باور می تواند به عنوان یک تابع احتمال باشد که اصل های کلموگروف به جز اصل جمع پذیری را دارا است. تابع باور روی یک دامنه متناهی ? به هر زیر مجموعه از آن اعددی در فاصله [0,1] را اختصاص می دهد. یک مدل برای نمایش توابع باور مدل انتقال باور است. این مدل از نظر مفهومی مانند مدل بیز است. در این مدل باورها در دو سطح قرار دارند، یکی سطح باوری که باورها قبول می شوند توسط تابع باور اندازه گیری می شوند، و دیگری سطح شرط بندی که باورها می توانند برای تصمیم گیری استفاده شوند و توسط توابع احتمال اندازه گیری شوند. تفاوت این مدل با مدل بیزی در سطح باوری است. مدل بیزی این سطح را ندارد. قضیه بیز را می توان در چارچوب مدل انتقال باور تعمیم داد. قضیه بیز تعمیم یافته همان قضیه بیز کلاسیک است با این تفاوت که توابع باور جایگزین احتمالات می شوند. توسط قضیه بیز تعمیم یافته (gbt) می توان باورهای تحت یک فضای ? را وقتی مشاهده x?x در دسترس است را محاسبه کرد در صورتی که فقط باورهای تحت xبرای هر?_i?? معلوم است. همچنین توسط قانون ترکیب جدا سازنده می توان باور تحت فضای x را برای هر ??? محاسبه کرد. مدل انتقال باور را می توان تعمیم داد به صورتی که چارچوب تشخیص آن (دامنه) به مجموعه ای از اعداد حقیقی گسترش یابد. در این صورت تمام جمع ها در تعاریف اولیه به انتگرال تبدیل می شوند. سپس می توان مفهوم ترتیب های باوری را روی توابع باور تعمیم یافته بیان کرد. به طور کلی هدف این پایان نامه معرفی تابع باور و ارائه کاربردهای آن است. برای نیل به این هدف معرفی برخی تعاریف اولیه و اصطلاحات اولیه مورد نیاز است که به آن ها خواهیم پرداخت. همچنین به بحث پیرامون قانون جدا سازنده و نظریه بیز تعمیم یافته می پردازیم. در نهایت مفهوم انواع ترتیب بندی ها را روی توابع باور تعریف شده روی اعداد حقیقی بیان می کنیم. ترتیب های تصادفی در چارچوب مدل انتقال باور را ترتیب های باوری می نامند.

توزیع های آماری از مهم ترین ابزار های اولیه ای هستند که در هر موضوع و مبحث آماری مطرح و مورد نیاز هستند. مبحث قابلیت اعتماد یکی از شاخه های آمار است که امروزه به طور وسیعی در شاخه های مختلف علوم، پزشکی و مهندسی مورد استفاده قرار می گیرد. برای تعیین مدل مناسب برای داده های بقا و تجزیه و تحلیل های مربوط لازم است ابتدا کلیه توزیع هایی که می توانند به عنوان توزیع طول عمر داده ها قرار گیرند را مورد مطالعه قرار داده و مناسب ترین توزیع را انتخاب کرد. توزیع لیندلی از جمله توزیع های تک پارامتری طول عمر است که رقیب مناسبی برای سایر توزیع های طول عمر به حساب می آید. در این تحقیق به بررسی خواص این توزیع می پردازیم و به منظور استنباط در مورد پارامترهای آن روش های مختلفی را به کار می گیریم . به ویژه با استفاده از رکوردهای بالایی توزیع نیز پارامتر آن را برآورد می کنیم. همچنین با مطالعه پارامتر فشار- مقاومت توزیع مدل جدیدی در این زمینه ارائه می دهیم. علاوه بر این با مقایسه عملکرد مدل مخاطره های رقابتی لیندلی و نمایی در مورد کاربرد توزیع در این زمینه بحث می کنیم. از آن جایی که توزیع لیندلی به دلیل تک پارامتری بودن انعطاف پذیری کافی برای تحلیل انواع مختلف داده ها ی طول عمر را ندارد، به دنبال روش ها یی برای افزایش قابلیت های توزیع برآمده و از این رو با بیان توزیع لیندلی تعمیم یافته و لیندلی گسترش یافته مدل های جدیدی برای تحلیل داده های بقا ارائه می دهیم که قابلیت های ویژه ای نسبت به مدل های رایج گاما و وایبل دارند. در ادامه با بررسی ویژگی های توزیع های گسسته ی پواسن- لیندلی، دوجمله ای منفی ـ لیندلی و لیندلی گسسته، با چگونگی کاربرد آن ها در مدل ریسک تجمعی و مدل بندی تعداد تصادفات خودرو در مقایسه با سایر توزیع ها آشنا می شویم.

در متون آماری مدل های زیادی جهت توصیف و تحلیل داده ها ارایه شده که هر یک از آن ها برای نوع خاصی از داده ها مناسب است. در این میان‏، توزیع وایبل یکی از مهم ترین توزیع های آماری است که در آمار نظری و کاربردی نقش کلیدی دارد. به ویژه اهمیت این توزیع در تحلیل داده های طول عمر آشکار می شود. تابع توزیع وایبل ساختار ساده ای دارد و تابع نرخ خطر آن یکنوا می باشد. بنابراین برای تحلیل نرخ خطرهای غیر یکنوا مانند وان حمامی یا وان حمامی وارون مناسب نیست. از این رو بسیاری از پژوهشگران سعی کرده اند تعمیم هایی از توزیع وایبل ارایه نمایند که تابع نرخ خطر آن ها حالت های غیر یکنوا را نیز شامل شود. حاصل این تلاش ها ارایه توزیع های طول عمر جدیدی است که هر یک از آن ها به نوعی و متفاوت از دیگری توزیع وایبل را به عنوان حالت خاص در بر می گیرند. در این پایان نامه پس از ارایه مفاهیم مقدماتی و آشنایی مختصر با توزیع وایبل به معرفی روش های متداول تعمیم دادن توزیع های آماری می پردازیم. به عبارت دیگر با خانواده توزیع های مرکب‏، ارتجاعی و بتا آشنا خواهیم شد. سپس با استفاده از هر یک از این روش ها توزیع وایبل را تعمیم داده و ویژگی های توزیع های معرفی شده را بررسی خواهیم کرد. در هر یک از فصل های پایان نامه با استفاده از مجموعه داده های واقعی به بحث پیرامون توانایی هر یک از تعمیم های معرفی شده در زمینه تحلیل داده های واقعی می پردازیم. همچنین‏، ‏با استفاده از روش بوت استرپ اندازه های اریبی و خطای استاندارد برآوردگرها را برآورد کرده و بازه های اطمینان برای پارامترها در مجموعه داده های واقعی ارایه خواهیم نمود.