در این پایان نامه ابتدا نرم تانسوری ? را روی حاصل ضرب تانسوری دو فضای باناخ تعریف می کنیم و آن را به یک فضای باناخ تبدیل می کنیم. با استفاده از این فضای باناخ جبر عملگرهای ?_انتگرال و جبر عملگرهای ?-هسته ای را تولید می کنیم. پس از آن ضرب های آرنز و آرنز-منظمی جبر عملگرهای ?-هسته ای را مورد بررسی قرار می دهیم که بررسی شامل عملگرهای هسته ای، عملگرهای تقریب پذیر و عملگرهای 2-هسته ای ( به عنوان مثال ی از عملگرهای?- ) نیز است. از آنجا که وقتی جبر عملگرهای ?-هسته ای روی یک فضای باناخ غیر انعکاسی تولید شده باشد، آرنز-منظم نیست، بنابراین میزان آرنز-نامنظم بودن این جبر را مورد بررسی قرار می دهیم. برای این منظور ساختار مرکز توپولوژیک نوع اول و دوم این جبر را مورد بررسی قرار می دهیم. به ویژه نشان می دهیم که مرکز توپولوژیک نوع اول و دوم عملگرهای تقریب پذی ر متمایز هستند و هیچ کدام شامل دیگری نیست و هر دو به طور اکید شامل عملگرهای تقریب پذیر هستند. بر عکس آن برای فضای باناخ خاص تری نشان می دهیم مرکز توپولوژیک نوع اول و دوم عملگرهای هسته ای مساوی هستند. دقیقاً با روش هایی که به کار برده ایم به سادگی می توان مرکز توپولوژیک نوع اول و دوم عملگرهای فشرده را به دست آوریم، حتی اگر جبر عملگرهای فشرده با جبر عملگرهای تقریب پذیر مساوی نباشد.

حلقه ی توابع حقیقی مقدار پیوسته از یک فضای تیخونوف، c (x) ابزاری بسیار کارآمد برای توسعه ی همزمان و ایجاد ارتباط در دو شاخه ی جبر و توپولوژی است. در بسیاری ازموارد این حلقه به کمک مباحث پیچیده ی ریاضی که برای آن ها مثال های عینی ، کمیاب و یا نایاب است، می شتابد و بیان این مباحث را آسان می نماید. همچنین c (x)، به عنوان پلی قدرتمند ویژگی های جبری خود را با ویژگی های توپولوژیک فضای x ، مرتبط می سازد. در این متن، هدف بررسی یکی از این ویژگی های معادل، یعنی مفهوم مکمل هم صفر مجموعه است. در واقع با بیان این مفهوم، برای فضای x، چند ویژگی جبری حلقه ی c(x) است. در این متن نشان می دهیم چگونه با پیاده سازی مفهومی توپولوژیک (فشردگی)، برای یک حلقه وجود مکمل هم صفر مجموعه بودن را داریم. در نهایت مفهوم مکمل هم صفر مجموعه را برای زیرفضاها، حاصل ضرب ها و تصاویر پیوسته ی چنین فضایی تعمیم می دهیم.

فرض کنید l یک مشبکه ی کامل است. l را یک فریم گوییم هرگاه عمل رسند روی وست توزیع پذیر باشد و یک فریم جبری است هرگاه هر عضو l به صورت وست (سوپریمم) عناصر فشردهی l باشد. در این پایان نامه ضمن مطالعه و ارائه ی بسیاری از خواص فریمهای جبری وبه طور اخص بعد فریمهای جبری (اندازه ی بزرگترین زنجیر عناصر اول در یک فریم جبری)، باتکیه بر نتایج بدست آمده در سالهای اخیر، کاربرد آنها را در موارد گوناگون علی الخصوص مبحث c(x) و زنجیر z -ایده آلها در یک حلقه ی داده شده ی (c(x بررسی می کنیم. اگر x یک فضای تیخونوف باشد، (c(x را حلقه ی تمام توابع پیوسته حقیقی روی x تعریف می کنیم. نتایج بسیاری در بعد فریم های جبری روی فریم z -ایده آلها و d -ایده آلها بکار برده میشود. بعضی از فضاهای تیخونوف مانندشبکه p -فضاها و فضاهای متمم صفرمجموعه در این کاربردها بیشترین سهم را دارند و از اینرو بخشی از این مقاله صرف توضیح کاربردهای ذکرشده برای این فضاها میشود

به منظور تجزیه و تحلیل یک گروه موضعا فشرده دو روش مفید وجود دارد: توابع مثبت معین روی گروه g *c- جبر تولید شده توسط گروه g این پایان نامه به بررسی روش هایی متناظر با روش های فوق روی نیم گروه ها می پردازد. در برخی حالتهای خاص مثل نیم گروه آزاد تولید شده توسط n مولد داریم نیم گروه آزاد تولید شده روی n مولد گروه موضعا فشرده g هسته مثبت معین توابع مثبت معین جبر o_n (c*(g در این راستا در این پایان نامه با جبر o_n آشنا شده و خصوصیات این *c - جبر را مورد بررسی قرار داده و سپس به بررسی هسته toeplitz مثبت معین روی نیم گروه ها می پردازیم.

در این پایان نامه با چهار مفهوم کلی میانگین پذیری: میانگین پذیری تقریبی، میانگین پذیری تقریبی ضعیف، میانگین پذیری تقریبی دوری و n-میانگین پذیری تقریبی ضعیف سروکار داریم. در ابتدا به بیان تعریف و خواص میانگین پذیری (انقباض پذیری) می پردازیم. در ادامه با بیان چهار مفهوم میانگین پذیری، سعی می کنیم خواص موروثی این مفاهیم را مشخص کنیم. نتیجه اصلی ما، تحت بعضی شرایط ضعیف بر روی جبر باناخ aاست، اگر دوگان دوم جبر باناخ (2n-1)میانگین پذیر(تقریبی، ضعیف و تقریبی ضعیف) باشد& آنگاه aنیز چنین است. همچنین اگر جبر باناخ (n+2)-میانگین پذیر تقریبی ضعیف باشد، آنگاه n-میانگین پذیر تقریبی ضعیف است. علاوه بر این رابطه بین خاصیت توسیع تقریبی رد و میانگین پذیری تقریبی ضعیف (میانگین پذیری دوری) را بررسی کردهایم.

از جمله نقاط دیگری که در این پایان نامه می توان به آن اشاره کرد نقاط دور است که ارتباط نزدیکی با نقطه پرت دارد. همچنین در این پایان نامه نقاط ضعیف و تک افتاده را مورد بررسی قرار می دهیم و کاربردهای آن را نشان می دهیم و به کمک این نقاط، ناهمگنی فضاهای تیخونف را اثبات می کنیم . همچنین شرایط وجود نقاط پرت در فضاهای تیخونف را بررسی کرده و ثابت می کنیم که اعداد حقیقی شامل نقاط پرت هستند.

دیدونه در سال ‎1944‎ میلادی برای اولین بار فضاهای هاسدورفی، که هر پوشش بازشان دارای یک تظریف باز موضعاً متناهی بود را فضاهای پیرافشرده نامید. ما در این رساله ضمن تعریف مفهوم پیرافشردگی، به بررسی برخی از معادل ها، میزان ارثی بودن، حاصل جمع، حاصل ضرب دکارتی، جایگاه و توابعی که این خاصیت را حفظ می کنند می پردازیم. گردایه وار نرمال و گردایه وار هاسدورف به ترتیب دومین و سومین خواصی هستند که به معرفی و بررسی آنها می پردازیم. یک فضای را گردایه وار نرمال گوییم، هرگاه هر خانواده گسسته از زیرمجموعه های بسته آن دارای تفکیکی باز باشد. همچنین یک فضای توپولوژیک را گردایه وار هاسدورف گوییم، هرگاه هر زیرمجموعه گسسته و بسته آن دارای تفکیکی باز باشد. ما به همان شیوه بررسی خاصیت پیرافشردگی به بررسی این خواص نیز می پردازیم.

حلقه ی توابع حقیقیمقدار پیوسته از یک فضای تیخونوف،(c(x، ابزاری بسیار کارآمد برای توسعه ی همزمان و ایجاد ارتباط بین دو شاخه ی جبر توپولوژی است. ما در این پایان نامه به طور ویژه این حلقه را مورد توجه خود قرار داده و هدفمان ارائه ی روشی برای حل مسئله ای است که به وسیله ی ام هنریکسن و ام جریسون درباره ی فضای ایده آل های اول مینیمال در سال 1961 و 1965 مطرح شد. ام هنریکسن و ام جریسون در سال 1961 پرسیدند که آیا برای هیچ x ای فضای ایده آل های اول مینیمال حلقه ی (*c(n، ناهمبند پایه ای است و در سال 1965 آن ها پرسیدند که آیا برای هیچ x ای فضای ایده آل های اول مینیمال حلقه ی (c(x ناهمبند پایه ای نیست. در این پایان نامه ما به دومین پرسش پاسخی مثبت (در zfc) می دهیم و اولین پرسش اگر اصل موضوعی مارتین (ma) برقرار باشد پاسخی منفی دارد، به ویژه اگر فرض زنجیر (ch) برقرار باشد. در ادامه مفهومی را متمم صفرمجموعه کامل نامیده می شود، برای فضاها معرفی می کنیم. در حالی که بسیاری از ویژگی های فضاهای متمم صفرمجموعه کامل شناخته شده است، به نظر می رسد آن ها برای پاسخ به بعضی از پرسش های طبیعی که به وسیله ی جی شاپیرو و لوی مطرح شده، کافی نباشند. این پرسش ها به ارتباط بین متمم صفرمجموعه کامل بودن یک فضا و انواع به خصوصی از زیرفضاهای با این ویژگی و بین متمم صفرمجموعه کامل بودن حاصل ضربی از دو فضا و متمم صفرمجموعه کامل بودن هر کدام از فضاها ارتباط دارد. هم چنین بعضی از شرایط داده می شوند که تضمین می کنند که یک فضای موضعا متمم صفرمجموعه کامل به طور کلی متمم صفرمجموعه کامل باشد. در این پایان نامه به این پرسش ها پاسخ داده می شود.

ما در این پایان نامه‏، خواص اساسی صفر مجموعه های پر را مطالعه می کنیم و به دنبال یافتن این هستیم که چه زمانی یک صفر مجموعه ی پر کراندار‏، فشرده می شود. برای این منظور قضایایی از اسپنسکی و مک آرتور را تعمیم می دهیم تا به این حقیقت برسیم که هر صفر مجموعه ی پر کراندار در فضای x فشرده است در صورتی که یا x یک g-قطر منظم داشته باشد و یا x یک فضای بئر باشد به طوری که هر پوشش باز آن یک تظریف باز نقطه-متناهی داشته باشد .

sz0-ایده آل ها بر حلقه چندجمله ای ها بی شک یکی از زیباترین پیوندهای جبر و توپولوژی در ساختار (c(x ظاهر می شود که متشکل است ازتمام توابع پیوسته حقیقی مقدار روی فضای توپولوژی x . این ساختار با دو عمل معمولی جمع و ضرب توابع ، تشکیل یک حلقه می دهد که به حلقه توابع پیوسته معروف است .در مبحث حلقه توابع پیوسته، هدف اصلی ، هدف اصلی ، بررسی ارتباط خواص توپولوژی x و خواص جبری (c(x است .