در نظریه ی مدل اصلی ترین و مهمترین کار در بررسی ساختارها، مشخص کردن زیرمجموعه های تعریف پذیر و توابع تعریف پذیر در آن ساختارها می باشد. مشخص کردن زیرمجموعه ها و توابع تعریف پذیر راه مطالعه ی این ساختارها را هموار خواهد کرد. در این پایان نامه سعی شده زیر مجموعه ها و توابع تعریف پذیر در زوج های چگال از ساختارهای ت-کمینه مشخص شوند.(یک ساختار را ت-کمینه می نامیم هرگاه زیر مجموعه های تعریف پذیر آن اجتماع متناهی از بازه ها باشند.) برای این منظور رابطه ی تعریف پذیری در زوج چگال(b,a) با تعریف پذیری در ساختار a و تعریف پذیری در ساختار b مشخص شده است. یکی از نتایج جالبی که بدست آمده است این است که اگر b یک بسط از میدان مرتب اعداد حقیقی و مجموعه ی باز s در زوج چگال (b,a) تعریف پذیر باشد، آنگاه s در ساختار b نیز تعریف پذیر است.

در این پایان نامه وجود اعضای اول در برخی از حلقه های سری های توانی تعمیم یافته اثبات می شود.در واقع با استفاده از ارزیاب اردینال مقدار معرفی شده توسط براردوچی نشان داده می شود که اگر k یک میدان با مشخصه صفر باشد، آنگاه حلقه متشکل از سری های توانی تعمیم یافته با ضرایب در k و نماها در اعداد حقیقی نامثبت شامل عناصر اول می باشد. همچنین اگر g یک گروه مرتب شامل یک زیر گروه محدب سره ی ماکسیمال باشد، آنگاه حلقه متشکل از سری های توانی تعمیم یافته با ضرایب در k و نماها در g نامثبت شامل عناصر اول می باشد.

در این پایان نامه که بر مبنای مقاله ای از آپولونیوس تیشکا نوشته شده است، یک طبقه بندی از نوع حسابی از اعضای یک میدان که در زبان مرتبه اول حلقه ها تعریف پذیر بدون پارامتر وجودی می باشند، ارایه می شود. به عنوان کاربردی از این مطلب نشان داده می شود که در میدان های شامل یک زیرمیدان بسته جبری تنها اعضای میدان اولیه 0-تعریف پذیر وجودی هستند. از سوی دیگر، توسیع هایی از q که با توسیع متناهی هستند شامل اعضای 0-تعریف پذیر وجودی اند که روی q متعالی می باشند. سرانجام، نشان می دهیم که تمام عناصر متعالی در r که دارای یک تقریب بازگشتی توسط اعداد گویا هستند در r(t) تعریف پذیر می باشند. این مطلب وقتی که r با یک زیرمیدان فیثاغورثی r جایگزین می شود همچنان برقرار است.

این پایاننامه نتیجه درونیابی را در یک چارچوب فرمولهای منطق مرتبه اول نسبی سازی شده ارائه می کنیم، که در حقیقت زمینه مشترک برای درونیابی لیندون و درونیابی چندگونه ای ففرمن ارائه می دهد. این نتایج علاوه بر دادن پایه ای نظریه مدلی مشترک برای این دو نتیجه درونیابی مهم، همچنین منظری یکنوا برای برخی کاربردهای شناخته شده و برخی کاربردهای جدید ارائه می دهد، که کاربرد جدید شامل قضیه رده بندی فون بنثم می باشد.

فرض کنید r یک توسیع به طور تعریف پذیر کامل (یعنی فاقد شکاف ددکیند تعریف پذیر) از یک گروه مرتب چگال (r,<,*) باشد که در خاصیت تناهی یکنواخت صدق می کند (یعنی هر خانواده‎ی تعریف پذیر از زیرمجموعه های متناهی دارای یک کران بالای متناهی برای تعداد اعضای زیرمجموعه‎ها می باشد). در این صورت هسته باز r ت-کمینه است. در ادامه دو رده از ساختارهایی که ت-کمینه نیستند اما هسته باز ت - کمینه دارند مورد بحث قرار می گیرند. اولی زوج های چگال از بسط های ت-کمینه از گروه های مرتب و دومی رده ی بسط های ساختارهای ت-کمینه با محمولات موروثی می باشد. این ساختارها دارای هسته باز متعارف با ساختارهای ت-کمینه اولیه می باشند. دو رده فوق توسط ویژگی "وجود توابع تعریف پذیری که گراف آن ها در صفحه چگال است" از هم متمایز می شوند. در واقع زوج های چگال دارای ویژگی مذکور هستند اما بسط های با محمولات موروثی فاقد آن می باشند . ویژگی "فاقد گراف تعریف پذیر چگال" در رابطه با ویژگی های "تناهی یکنواخت"، "کمال تعریف پذیر" و "دارای هسته باز ت - کمینه" مورد بررسی و مقایسه قرار می گیرد.